2022-2023学年广东省广州二中高一年级上册学期11月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省广州二中高一上学期11月月考数学试题
一、单选题
1．已知全集，集合，集合，则（ ）
{0,1,2,3,4,5}U ={0,1,3}A ={2,3,4}B =()U B A ⋂=
A ．
B ．
C ．
D ．{2,4}{3,4}{2,3}{4}
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】全集，集合，则，而，{0,1,2,3,4,5}U ={0,1,3}A ={2,4,5}U A =
{2,3,4}B =所以
.
(){2,4}U
A B ⋂= 故选：A
2．已知函数在定义域中满足，且在上单调递减，则可能是()y f x =()()f x f x -=(,0)-∞()y f x =（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
1
()f x x
=-
2
()f x x
=-()e e
x x
f x -=+1()ln
1x f x x
-=+【答案】C
【分析】求出各个选项中函数的定义域，再判断该函数是否同时满足两个条件作答.【详解】对于A ，函数
的定义域是，，A 不是；
1()f x x =-
(,0)(0,)-∞+∞ 1
()()
f x f x x -==-对于B ，函数的定义域是R ，而在上单调递增，B 不是；
2
()f x x =-()f x (,0)-∞对于C ，函数的定义域是R ，
，，()e e x x f x -=+()e e ()x x
f x f x -=-=+1212,(,0),x x x x ∀∈-∞<，因，则，
1122121212()()e e e e e e e 1
()()1e (x x x x x x x x f x f x ---==-⋅++--120x x <<120<e e 1x x <<有
，即有
，因此，在上单调递减，1212
1
0,e e e 10
e x x x x -<-
<⋅12())0(f x f x ->12()()f x f x >()f x (,0)-∞C 正确；对于D ，函数的定义域是，，D 不是.
1()ln
1x
f x x -=+(1,1)-1()ln ()
1x f x f x x +-==--故选：C
3．已知关于的方程在区间
内有实根，则实数的取值范围是（ ）
x 20x x m ++=()1,2m A ．B ．C ．D ．[6,2]--(6,2)
--(,6][2,)-∞-⋃-+∞(,6)(2,)
-∞--+∞ 【答案】B
【分析】参变分离可得在区间内有实根，令，，根据二次
2m x x =--()1,2()2f x x x =--()1,2x ∈函数的性质求出
的值域，即可求出参数的取值范围.
()
f x 【详解】解：因为关于的方程在区间内有实根，
x 20x x m ++=()1,2所以在区间
内有实根，
2m x x =--()1,2令
，
，所以
在
上单调递减，
()2f x x x
=--()
1,2x ∈()
f x ()1,2所以
，即，
()()()
21f f x f <<()()
6,2f x ∈--依题意与在
内有交点，
y m =()
y f x =()1,2所以
.
()
6,2m ∈--故选：B
4．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
11
37x ≥
+A ．B ．C ．D ．
(3,0)-[3,4]-(3,4]
-[)
3,4-【答案】A
【分析】根据分式不等式求解，再分析充分不必要条件即可.
11
37x ≥
+【详解】因为，故，所以，解得，其充分不必要条件范围
110
37x ≥>+30x +>037x <+≤34x -<£要为的真子集，选项中仅符合.(3,4]-(3,0)-故选：A
5．已知圆锥的底面积为1，表面积为3，则它的侧面展开图的圆心角为（ ）A ．B ．C ．D ．π23
π43
π53
π【答案】A
【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系，再利用圆锥侧面展开图的特征求解作答.
【详解】圆锥的底面积为1，圆锥底面圆半径r ，有，令圆锥母线长为，有，
21r π=l 2
π3r rl π+=因此，
12r l =
显然圆锥侧面展开图扇形弧长，所在圆半径为l ，2C r π=所以圆锥侧面展开图的圆心角为
.
2πC r l l πα=
==
6．已知函数在区间上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
2
2
1
()log 3f x x ax a =-+(2,)+∞A ．B ．C ．D ．(,4]-∞[4,)-+∞[4,4]-(4,4]
-【答案】C
【分析】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性列出不等式组，求解作答.【详解】函数
在上单调递减，而函数在上单调递增，
2
2
1
()log 3f x x ax a =-+(2,)+∞2log y u =(0,)+∞则函数
在上单调递减，且，，
21
3u x ax a =
-+(2,)+∞(2,)x ∀∈+∞2103x ax a >-+因此函数在上单调递增，且，，
2()3g x x ax a =-+(2,)+∞(2,)x ∀∈+∞2
30x ax a -+>于是得，解得，22
(2)40
a g a ⎧≤⎪⎨⎪
=+≥⎩44a -≤≤所以实数a 的取值范围是.[4,4]-故选：C
7．甲、乙、丙、丁四位同学分别为四个函数画图象，
甲同学画函数
的图象，图1； 乙同学画函数的图象，图2；
21
1y
x =
-21x
y =-丙同学画函数
的图象，图3； 丁同学画函数
的图象，图4.)
ln
y x
=-2
2221x x y x x -=-+画图正确的同学是（ ）A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【分析】通过代入特殊值可以检验ABC 图像的正误，对D 选项通过二次函数图像的变换即可判断.【详解】对A ，令，无解，而图像上与轴有交点，故错误，
2
1
01y x =
=-x 对B ，令
，则，此时，而，无实数解，故直线应与函数图
211
x y =-=211x
-=1x =211x -=-1y =像只有一个交点，故B 错误，
对C ，令，则，故C 错误；
1x =)ln
10y =-<对D ，根据
，根据分母不为0，则，
()2
22110
x x x -+=-≥1x ≠，根据得，
22221
12121x x y x x x x -==--+-+2
210x x -+>21021x x >-+则，则，故图中上边界正确，21021x x -<-+211121x x -+<-+首先
，，易知其关于直线对称，且在
上单调递减，在
()
2
21211y x x x =-+=-1x ≠1x =()
,1x ∈-∞上单调递增，则
，的图像也关于直线对称，且在上单()1,x ∈+∞22121y x x =
-+1x ≠1x =(),1x ∈-∞调递增，在 上单调递减，再将其图像关于轴对称，得到
，其图像关于()1,x ∈+∞x 321
21y x x =--+直线对称，且在
上单调递减，在
上单调递增，最后将其向上平移1个单
1x =()
,1x ∈-∞()
1,x ∈+∞位，则得到图中图像，且当时，，故D 正确，0x =0y =故选：D.
8．已知函数，若，且，则的()(]()ln ,0,e 2ln ,e,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩()()()123f x f x f x ==123x x x <<2
213x x x +⋅取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
()20,1e +)22e,1e ⎡+⎣22e,e ⎡⎤⎣⎦)22e ,1e ⎡+⎣【答案】B
【分析】首先画出函数图象，结合图象可得、、的取值范围与关系，将转化为关1x 2x 3x 2
2
13x x x +⋅于
的函数，再结合对勾函数的性质计算可得.
2x 【详解】解：因为
，所以函数图像如下所示：()(]()ln ,0,e 2ln ,e,x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨
-∈+⎪⎩
因为
，且，
()()()
123f x f x f x ==123x x x <<所以，，，且
，所以，11
1e x <<21e x <<2
3e e x <<12ln ln 0x x +=121=x x 所以
，
121
x x =
，即，所以，所以，
23ln 2ln x x =-23ln ln 2x x +=223e x x =2
32e x x =
所以
，2
22
132
2
2
2e x x x x x ++⋅=因为
，所以，令，则，
21e x <<2221e x <<22
t x =21e t <<令，，因为在上单调递减，在
上单调递增，且，()2
e g t t t =+()21,e t ∈()g t ()1,e ()2e,e ()e 2e g =，
，
()2
11e g =+()22e e 1
g =+所以
，即.
())
2
2e,1e g t ⎡∈+⎣)2
21322e,1e x x x ⎡∈++⋅⎣故选：B
二、多选题
9．下列运算中，正确的是（ ）
A ．
2
21
3
log 4
272
28⎛⎫
-
=- ⎪⎝⎭
B ．若114
a a +
=4=C ．若
，则
77log 3,log 4a b ==71log 4212
b
a =+
+D ．若，则
469a
b
c
==112a c b +=
【答案】AB
【分析】利用指数运算及指数式与对数式互化计算判断A ；利用根式运算计算判断B ；利用换底公
式计算判断C ；举例说明判断D 作答.
【详解】对于A ，
，A 正确；
2
21log 3
4
2331319[(]42272
()8442=-=--=-对于B ，因，则，B 正确；
114
a a +
=4===对于C ，因，则，C 77log 3,log 4a b ==7777771log 42log 7log 3log 21log 3log 4122b
a =++=++=++不正确；
对于D ，当时，成立，但
无意义，D 不正确.0a b c ===469a b c
==112
a c
b +=故选：AB
10．已知a 、b 大于0，且不等于1，满足
，则一定有（ ）
1log a
a b b <<A ．B ．C ．D ．1b >1a <a b <1
a b ab +<+【答案】BD
【分析】先根据判断出，再分和两种情况，分别根据
分析
1a b <01b <<1a >01a <<1log a
a b b <<的范围，再逐个选项判断即可.
b 【详解】因为，且，故.
1a b b <=0a >01b <<当时，因为，即，故，与矛盾；1a >1log a b <log log a a a b <1b a >>01b <<当时，因为，即，则，故；
01a <<1log a b <log log a a a b <a b >01b a <<<此时
，即，，故AC 错误，BD 正确；
()()110a b -->10a b ab --+>1a b ab +<+故选：BD
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）2,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨
->⎩A ．B ．当时，(9)36
f =(0,3]x ∈2
()(3)
f x x =
-C ．方程只有一个实数根D ．方程
有7个不等的实数根
()9f x =3-()f x x
=【答案】BC
【分析】对A ，根据分段函数解析式求解即可；对B ，根据分段函数的定义域求解即可；对CD ，根据分段函数解析式作出函数图象，数形结合分析即可.【详解】对A ，
，故A 错误；
()()()()2963000
f f f f =====
对B ，当时，，故，故B 正确；
(0,3]x ∈(]33,0x -∈-()()()2
33f x f x x =-=-对CD ，由解析式可得当时，周期为3；当时，，，故
0x >()f x 0x ≤()2f x x =()()39,00f f -==可作图：
易得当时，且，解得，故C 正确；
()9f x =2
9x =0x <3x =-
又当时，
，故方程
有8个不等的实数根，故D 错
9
x =()
21,24x ==()f x x
=误；
故选：BC
12．已知函数
，以下说法正确的有（ ）23
2()log 1ax bx c
f x x ++=+A ．若的定义域是，则B ．若的定义域是R ，则()y f x =(1,3)-0
a >()y f x =0
a >C ．若在R 上的值域是，则D ．的值域不可能是R ()y f x =[0,2]10a c +=()y f x =【答案】CD
【分析】对AB ，根据对数函数的定义域，结合二次不等式解集与系数的关系判断即可；对C ，根据对数函数的值域，结合二次不等式判别式法求值域的逆用求解即可；对D ，根据的值域
()y f x =为R 则的值域包含
，结合二次函数的性质求解即可.
221ax bx c
x +++()0,∞+【详解】对A ，的定义域是，即，
232()log 1ax bx c f x x ++=+22
01ax bx c
x ++>+20ax bx c ++>若的定义域是，则
开口向下，，故A 错误；()y f x =(1,3)-2
y ax bx c =++a<0对B ，若，则
，其定义域为R ，故B 错误.
0,0a b c ==>3
2()log 1c
f x x =+对C ，因为
的值域是，23
2()log 1ax bx c
f x x ++=+[0,2]则
的值域为，221ax bx c
y x ++=
+[1,9]
整理可得，
221ax bx c y x ++=+()20a y x bx c y -++-=则且是关于的判别式的解，而也
19y ≤≤y a ≠()20a y x bx c y -++-=()()240b a y c y ---≥y a =符合该不等式，
所以是方程，即的两根，
1,9()()240b a y c y ---=()224440y a c y ac b -++-=此时由韦达定理
，即，故C 正确；
()4194
a c ++=
10a c +=对D ，当的值域为R 则函数
的值域包含，则同C ，()y f x =221ax bx c
y x ++=
+()0,∞+，即
的解集包含
.
()()240
b a y
c y ---≥()224440
y a c y ac b -++-≤()0,∞+但其关于的二次函数开口向上，解集不可能包括
，
y ()0,∞+故函数的值域不包含，故D 正确；221ax bx c y x ++=
+()0,∞+故选：CD
三、填空题13．函数
的定义域为________________；
()f x =【答案】##10,2⎡⎫⎪⎢
⎣⎭1|02x x ⎧
⎫≤<⎨⎬⎩
⎭
【分析】根据对数的真数大于零且偶次根式的被开方数非负得到不等式组，再根据对数函数的性质计算可得.
【详解】解：因为，所以，解得，()f x =()ln 120120x x ⎧--≥⎨->⎩102x ≤<所以函数的定义域为.10,2⎡⎫
⎪⎢⎣⎭故答案为：10,2⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
14．角的终边在直线上，则_________；
α2y x =22
3sin 2cos αα-=【答案】2
【分析】依题意得，由
即可求解．tan 2α=22
2
23tan 2
3sin 2cos tan 1αααα--=
+【详解】依题意得tan 2
α=由
22222
2
2222
3sin 2cos 3tan 2322
3sin 2cos 2sin cos tan 121αααααααα--⨯--====+++故答案为：2
15．已知函数是定义在R 上的奇函数，且当时，
，则使得
()y f x =0x >21
()f x x =
成立的实数a 的取值集合是______________；
(21)(1)f a f a -<+【答案】
()11,2,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭【分析】根据函数的单调性，结合奇函数的性质求解即可.【详解】由题意，当时，
为减函数且，又是定义在R 上的奇函数，
0x >21
()f x x =
()0f x >()y f x =故当时，为减函数且.
0x <()f x ()0f x <故则或或，解得或无解或
(21)(1)f a f a -<+2110a a ->+>1210a a +<-<2101a a -<<+2a >.
112a -<<
综上有实数a 的取值集合是.()11,2,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭故答案为：()11,2,2∞⎛
⎫-⋃+ ⎪⎝
⎭16．已知，设集合，集合，若，则实数
2()f x x mx =+{}()A x f x x =={}(())B x f f x x ==B A ⊆的取值范围是_______________．
m 【答案】
[]
1,3-【分析】先求解
，根据二次方程的两根关系讨论与两种情况，当
(){}10A x x x m =+-=1m =1m ≠时，化简可得
，结合可得1m ≠(())f f x x =()()2
1110x x m x m x m ⎡⎤+-++++=⎣⎦B A ⊆无解或解包含两根，再分类讨论求解即可.
()2110
x m x m ++++=0,1m -【详解】.
{}{}
(){}2()10A x f x x x x mx x x x x m ===+==+-=①当时，
，此时，
1m ={}0A =2()f x x x =+，满足题意；
(
)(
)
{}(
)
{}
{}
2
2
222200B x x x x x x x x x x =+++==++==
②当时，，且，故.
1m ≠{}0,1A m =-()()()000
f f f ==0B ∈又
，讨论
，即
{}(
)
()
{}2
22(())B x f f x x x x mx m x mx x
===+++=()()2
2
2
x mx m x mx x +++=()()
2
2
2
2
10
x
mx
mx m
x +++-=即，()()
2
210
x x x m mx m ⎡⎤+++-=⎣⎦即，()()
3222
210x x mx m m x m ⎡⎤++++-=⎣
⎦即，方程必有两根
，
()()21110
x x m x m x m ⎡⎤+-++++=⎣⎦120,1x x m ==-因为，故，则无解或解包含.
B A ⊆{}0,1B m =-()2110x m x m ++++=12,x x i ）当为的解时，代入可得，此时满足条件；
10x =()2
110x m x m ++++=1m =-{}0,2A B ==ii ）当为的解时，代入可得，此时满足条件；
21x m =-()2110x m x m ++++=3m ={}0,2A B ==-iii ）当
无解时，
，
，解得，
()2110
x m x m ++++=()()2
1410
m m +-+<()()310m m -+<13m -<<综上有，且.
13m -≤≤
1m ≠综合①②可得.
13m -≤≤故答案为：
[]
1,3-四、解答题
17．已知函数经过点，___________．
()y f x =(2,4)①若是幂函数，求函数
的最小值；
()y f x =11
(),(1,1)
2()1()g x x f x f x =
+∈--+②若是指数函数，求函数
的最大值；
()y f x =1
()(2)(1)g x f x f x =
-++③若是对数函数，求函数的值域．
()y f x =1(),(0,)
g x f x x x ⎛
⎫=+∈+∞ ⎪⎝⎭请从三个选项中选一个填在横线，并解决相应的问题．
【答案】选①：；选②；选③：43[)4,+∞【分析】选①：根据幂函数的形式可得，进而得到
，再结合
()2
f x x
=4
23
(),(1,1)
2g x x x x =
∈--++二次函数的最值求解即可；
选②：根据指数函数的形式可得，进而得到
，再根据基本不等式求解最
()2
x
f x =211
()22x x g x -+=
+大值即可；
选③：根据对数函数的形式可得，再根据基本不等式结合对数函数的单调性求解
2()4log y f x x ==值域即可.
【详解】选①：设，则，解得，故，
()a y f x x ==42a =2a =()2f x x =则
，
()()
22224222
11123
(),(1,1)21221x x g x x x x x x x x
++-=+==∈--+-++-+由可得
，则当
时，取得最大值
(1,1)x ∈-()()2
2
210x
x -+>()211
212
x =-
=
⨯-42
2x x -++，
1192424-++=此时取得最小值，即的最小值为.
4
23()2g x x x =-++3493
4=
()g x 43选②：设，则，解得，故，
()
x y f x a =
=24a =2
a =()2x f x =则
，即时取等号；
211()2
2x
x g x -+=
≤==+2122x x -+=12x =选③：设，则，解得，故
，
()log a y f x x ==4log 2a =1
4
2a =14
22()log 4log y f x x x
===则，由基本不等式，当且仅当
，即时取
21()4log ,(0,)g x x x x ∞⎛⎫=+∈+ ⎪⎝⎭12x x +≥=1x x =1x =等号，
故，即的值域为
.221()4log 4log 24
g x x x ⎛
⎫=+≥= ⎪⎝⎭()g x [)4,
+∞18．为了抗击新冠，某区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为
平方米，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元
/平方米，侧
48a (0)a >面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，问：当x 为多少时，总价最低．
【答案】当时，时，时总价最低
01a <≤x =1a >8x =
【分析】根据题意表达出总造价，再根据基本不等式，结合对勾函数
()768001200,08a
y x x x =
+<≤的性质分类讨论分析即可.
【详解】由题意，正面长为米，故总造价，即48a x 48400421504a
y x
x =⨯⨯+⨯⨯.
()768001200,08a
y x x x =
+<≤由基本不等式有
，当且仅当，即
768001200a y x x =
+≥
768001200a
x x =
x =取等号.
故当，即，
时总价最低；当，即时，由对勾函数的性质可得，
8≤1a ≤x
=8>1a >时总价最低；
8x =综上，当时，时总价最低；当时，时总价最低.
01a <≤x =1a >8x =
19．已知函数是偶函数，当时，，设．()y f x =0x ≤()lg(1)f x x =-+()()g x f x =(1)求函数的解析式，并判断的单调性；()y g x =()y
g x =(2)当时，总有，求实数a 的取值范围．[1,2]x ∈(1)3g ax +≤【答案】(1)，单调递增；
()()
lg 1g x x =+(2).
1,42⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦【分析】（1）根据
为偶函数得到当时
的解析式，即可得到
的解析式，然后利
()
f x 0x ≥()
f x ()
g x 用定义法判断单调性即可；
（2）根据和的单调性得到，然后转化为，最后求最()93g =()g x 019ax ≤+≤max min 18a x x -⎛⎫
⎛⎫
≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值即可得到的取值范围.a 【详解】（1）因为
，则，
()()
g x f x =0x ≥当时，，则，所以
，
x ≥0x -≤()()()lg 1f x f x x -==+()()
lg 1g x x +当时，
，当时，
，
0x =()0
g x =0x >
()0
g x >设，则
，所以
，所以
在
120x x >>()
()()()
()2111122lg 1log 11lg 1x g x x x g x x ++==+>+()()
12g x g x >()
g x
上单调递增.
[)0,∞+（2）原不等式可整理为
，因为所以
在上单调递增，所以当时，
()()
19g ax g +≤()
g x [)0,∞+[]1,2x ∈总有，整理得，即，所以.019ax ≤+≤18a x
x -≤≤max min 18a x x -⎛⎫⎛⎫≤≤ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭1,42a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦20．已知函数
．2
()4|1|f x x x =--(1)作出函数的图象，并指出其单调区间；()y f x =(2)设集合
，若集合A 有4个子集，求实数m 的取值范围．
(){}1A x f x mx m ==-+【答案】(1)图象见解析，在和上单调递减，在和上调递增；()f x (2)-∞-(1,2)(2,1)-(2,)+∞(2).
(,2][6,)-∞-+∞ 【分析】（1）先对函数化简，再根据解析式画出函数图象，然后由图象可求出函数的单调区间；（2）由题意可得集合A 中有两个元素，则
有且仅有两个实根，而是方
2411
x x mx m --=-+1x =程的一个根，然后分和解方程讨论可.
1x >1x <【详解】（1）
，22
2
44,1()4144,1x x x f x x x x x x ⎧-+≥=--=⎨+-<⎩当时，，
1x ≥22
()44(2)f x x x x =-+=-其图象的顶点为，对称轴为，开口向上的抛物线位于直线及其右侧部分，
(2,0)2x =1x =当时，
，1x <22
()44(2)8f x x x x =+-=+-其图象的顶点为，对称轴为，开口向上的抛物线位于直线左侧部分，(2,8)--2
x =-1x =所以的图象如图所示，
()f x 由图象可知，在和上单调递减，在和上调递增；()f x (2)-∞-(1,2)(2,1)-(2,)+∞（2）因为集合A 有4个子集，
所以集合A 中有两个元素，
所以方程有且仅有两个实根，()1f x mx m =-+即
有且仅有两个实根，
2411
x x mx m --=-+满足方程，
1x =2
411x x mx m --=-+当时，，，
1x >24(1)1x x mx m --=-+2
14(1)(1)x x m x ---=-，
(1)(3)0x x m ---=解得（舍去）或，
1x =3x m =+当时，，，
1x <214(1)(1)0x x m x -+---=(1)(5)0x x m -+-=解得（舍去）或，1x =5x m =-因为方程
有两个实根，
2411
x x mx m --=-+所以或，3151m m +>⎧⎨-≥⎩31
51m m +≤⎧⎨-<⎩解得或，
6m ≥2m ≤-即实数m 的取值范围为.
(,2][6,)-∞-+∞ 21．已知关于对称．3()(0)1nx f x m mx -=≠-1,12
⎛⎫- ⎪
⎝⎭(1)计算和
的值；
1202220232023f f ⎛⎫
⎛⎫+
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ (2)设
，若对任意
，存在使得
()()ln ,N g x f x k +
=∈N s +∈N t +∈．求k 的值．
120s s s t g g g s k s k s k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 参考结论：函数关于点中心对称的充要条件是恒成立．()y h x =(,)P a b ()(2)2h x h a x b +-=【答案】(1)，2-2022-(2)1或2
【分析】（1）根据参考结论对称性求解即可；（2）根据对称性确定的解析式，然后确定
()f x 的对称中心，进而求解.
()g x
【详解】（1）因为
关于对称，结合参考结论，3
()(0)1nx f x m mx -=
≠-1,12
⎛⎫- ⎪
⎝⎭所以，
()(1)2f x f x +-=-令
，所以
，
1
2023x =
12022220232023f f ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭同理，
2021202010122202320232023202322310102320123f f f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
+=+==+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ 所以
.
122022210112022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭ （2）因为
，213333()1111n m n n x nx nx n m m
m
f x mx mx m x m x m m ⎛⎫---+ ⎪--⎝⎭====-+--+⎛
⎫--- ⎪
⎝⎭因为
的图象是由反比例函数23()1m n
n m f x m x m -=-+-2
3m n m y x -=
向右平移个单位（平移过程为正表示右移，为负表示左移），1m 1
m 向下平移个单位得到（平移过程为正表示下移，为负表示上移），
n m n
m 而反比例函数
的对称中心为，2
3m n
m
y x -=(0,0)的对称中心，所以解得.
3()(0)1nx f x m mx -=≠-1,12⎛⎫- ⎪
⎝⎭11
21m n m ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩2,2m n ==所以
，23()12x f x x -=
-所以，所以即，解得.23()ln
12x g x x -=-23012x x ->-()()23120x x -->13
2
2x <<
,所以的图象关于对称，
2312()(2)ln ln ln10
1232x x
g x g x x x --+-=+==--+()g x (1,0)因为若对任意，存在使得．
N s +∈N t +∈120s s s t g g g s k s k s k +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+++= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以，即，解得，
12s s t s k s k +++=++21
2s t s k ++=+21k t =+又因为函数
的定义域为，
23
()ln
12x g x x -=-13,22⎛⎫ ⎪
⎝⎭
所以，解得，所以的值为1或2.11123
12s s k s t s k +⎧<≤⎪⎪+⎨
+⎪≤<⎪
+⎩13k ≤<k 22．已知当，总有，当且仅当时，“=”成立．设．
x ∈R e 1x x ≥+0x =()e x
f x =(1)当时，总有，求实数m 的取值范围；
0x ≥()f x x m ≥+(2)当时，证明：存在，使得．
a b <(,)a b ξ∈()()
e f a f b a b
ξ
-=-【答案】(1)
(]
,1-∞(2)证明见解析
【分析】（1）令，由题意可得当时总有，要使
在上恒
()e x h x x
=-0x ≥()1
h x ≥()f x x m
≥+0x ≥成立转化为在上恒成立，求得
可得答案；
()()
≤-=m x x f h x 0x ≥()min
h x （2）令
，利用导数判断出在时单调递减，
()()()()e =---x G x f x f a x a ()G x x a ≥当时，可得
，则
恒成立，
x a >()()0
<=G x G a ()()e -<-x
f x f a x a
()()e -<-b
f b f a b a
令
，利用导数判断出在
上单调递减，
()()()()e =---x
T x f b f x b x ()T x (),b -∞当
时，
，可得
，则
恒成立，根据
()
,x b ∈-∞()()0
>=T x T b ()()e ->-x
f b f x b x ()()e e -<
<-b
a f
b f a b a
的单调性，可得存在，使得
，可得答案．
()e
x
f x =(,)a b ξ∈()()
e e e ξ-<
=<-b
a f
b f a b a
【详解】（1）令
，其中，由题意可得，当时，总有
，当且仅当
()e x h x x
=-0x ≥0x ≥()1
h x ≥时等号成立，则，要使在上恒成立，
0x =()min 1h x =()f x x m ≥+0x ≥即在上恒成立，
()()≤-=m x x f h x 0x ≥则
，所以实数m 的取值范围
；
()min 1
≤=m h x (],1-∞（2）令
，其中，
()()()()()e e e e =---=---x x a x
G x f x f a x a x a x a ≥，当且仅当时等号成立，则在时单调递减，
()()e 0
'=-≤x G x a x x a =()G x x a ≥当时，即在上恒成立，即
x a >()()0<=G x G a ()()()()e 0=---<x G x f x f a x a (),x a ∈+∞在
上恒成立，
()()e -<-x
f x f a x a
()
,x a ∈+∞
由于，则恒成立，
a b <()()
e -<-b
f b f a b a
令
，
()()()()()e e e e =---=---x b x x
T x f b f x b x b x 其中，，当且仅当时等号成立，(],∈-∞x b ()()e 0'=-≤x T x x b x b =则在上单调递减，
()T x (),b -∞当
时，
，即
在
上恒成立，即
(),x b ∈-∞()()0
>=T x T b ()()e e e 0
=--->b x x T x b x ()
,x b ∈-∞在
上恒成立，
()()e ->-x
f b f x b x
()
,x b ∈-∞由于，则恒成立，a b <()()e e
-<<-b
a f
b f a b a 函数
在上单调递增，
()e x
f x =x ∈R 则存在，使得
，由于
，则存在
(,)a b ξ∈()()
e e e ξ-<
=<-b
a f
b f a b a ()()()()--=
--f a f b f b f a a b
b a
，使得．(,)a b ξ∈()()e
f a f b a b ξ
-=-【点睛】关键点点睛：在第二问中，令
，利用导数判断出在
()()()()e =---x
G x f x f a x a ()G x 时的单调性，令，利用导数判断出在上的单调性是
x a ≥()()()()e =---x
T x f b f x b x ()T x (),b -∞关键，本题考查了学生的思维推理能力、运算能力.。