人教A版高中数学选修2-3单元总复习测试抛物线

单元优选卷（7）抛物线
1、点(2,1)A 到抛物线2x ay =的准线的距离为3,则实数a 的值为( ) A.4
B.14
C.
14或120
- D.4或-20
2、经过点(4,2)P -的抛物线的标准方程为( ) A.2y x =或28x y =- B.2y x =或28y x = C.28y x =-
D.28x y =-
3、设抛物线2
8y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4
B.6
C.8
D.12
4、抛物线22y x =的准线方程是( ) A.1y =
B.1y =-
C.1
8y =
D.1
8
y =-
5、若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162
x y +=的右焦点重合,则p =( )
A.2
B.4
C.6
D.8
630x y -+=,则动点(,)M x y 的轨迹是( ) A.一条线段
B.圆
C.椭圆
D.抛物线
7、已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线2
4y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是( ) A.2
B.3
C.
115
D.
3716
8、已知Q P 为抛物线2
4x y =上的动点.若点P 到抛物线准线的距离为d ，则
d PQ +的最小值是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
9、过点(2,4)的直线与抛物线28y x =只有1个公共点,则这样的直线有( ) A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
10、已知P 为拋物线24y x =上一个动点,Q 为圆22(4)1x y +-=上一个动点,则点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( )
A.5
1
1
11、过抛物线2y x =的焦点F 的直线与该抛物线交于,A B 两点,若4AB =,则弦AB 的中点M 到直线1
02
x +=的距离等于( ) A.7
4
B.
94
C.4
D.2
12、在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线关于x 轴对称,顶点为坐标原点O ,且过点(2,4)P ,则该抛物线的方程是________. 13、已知定点10(3,
)3
M 与抛物线2
2y x =上的点P 之间的距离为1d ,点P 到该抛物线准线的距离为2d ,则当12d d +取最小值时,点P 的坐标为__________.
14、已知抛物线C 过点(2,1),且通径长为4,则抛物线C 的标准方程为________.
15、抛物线20(0)mx ny mn +=≠的顶点坐标是_______,焦点坐标是_________,准线方程是_______,离心率是_________.
16、已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为F,准线为l,圆2222:C x y p +=截直线l 所得的线
段长为(1)求抛物线1C 和圆2C 的方程;
(2)设直线l 与x 轴的交点为A ,过点A 的直线n 与抛物线1C 交于,M N 两点,求证:直线MF 的斜率与直线NF 的斜率的和为定值.
17、在平面直角坐标系xOy 中,点(2,3)M -关于直线220x y -+=对称的点N 位于抛物线
2:2(0)C x py p =>上. (1)求抛物线C 的方程;
(2)过点N 作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C 于,A B 两点(非N 点),若AB 过焦点F ,求AF BF
的值.
答案以及解析
1答案及解析： 答案：C
解析：抛物线2x ay =可化为21y x a
=
,若0a >,则准线方程为14x a =-,由题设,可得1
234a +=,则14a =;若0a <,则准线方程为14x a =-,由题设,可得1234a +=,解得1
4
a =(舍去)或
120
a =-
.综上,实数a 的值为14或1
20-,故选C.
2答案及解析： 答案：A
解析：∵点P 在第四象限,∴抛物线开口向右或向下.当开口向右时,设抛物线的方程为
2112(0)y p x p =>,则21(2)8p -=,∴11
2
p =
,∴抛物线的方程为2y x =.当开口向下时,设抛物线的方程为2222(0)x p y p =->,则2244p =,∴24p =,∴抛物线的方程为28x y =-.
3答案及解析： 答案：B
解析：∵抛物线28y x =的准线为2x =-,点P 到y 轴的距离是4,∴点P 到准线的距离为6.由抛物线的定义,得点P 到该抛物线焦点的距离为6.
4答案及解析： 答案：D
解析：由题意,得抛物线的标准方程为212
x y =,所以1
4p =.又抛物线开口向上,所以抛物线的
准线方程为1
8
y =-,故选D.
5答案及解析： 答案：B
解析：∵226,2a b ==,∴2224,2c a b c =-==,即椭圆的右焦点为(2,0),∴抛物线
22(0)y px p =>的焦点为(2,0),∴2,42
p
p ==.
6答案及解析： 答案：D
解析：由已知得223
(3)(1)2
x y x y -+++-=
,这表明点(,)M x y 到定点(3,1)F -的距离与到
定直线:30l x y -+=的距离相等.又F l ∉,所以由抛物线的定义,知动点(,)M x y 的轨迹是抛物线.
7答案及解析： 答案：A
解析：如图所示，动点P 到2:1l x =-的距离可转化为PF ,由图可知，距离和的最小值即点F 到直线1l 的距离2
2
4624(3)
d +=
=+-.
8答案及解析： 答案：B
解析：记抛物线的焦点为F ，则点F 坐标为(0,1)，根据抛物线定义，d PF =,所以
d PQ PF PQ +=+，所以当点P ，在线段FQ 上时，d PQ +取得最小值，最小值为
22(3)12QF =+=，故选B
9答案及解析： 答案：B
解析：点(2,4)在抛物线28y x =上,故过点(2,4)且与抛物线只有1个公共点的直线有2条,一条平行于对称轴,另一条与抛物线相切.
10答案及解析： 答案：C
解析：点P 到抛物线的准线的距离等于点P 到抛物线焦点(1,0)F 的距离.圆心坐标是(0,4),圆心到抛物线焦点的距离为17,即圆上的点Q 到抛物线焦点的距离的最小值是171-,这个值即为所求.故选C.
11答案及解析： 答案：B
解析：如图所示,过弦AB 的中点M 作准线的垂线'MM ,作直线1
02
x +
=的垂线''MM ,过点,A B 分别作准线的垂线','AA BB ,垂足分别为','A B .由梯形中位线的性质和抛物线的定义,可
得''
4'22
2
22AA BB AF BF
AB MM ++==
==
=,则弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离等于19
244
+
=.
12答案及解析： 答案：28y x =
解析：由题意设抛物线方程为2y ax =,又抛物线过点(2,4)P ,∴162a =,即8a =,∴28y x =.
13答案及解析： 答案：(2,2)
解析：由抛物线22y x =,知其焦点1
(,0)2
F .连接PF ,则12d d +可转化为MP PF +.易知当且
仅当,,M P F 三点共线(点P 在线段MF 上)时,MP PF +取得最小值.由241()
322y x y x ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩,解得
22x y =⎧⎨=⎩或18
12
x y ⎧
=
⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩(舍去).故所求点P 的坐标为(2,2).
14答案及解析： 答案：24x y =
解析：依题意知24p =,故2p =,故抛物线C 的方程可能为24x y =±或24y x =±,将点(2,1)代入上述方程,只有方程24x y =满足,故抛物线C 的标准方程为24x y =.
15答案及解析： 答案：(0,0);(,0);;144m m
x n n
-
= 解析：将抛物线化为标准方程为2m
y x n
=-,由标准方程易知顶点坐标是(0,0),焦点坐标是(,0)4m n -
,准线方程是4m
x n
=
.对于离心率,任何抛物线的离心率都是1.
16答案及解析：
答案：(1)抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点为(,0)2p F ,准线l 的方程为2p x =-.
由已知得222()(0)2
p
p p =+>,解得2p =.
所以抛物线1C 的方程为24y x =,圆2C 的方程为224x y +=. (2)由(1)得(1,0),(1,0)F A -.
由题意,知直线n 的斜率k 存在,且0k ≠,所以设直线n 的方程为(1)y k x =+. 设1122(,),(,)M x y N x y ,
由24(1)
y x y k x ⎧=⎨=+⎩,得2222(24)0k x k x k +-+=, 所以2
12122
42,1k x x x x k -+==.
因为224(24)40k k ∆=-->,所以11k -<<. 设直线MF 的斜率为1k ,直线NF 的斜率为2k ,所以 12121211
y y
k k x x +=+-- 122112(1)(1)
(1)(1)
y x y x x x -+-=--
122112(1)(1)(1)(1)
(1)(1)k x x k x x x x +-++-=--
12122(1)
(1)(1)k x x x x -=--
122(11)
0(1)(1)
k x x -=
=--.
所以直线MF 的斜率与直线NF 的斜率的和为定值0. 解析：
17答案及解析：
答案：(1)设(,)N m n ,则3122
2322022
n m m n -⎧
=-⎪⎪+⎨-+⎪⨯-+=⎪⎩,解得(2,1)N ,
代入22(0)x py p =>,得2p =,∴抛物线C 的方程为24x y =. (2)显然直线NA 的斜率是存在的,设直线NA 的方程为1(2)y k x -=-, 则直线NB 的方程为1(2)y k x -=--.
设1122(,),(,)A x y B x y ,由241(2)
x y
y k x ⎧=⎨-=-⎩,得24840x kx k -+-=,
∴124x k +=,∴142x k =-,∴14(1)1y k k =-+, 故(42,4(1)1)A k k k --+, 同理,可得(42,4(1)1)B k k k --++, ∴4(1)14(1)1
14242
AB k k k k k k k ++---=
=----+,
若
1AF BF <,∵sin 45BF AF BF AF
-︒=
+,∴
3AF BF
=
=-
若1AF
BF
>,同理可求
3AF BF
=
=+
综上,
AF BF
的值为3-3+解析：。