高考数学一轮 知识点各个击破 两直线的位置关系课时跟

两直线的位置关系
1．(2012·海淀区期末)已知直线l 1：k 1x ＋y ＋1＝0与直线l 2：k 2x ＋y －1＝0，那么“k 1
＝k 2”是“l 1∥l 2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．当0＜k ＜1
2时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．(2012·长沙检测)已知直线l 1的方程为3x ＋4y －7＝0，直线l 2的方程为6x ＋8y ＋1＝0，则直线l 1与l 2的距离为( )
A.8
5 B.32 C ．4
D ．8
4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2恒过定点( ) A ．(0,4)
B ．(0,2)
C ．(－2,4)
D ．(4，－2)
5．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，若直线l 2与l 1关于直线x ＋y ＝0对称，又直线l 3⊥l 2，则
l 3的斜率为( )
A ．－2
B ．－12
C.1
2
D ．2
6．(2012·岳阳模拟)直线l 经过两直线7x ＋5y －24＝0和x －y ＝0的交点，且过点(5,1)．则l 的方程是( )
A ．3x ＋y ＋4＝0
B ．3x －y ＋4＝0
C ．x ＋3y －8＝0
D ．x －3y －4＝0
7．(2012·郑州模拟)若直线l 1：ax ＋2y ＝0和直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．
8．已知平面上三条直线x ＋2y －1＝0，x ＋1＝0，x ＋ky ＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为________．
9．(2013·临沂模拟)已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取
值范围是________．
10．(2013·舟山模拟)已知1a ＋1
b
＝1(a ＞0，b ＞0)，求点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的
距离的最小值．
11．(2012·荆州二检)过点P (1,2)的直线l 被两平行线l 1：4x ＋3y ＋1＝0与l 2：4x ＋3y ＋6＝0截得的线段长|AB |＝2，求直线l 的方程．
12．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；
(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．
1．点P 到点A (1,0)和直线x ＝－1的距离相等，且点P 到直线y ＝x 的距离为2
2
，这样的点P 的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．(2012·福建模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2
＋n 2
的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4
D ．2 3
3．在直线l ：3x －y －1＝0上求一点P ，使得P 到A (4,1)和B (0，4)的距离之差最大． [答 题 栏]
答 案
课时跟踪检测(四十六)
A 级
1．C 2.B 3.B 4.B
5．选A 依题意得，直线l 2的方程是－x ＝2(－y )＋3， 即y ＝12x ＋32，其斜率是12，
由l 3⊥l 2，得l 3的斜率等于－2.
6．选C 设l 的方程为7x ＋5y －24＋λ(x －y )＝0，即(7＋λ)x ＋(5－λ)y －24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.l 的方程为x ＋3y －8＝0.
7．解析：由2a ＋2(a ＋1)＝0得a ＝－1
2.
答案：－1
2
8．解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k ＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k ＝1，故实数k 的所有取值为0,1,2.
答案：0,1,2
9．解析：由题意得，点到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.又|15－3a |
5≤3，
即|15－3a |≤15，解得，0≤a ≤10，所以a ∈[0,10]．
答案：[0,10]
10．解：点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离为d ＝
a ＋2b
5
＝
1
5(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝
1
5
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2b a ＋a b ≥15
(3＋22)＝35＋2105，当且仅当a 2＝2b 2，a ＋b ＝ab ，即a ＝1＋2，b
＝2＋22时取等号．所以点(0，b )到直线x －2y －a ＝0的距离的最小值为35＋2105
.
11．解：设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧ y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋1＝0，
解得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －73k ＋4，－5k ＋83k ＋4；
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝kx ＋2－k ，4x ＋3y ＋6＝0，
解得B ⎝
⎛⎭
⎪
⎫3k －123k ＋4，8－10k 3k ＋4.
∵|AB |＝2， ∴
⎝ ⎛⎭⎪⎫53k ＋42＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫5k 3k ＋42＝2， 整理，得7k 2
－48k －7＝0， 解得k 1＝7或k 2＝－1
7
.
因此，所求直线l 的方程为x ＋7y －15＝0或7x －y －5＝0.
12．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．
∵k PP ′·k l ＝－1，即
y ′－y
x ′－x
×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×
x ′＋x 2
－
y ′＋y
2
＋3＝0.②
由①②得⎩⎪⎨⎪⎧
x ′＝－4x ＋3y －95
， ③ y ′＝3x ＋4y ＋3
5. ④
(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，
y ′＝7，
∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －9
5－
3x ＋4y ＋3
5
－2＝0， 化简得7x ＋y ＋22＝0.
B 级
1．选C ∵点P 到点A 和定直线距离相等， ∴P 点轨迹为抛物线，方程为y 2
＝4x .
设P (t 2,
2t )，则22＝|t 2
－2t |
2
，解得t 1＝1，t 2＝1＋2，t 3＝1－2，故P 点有三个．
2．选C 设原点到点(m ，n )的距离为d ，所以d 2＝m 2＋n 2
，又因为(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以原点到直线4x ＋3y －10＝0的距离为d 的最小值，此时d ＝|－10|42
＋3
2
＝2，
所以m 2
＋n 2
的最小值为4.
3．解：如图所示，设点B 关于l 的对称点为B ′，连接AB ′并延长
交l 于P ，此时的P 满足|PA |－|PB |的值最大．设B ′的坐标为(a ，b )，
则k BB ′·k l ＝－1， 即3·
b －4
a
＝－1. 则a ＋3b －12＝0.①
又由于线段BB ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2，
b ＋42，且在直线l 上，
则3×a 2－b ＋4
2
－1＝0，即3a －b －6＝0.②
解①②，得a ＝3，b ＝3，即B ′(3,3)．
于是AB ′的方程为y －13－1＝x －4
3－4
，即2x ＋y －9＝0.
解⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y －1＝0，2x ＋y －9＝0，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝5，
即l 与AB ′的交点坐标为P (2,5)．。