ch6 Bézier曲线与曲面
Bezier曲线曲面
由于几何外形设计的要求越来越高,在采用传统的 曲线曲面表示方法时,曲线曲面形状不易控制，且修 改任意一个型值点都会影响整个曲线曲面，且变化难 以预测。已不能满足用户的需求。 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier构造了 一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并 用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
（4）对称性
Bi ,n (t ) = Bn −i ,n (t )
因为
n Bn −i ,n (t ) = Cn −i [1 − (1 − t )]n −i ⋅ (1 − t ) n −( n −i )
=C t
i n −i n
(1 − t ) = Bi ,n (1 − t )
i
(5）递推性。
Bi ,n (t ) = (1 − t ) Bi ,n −1 (t ) + tBi −1,n −1 (t ), (i = 0,1,..., n)
c.）二阶导矢 P' ' (t ) = n(n − 1)∑ ( Pi + 2 − 2 Pi +1 + Pi ) Bi,n−2 (t ) i =0 P 当t=0时， (0) = n(n − 1)( P − 2 P + P ) P 当t=1时，(1) = n(n −1)(P − 2P + P ) 上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实 上，r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无 关。 P (t ) × P (t ) " 将P ' (0) 、P (0) 及 P ' (1) 、P (1) 代入曲率公式 k (t ) = P (t ) ， 可以得到Bezier曲线在端点的曲率分别为：
Bezier曲线曲面造型技术研究
Bezier曲线曲面造型技术研究Bezier曲线之所以在实践中展示出如此顽强的生命力,缘于其具有优良的控制性质,同时又几何直观,使设计者能够模仿曲线曲面的设计过程。
此外,该方法又惊人的简单,有一套稳定、高效的配套算法。
但同时也必须看到,Bezier方法自身也存在一定的缺陷,如不具有局部修改性质,对曲线调节手段过于单一,缺乏足够的自由度实现来实现对组合曲线的局部形状修改等等。
Bezier方法的上述缺陷在一定程度上影响了它的应用,因此,致力于通过对Bezier曲线、曲面进行扩展研究,使得扩展后的贝齐尔曲线、曲面不仅保留了原有的一系列优良特性,并且也具备更加灵活的形状调节手段,在设计样条曲线、曲面时拥有更多的自由度来实现形状的局部调节等方面一直是CAGD界研究的热点。
本文的主要工作如下:1.讨论了一种带有三个形状参数的类四次Bezier曲线的扩展问题。
通过引入带有三个形状参数的伯恩斯坦基函数,并在此基础上对四次贝齐尔曲线进行了多参数的扩展,得到了一类四次Bezier曲线,讨论了曲线的一系列的性质。
通过对三参数的调节使曲线更具可调控性以及对圆锥曲线较好的逼近性。
只经过改变局部曲线段的形状参数值就实现了相邻曲线段间C1、G2光滑拼接,从而能够更好的满足实际应用的需求。
2.引入一组含有n个形状参数的Bernstein基函数,定义了类n次Bezier 曲线,详细讨论了如何通过调节参数的值来达到类Bezier曲线段间的C1、G2和C2光滑拼接。
而且只要曲线的次数不小于四次,就可以只修改其中的部分曲线段而不影响样条曲线的整体连续性,具有很好的局部性质。
3.定义了类m×n次Bezier曲面,讨论了形状参数对曲面的影响,给出了在不改变控制点的条件下,通过调节形状参数值实现相邻类贝齐尔曲面片间的C1拼接的具体方法。
第四章 Bezier曲线曲面(上)
j =1,2, n L
这时，Bezier曲线的方程变为：
r p (t ) = 0 £ t £ 1
其中:
j B j , n (t ) = Cn t j (1 - t ) n - j
Bernstein基函数
j = 0,1, n L
2、Bernstein-Bezier曲线
当n＝3 时： ( ) = ( - t ) 3 B0 , 3 t 1
¢ 证明： B j , n (t )
j n = Cnj jt j -1 (1 - t ) n - j - Cn (n - j )t j (1 - t ) - j -1 -1 j n = nCnj-1 t j -1 (1 - t ) n - j －nCn -1 t j (1 - t ) - j -1
二、Bezier曲线的性质
1、Bernstein基函数的性质 1）非负性：
0 £ Bi , n (u ) £ 1 0 £ u £ 1, i = 0,1, n L
2）规范性：
n
å B
i = 0
i , n
( u ) º 1 ,
n n i n
0 £ u £ 1
n i n -i
i i n = Cn -1u i (1 - u ) n -i + Cn -1 u i (1 - u ) -i -1
= (1 - u ) Bi ,n -1 (u ) + uBi -1, n -1 (u )
第五章Bezier曲面与B样条曲面
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5
5.3 曲面的参数表示
❖ 在计算机绘图中常用参数形式表示曲面，自由曲面由曲 面片拼接而成，而曲面片又是由曲线构成，如下图所示：
v
u
图 曲面片
r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u, v)]
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5.3 曲面的参数表示
r(u, v) [x(u, v), y(u,v), z(u, v)]
(0 u, v 1)
上式中 a是沿母线方向的常矢量。
a
直线段
v
u
空间曲线 r1(u)
柱面
r(u, v )
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5.4 Bezier、B样条曲面的生成
5.4 Bezier、B样条曲面的生成
下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲面和B样条曲面
一、Bezier（贝塞尔）曲面
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7
5.3 曲面的参数表示
❖ 当u ui 时，代入式子r(u, v) [x(u, v), y(u, v), z(u, v)]
得：
即参数u为定
上式是曲面上一条参数曲线
，即一条v线。
值的曲面上 的线。
v
r(ui , v j )
u
图-参数曲面
❖当 v v j 时，代入式子 r(u,v) [x(u,v), y(u,v), z(u,v)]
第5章 曲线与曲面的生成与计算
5.1 曲面的参数表示 5.2 Bezier、B样条曲线的生成 5.3 曲面的参数表示 5.4 Bezier、B样条曲面的生成
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Bezier曲线与曲面
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（9）积分
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0) =P0 ；当t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的 起点、终点重合。
b. 切矢量
因为
，所以当t=0时，P’(0)=n
且
、
、
线的
和
（图3.1.15打上斜
三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶
file://C:\360Rec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
2011-1-4
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点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。
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3．Bezier曲面片的拼接 如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提
出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不 同的点。
过 和 点的两切线交于点 ，在 点的切线交 和 于和 ，
则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
file://C:\360பைடு நூலகம்ec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10 次。所以有时
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处 保持一定的连
续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条 件。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)
第78讲 贝齐埃曲线与曲面1
=
(1 −
r u)3V0
+
3u (1 −
r u)2V1
+
3u 2
(1 −
r u)V2
+
r u3V3
r
= ⎡⎣1 u
u2
⎡1
u
3
⎤⎦
⎢⎢−3 ⎢3
⎢⎣−1
的−展0336开项，−003因3此直接1000写⎤⎥⎥⎥⎥⎦ 出⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣VVVV贝rrr1230齐⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦埃三次曲线方程：
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一、引言 回顾：计算机辅助几何设计中的曲线表示
缺点：(1)当特征多边形的顶点分布不均匀时，参数u在曲线上对应点的分 布也不均匀； (2)贝齐埃曲线的形状与定义它的特征多边形相距甚远， (3)改变特征多边形的一个顶点将影响整条曲线。
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五、贝齐埃曲线的改进和使用
缺点：(1)当特征多边形的顶点分布不均匀时，参数u在曲线上对应点的分 布也不均匀； (2)贝齐埃曲线的形状与定义它的特征多边形相距甚远， (3)改变特征多边形的一个顶点将影响整条曲线。
（5）递推性
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三、贝齐埃曲线的几何性质（曲线性质）
贝齐埃曲线性质： （1）端点性质
1) 贝齐埃曲线的起点和终点分别是它的特征多边 形的第一个顶点和最后一个顶点；
2) 曲线在起点和终点处分别同特征多边形的第一 条边和最后一条边相切，切矢量的模长分别为第一 条边长和最后一条边长的n倍；
3) 曲线在两端点处的k阶导矢，只与最靠近它们的 k+1个顶点有关。
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四、贝齐埃曲线的几何作图法
求n＝4时u＝1／3的点的作图过程。
V0 V1 V2
V3
V4 n=4 n 边形
Bezier曲线及曲面
《自由曲线曲面》课程论文Bezier 曲线与曲面姓名：轩小静 学号：2010113010101、Bezier 曲线的背景给定n +1个数据点，p 0(x 0,y 0),…p n (x n ,y n )，生成一条曲线，使得该曲线与这些点所描述的形状相符。
如果要求曲线通过所有的数据点，则属于插值问题；如果只要求曲线逼近这些数据点，则属于逼近问题。
逼近在计算机图形学中主要用来设计美观的或符合某些美学标准的曲线。
为了解决这个问题，有必要找到一种用小的部分即曲线段构建曲线的方法，来满足设计标准。
当用曲线段拟合曲线f (x )时，可以把曲线表示为许多小线段φi (x )之和，其中φi (x )称为基（混合）函数。
)()(0x a x f i ni i φ∑==这些基（混合）函数是要用于计算和显示的。
因此，经常选择多项式作为基（混合）函数。
0111...)(a x a x a x a x n n n n ++++=--φ几何造型有两个分支：一个是曲线曲面造型（surface modeling ），一个是实体造型（solid modeling ）；后来随着技术的进步，两个分支逐渐融合在一起。
曲线曲面的造型的算法和概念是几何造型的公共基础，bezier 曲线曲面在几何造型中扮演着一个非常重要的角色。
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法, 已不能满足用户的需求。
1962年，法国雷诺汽车公司的贝塞尔（P.E.Bezier ）构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF 的曲线和曲面设计系统，1972年，该系统被投入了应用。
想法基点是在进行汽车外形设计时，先用折线段勾画出汽车的外形大致轮廓，然后用光滑的参数曲线去逼近这个折线多边形。
这个折线多边形被称为特征多边形。
逼近该特征多边形的曲线被称为Bezier 曲线。
Bezier 方法将函数逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手。
第二章 Bézier曲线精品文档
二次Bézier曲线等分作图
包络形成的二次Bézier曲线
二次Bézier曲线的拼接
二次Bézier曲线插值
二次Bézier曲线插值图例1
二次Bézier曲线插值图例2
二次Bézier曲线插值图例3
二次Bézier曲线插值图例4
二次Bézier曲线拼接图例1
P2 Q1
Q2 P1
P0
Bézier曲线递推公式图例2
凸包性
凸包的定义
几何不变性例1
几何不变性例2
三次Bézier曲线等分作图
三次Bézier 曲线插值
三次Bézier曲线的几何特征1
三次Bézier曲线的几何特征2
三次Bézier曲线的几何特征3
三次Bézier曲线的几何特征4
三次Bézier曲线等分作 图
P4
Q3
P3 P5
二次Bézier曲线拼接图例2
二次Bézier曲线等分作 图
三次Bernstein基函数
四次Bernstein基函数
递推公式的证明
求导运算
升阶公式的证明一
升阶公式的证明二
分割公式的证明
积分公式的证明
基转化公式的证明
Bézier曲线递推公式的证明
Bézier曲线递推公式图例1
升阶图例2
形状修改图例
连接点处的参数连续性(1)
连接点处的参数连续性(2)
连接点处参数连续性图例
Bézier曲线的几何连续性
组合Bézier 曲线图例
Bézier曲线几何连续性图例
§6.Bézier曲线修形及升阶
Bézier 曲线的形状修改
Bézier 曲线的升阶
有理Bézier曲线
带形状参数Bézier型曲线及曲面的研究的开题报告
带形状参数Bézier型曲线及曲面的研究的开题报告一、选题背景Bézier型曲线及曲面是计算机图形学中常用的描述工具，其在三维建模、动画制作、工程设计等领域中得到了广泛应用。
可是，当前的Bézier型曲线及曲面的研究多数集中于基于控制点的标准形型，而忽略了形状参数的影响。
事实上，形状参数的引入常常决定了曲线及曲面的形态，因此研究Bézier型曲线及曲面的形状参数具有深远的理论与实际意义。
二、研究内容和方法本研究旨在探究Bézier型曲线及曲面的形状参数对曲线及曲面形态的影响，并尝试设计基于形状参数的自适应控制算法。
具体研究内容包括：1. 形状参数的基本概念及其在Bézier型曲线及曲面中的应用。
2. 分析形状参数对Bézier型曲线及曲面形态的影响特征，建立形状参数与曲线及曲面形态之间的映射关系。
3. 设计基于形状参数的自适应控制算法，实现基于用户输入的形状参数逼近目标形态的Bézier型曲线及曲面。
本研究将采用理论分析和计算机模拟相结合的方法，结合实际应用场景进行实验验证。
三、预期成果1. 提出一种新的Bézier型曲线及曲面形态描述方法，并建立形状参数与形态之间的映射关系。
2. 设计并实现基于形状参数的自适应控制算法，能够根据用户输入的形状参数逼近目标形态的Bézier型曲线及曲面。
3. 在三维建模、动画制作、工程设计等领域中进行应用实验，验证所提出方法的有效性与实用性。
四、研究意义本研究可以为计算机图形学领域的相关研究提供新的思路和方法，拓展Bézier型曲线及曲面的描述能力，提高其在实际应用中的精度和灵活性，增强设计师和工程师的创造力和实践能力。
此外，本研究也可以促进形状参数在其他数学领域的应用和发展，具有一定的学术价值和社会影响力。
6.Bezier曲线曲面解析
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 递推性
Jn,n-i(u)= Jn,i(1-u)
2.2 Bezier曲线的几何性质-基函数
• • • • • 非负性 权性 对称性 导函数 J’n,i(u)=n{Jn-1,i-1(u)- Jn-1,i(u)} 递推性Jn,i(u)=(1-u)Jn-1,i(u)- uJn-1,i-1(u)
•不适合于外形设计
xj
1.2 提出Bezier曲线的理由
• 参数样条曲线不 适合于外形设计 • 三次样条曲线采 用Hermit基函数， 如果用其他基函 数，就可以得到 另外的曲线。
1.3 Bezier曲线的产生和发展
• Peire.Bezier(1910~2000)23岁进入法国雷诺 汽车厂工作，从事刀具设计，零件生产线 和数控钻床、铣床的组装调试。50岁开始 研究集合化的曲面构造方法。1962年、 1968年研制成功UNISURF和SURFAPT原型 系统。 • De Casteljau工作于Citroen公司，1959年提 出了Bezier方法。但未象Bezier一样公开发 表。所以曲线称为Bezier曲线。
i=0: Jn-1,i-1(u)=0 i=n: Jn-1,i(u)=0
2.2 Bezier曲线的几何性质
n 由r (u ) J n ,i (u )Vi , 0 u 1 有 i 0
' r (0) n(V 1 V 0 )
同理可得，当 u=1 时
' r (1) n(V n V n1 )
r (u ) J n ,i (u )Vi 0 u 1
i 0
n
i i J n,i (u) Cn u (1 u)ni
贝塞尔曲线（Bezier曲线）
贝塞尔曲线（Bezier曲线）贝塞尔曲线(Bézier curve)，⼜称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应⽤于⼆维图形应⽤程序的数学曲线。
⼀般的⽮量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的⽀点，线段像可伸缩的⽪筋，我们在绘图⼯具上看到的钢笔⼯具就是来做这种⽮量曲线的。
贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线。
贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。
贝塞尔曲线就是这样的⼀条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的⼀条光滑曲线。
在历史上，研究贝塞尔曲线的⼈最初是按照已知曲线参数⽅程来确定四个点的思路设计出这种⽮量曲线绘制法。
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“⽪筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产⽣⽪筋伸引⼀样的变换，带来视觉上的冲击。
它的主要意义在于⽆论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
线性公式给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是⼀条两点之间的直线。
这条线由下式给出：且其等同于线性插值。
⼆次⽅公式⼆次⽅贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：TrueType字型就运⽤了以贝兹样条组成的⼆次贝兹曲线。
三次⽅公式P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝兹曲线。
曲线起始于P0⾛向P1，并从P2的⽅向来到P3。
⼀般不会经过P1或P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进P3之前，⾛向P2⽅向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运⽤了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线，⽤来描绘曲线轮廓。
贝齐尔曲线曲面生成方法
实验三贝齐尔（Bezier）曲线曲面的生成方法实验类型：综合型一、目的与任务目的：通过学生上机，了解贝齐尔（Bezier）曲线德卡斯特里奥的递推算法和贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
任务：熟悉线框建模、表面建模的基本方法。
二、内容、要求与安排方式1、实验内容与要求：贝齐尔（Bezier）曲线曲面的德卡斯特里奥的递推算法P（t）=∑Bi,n(t)Q(i)和几何作图法；要求用熟悉的编程语言编制、调试和运行程序，并打印程序清单和输出结果。
2、实验安排方式：课外编写好程序清单，按自然班统一安排上机。
三、实验步骤1、熟悉贝齐尔（Bezier）的贝齐尔基函数和贝齐尔的性质2、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；3、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法；4、贝齐尔（Bezier）曲线的德卡斯特里奥的递推算法；5、贝齐尔（Bezier）曲线的几何作图法。
6、对几何作图法绘制出图，对德卡斯特里奥的递推算法编出程序。
四、实验要求1．在规定的时间内完成上机任务。
2．必须实验前进行复习和预习实验内容。
3．在熟悉命令过程中，注意相似命令在操作中的区别。
4．指定图形完成后，需经指导教师认可后，方可关闭计算机。
5．完成实验报告一份。
五、试验具体内容1，Bezier 曲线的描述在空间给定n + 1 个点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn ,称下列参数曲线为n 次的Bezier 曲线。
P(t) = 6nt = 0PiJ i ,n (t) , 0 ≤t ≤1其中J i ,n (t) 是Bernstein 基函数,即B i ,n (t) = n !／i !(n - i) *t(1-t);i = 0 , ⋯⋯,n一般称折线P0P1P2 ⋯Pn 为曲线P(t) 的控制多边形;称点P0 ,P1 ,P2 , ⋯,Pn 为P(t) 的控制顶点。
在空间曲线的情况下,曲线P(t) = (x(t) ,y(t) ,z (t) ) 和控制顶点Pi = (Xi ,Yi ,Zi) 的关系用分量写出即为:X(t) = 6ni = 0XiJ i ,n (t)Y(t) = 6ni = 0YiJ i ,n (t)Z(t) = 6ni = 0ZiJ i ,n (t)当t 在区间[0 ,1 ] 上变动时,就产生了Bezier 曲线。
bezier 曲线的曲面拟合
bezier 曲线的曲面拟合一、Bezier曲线Bezier曲线是一种基本的几何曲线，它是由法国的科学家法国人Pierre Bezier于1962年提出的，在计算机图形学中应用广泛，在大多数绘图软件中都有它的实现。
实际上，Bezier曲线是一种由控制点和贝塞尔曲线段组成的平滑曲线，这些贝塞尔曲线段可以连接构成一条实现的曲线段。
Bezier曲线的定义如下：用n+1个控制点P0，P1，...Pn确定唯一的n阶Bezier曲线，该曲线由n个(n>=2)Bezier曲线段组成，它的路径方程为：B(t) = sum(Pi* Bn,i(t) (i=0,1,...n)其中Bn,i (t)为贝塞尔基函数：Bn，i (t)= C(n,i)*t^i*(1-t)^(n-i) (i=0,1...n) 其中C(n,i) 为组合数：C(n,i) = n!/(i!*(n-i)!)Bezier曲线具有一定的优势：（1）Bezier曲线的计算量不多，而且计算量固定，从它的定义式可以看出，Bezier曲线的计算量只和控制点的数量有关，和区间长度无关；（2）Bezier曲线的计算公式是一种确定的公式，易于推导，即使在变换空间中也能简单的求解；（3）Bezier曲线的优点在于曲线的表示力强，它不仅能准确描述曲线上的每一点，而且能模拟出椭圆、圆弧、抛物线、双曲线等复杂的曲线。
二、Bezier曲面Bezier曲面是基于Bezier曲线构建的一种曲面，与Bezier曲线相比，Bezier曲面有更大的表示能力，能代表更复杂的曲面，该方法在计算机图形学中应用广泛，特别是在汽车设计、航空航天、产品建模、工业设计、船舶设计等行业非常流行。
根据贝塞尔三角形的定义，Bezier曲面的曲面表达形式为：B(u,v)=sum(Pi,j * Bm,i(u) * Bn,j(v) (i=0,1,...,m; j = 0,1,...n))其中Bm,i (u)和Bn,j (v)分别为贝塞尔基函数：Bm,i (u) = C(m,i) * u^i * (1-u)^(m-i) (i=0,1,...,m)Bn,j (v) = C(n,j) * v^j * (1-v)^(n-j) (j=0,1,...n) 其中C(m,i)和C(n,j)分别为组合数，m和n分别表示控制点的维度。
bezier曲线曲面的性质及其应用毕业论文.docx
bezier曲线曲面的性质及其应用毕业论文本科毕业设计(论文)Bezier曲线曲面的绘制及性质研究学院名称理学院专业班级信息与计算科学（试点10）学生姓名导师姓名年月日目录摘要 (2)第一章绪论 (3)1.1发展历程 (3)1.2开发工具——Visual C++ 6.0简介 (4)第二章曲线基础 (5)2.1 曲线的参数表示 (5)2.2 插值与逼近 (6)2.2.1 插值 (6)2.2.1 逼近 (7)2.3.1 函数的可微性 (8)2.3.2 几何连续性 (8)2.4 样条描述 (9)2.5 三次样条 (10)第三章 Bezier曲线与Bezier曲面 (12)3.1 Bezier曲线 (12)3.1.1 Bezier曲线的定义 (12)3.1.2 Bezier曲线的性质 (15)3.1.3 Bezier曲线的拼接 (16)3.1.4 Bezier曲线的绘制 (18)3.1.5 Bezier曲线的几个不足 (19)3.2 Bezier曲面 (20)3.2.1 Bezier曲面的定义 (20)3.2.2 Bezier曲面的性质 (20)3.2.3 Bezier曲面的绘制 (22)3.2.4 Bezier曲面的拼接 (23)3.3 自由曲线是自由曲面的基础 (24)参考文献 (25)附录 (25)致谢 (33)摘要计算机图形学是一种使用数学算法将二维或三维图形转化为计算机显示器的栅格形式的科学。
简单地说，计算机图形学的主要研究内容就是研究如何在计算机中表示图形、以及利用计算机进行图形的计算、处理和显示的相关原理与算法。
它的重要性体现在人们越来越强烈地需要和谐的人机交互环境：图形用户界面已经成为一个软件的重要组成部分，可视化已经成为信息领域的一个重要发展趋势。
样条曲线发展迅速。
在基于PC系统的Photoshop、3D Max、AutoCAD、Maya等建模工具中，“样条曲线”以“基本图形对象”的存在形式，实现平面绘图、立体绘图基本功能，是“三维动画”的重要组成元素；样条曲线也是几何造型技术的重要内容。
第5章 贝齐尔曲线曲面
= (1 − t )b0 + tb1
⎡ 1 0⎤ ⎡b0 ⎤ 写成矩阵形式：p(t ) = [1 t ]⋅ ⎢− 1 1⎥ ⎢b ⎥ ⎣ ⎦⎣ 1⎦ n = 2时： p(t ) = b0 ⋅ B0, 2 (t ) + b1 ⋅ B1, 2 (t ) + b2 ⋅ B2, 2 (t )
= (1 − t ) 2 b0 + 2t (1 − t )b1 + t 2b2
n! (n − 1)! −1 ⋅ j=n = n ⋅ Cnj− C ⋅j= 1 j !(n − j )! ( j − 1)!(n − j )! n! (n − 1)! j j ⋅ (n − j ) = n = n ⋅ Cn −1 Cn ⋅ ( n − j ) = j !(n − j )! j !(n − j − 1)! B j ,n (t ) j −1 j −1 n− j j j n − j −1 故： = n ⋅ Cn −1 ⋅ t (1 − t ) − n ⋅ Cn −1 ⋅ t (1 − t ) dt = n ⋅ [ B j −1,n −1 (t ) − B j ,n −1 (t )]
2.
非负性： B j ,n (t ) ≥ 0 规范性：∑ B j ,n (t ) ≡ 1
⎧1 , j = 0 ⎧1 , j = n B j ,n (1) = ⎨ 端点性质：B j ,n (0) = ⎨ ⎩0 , 其它 ⎩0 , 其它
j =0 n
3.
4.
5.
对称性：B j ,n (t ) = Bn − j ,n (1 − t )
2 2
P(t ) = ∑ Qi ⋅ C ⋅ t ⋅ (1 − t )
i =0 i n i
n
n −i
Bezier曲线曲面
由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示 方法, 已不能满足用户的需求。1962年，法国雷诺汽车公司的 P.E.Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计 方法，并用这种方法完成了一种称为UNISURF的曲线和曲面 设计系统，1972年，该系统被投入了应用。Bezier方法将函数 逼近同几何表示结合起来，使得设计师在计算机上就象使用 作图工具一样得心应手。
– GC2条件？
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28
拼接命题
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n) 和Qj(j=0,1,..., m)，且令 ai Pi Pi1,bj Qj Qj1，如图3.1.13所示，我们现 在把两条曲线连接起来。
Pn-2
Pn-1
an
形顶点 Q2，而顶点
、 已被 Q0
Q1
G1连续条件所确定。要达到 连 G2
续的话，只剩下顶点 Q2 可以自由选取。
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连接条件
如果从上式的两边都减去 Pn ，则等式右边可以表示为 和 (Pn Pn1) 的 线性组合： (Pn1 Pn2)
Q2
Pn
2
2
n
1
(
Pn
Pn1) 2 (Pn1
并满足方程
。 Q"(0) 2P"(1) P'(1)
我们将 、 和 Q"(0) P"(1)
P' (1)
可以得到：
， Q0 Pn
、Q1 Q2 (Pn Pn1)
代入，并整理，
Q2
2
2
n 1
1
Pn
cadcam实验贝齐尔(Bezier)曲线曲面的生成方法
1贝齐尔曲面设计 1.1 贝齐尔曲面定义设),1,0;,1,0(m j n P ij =为)1()1(+⨯+m n 个空间点列，则m ×n 次Bezier 曲面定义为：]1,0[,)()(),(00,,∈=∑∑==v u v B u B P v u P m i nj n j m i ij （式2-1）其中im ii m m i u u C u B --=)1()(, ，jn j j n n i v v C v B --=)1()(,是Bernstein 基函数。
依次用线段连接点列中相邻两点所形成的空间网格，称之为特征网格。
Bezier 曲面的矩阵表示式是：[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(,),(),(),(,,1,0101111000100,,1,0v B v B v B P P P P P PP P P u B u B u B v u P m n m m nm n n m m n m n n （式2-2）在一般实际应用中，n 、m 不大于4。
(1) 双线性Bezier 曲面 当m=n=1时∑=∑==1010)()(),(1,1,i j p w B u B w u S ijj i u ，w ∈[0,1] （式2-3）定义一张双线性Bezier 曲面。
已知四个角点之后，则11100100)1()1()1)(1(),(uwpup w p u u w w u S -+-+--= (式2-4)(2) 双二次Bezier 曲面 当m=n=2时∑∑===2022,2,)()(w)S(u,i j ijj i p w B u B ]1,0[,∈w u （式2-5）由此式定义的曲面，其边界曲线及参数坐标曲线均为抛物线。
(3) 双三次Bezier 曲面 当m=n=3时∑∑===3033,3,)()(w)S(u,i j ijj i p w B u B ]1,0[,∈w u (式2-6)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()]()()()([),(3,33,23,13,0333231302322212013121110030201003,33,23,13,0w B w B w B w B p p p p p p p p p p p p p p p p u B u B u B u B w u S (式2-7)其矩阵表示为TTZ Z Z W M B UM w u S =),(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----===0001003303631331],1[],1[2323z M w w w W u u u U （式2-8）1.2 贝齐尔曲面性质1．Bezier 曲面特征网格的四个角点正好是Bezier 曲面的四个角点，即P(0,0)=P00 P(1,0)=PM0 P(0,1)=P0N P(1,1)=PMN 2. Bezier 曲面特征网格最外一圈顶点定义Bezier 曲面的四条边界；Bezier 曲面边界的跨界切矢只能与定义该边界的顶点及相邻一排顶点有关，且P00P10P01, P0nP1nP0,n-1, Pm0Pm-1,0Pm1,分别是四个角点的切平面；跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶点有关。
有理Bézier调和与双调和曲面的设计
有理Bézier调和与双调和曲面的设计一、引言1.1 研究背景及意义1.2 相关研究现状二、Bézier调和曲面的设计2.1 Bézier曲线和曲面的基本概念2.2 Bézier调和曲面的定义及性质2.3 Bézier调和曲面的构造方法三、双调和曲面的设计3.1 双调和曲面的基本概念及定义3.2 双调和曲面的构造方法3.3 双调和曲面的性质及应用四、Bézier调和曲面与双调和曲面的关系4.1 双调和曲面在Bézier调和曲面中的应用4.2 Bézier调和曲面中双调和曲面的表示4.3 Bézier调和曲面与双调和曲面的相互转换五、结论和展望5.1 研究成果总结5.2 存在问题及未来研究方向5.3 应用前景和意义附：参考文献一、引言在计算机图形学和计算机辅助设计等领域中，曲面的设计与表示一直是研究的重点和难点之一。
Bézier曲线和曲面作为数学表达曲面的重要工具，广泛应用于曲面的设计和表示中。
而Bézier调和曲面和双调和曲面作为Bézier曲线和曲面的扩展，能更好地描述曲面的弯曲程度和特征，具有更广泛的应用前景。
Bézier调和曲面和双调和曲面在计算机辅助设计、虚拟现实、数学建模等领域都有重要应用。
Bézier调和曲面广泛应用于CAD/CAM系统、工业设计、航空设计等工程领域中，具有更强的曲率控制能力，能够更好地反映实际物体的曲面特点；双调和曲面则广泛应用于游戏和电影等虚拟现实领域中，能够更好地处理复杂的曲面形状和光照效果。
本文旨在系统地探讨Bézier调和曲面与双调和曲面的设计方法和应用研究，从理论和实践角度探讨它们的基本概念、构造方法、性质和应用。
本文共分为五章，依次介绍Bézier调和曲面的设计、双调和曲面的设计、Bézier调和曲面与双调和曲面的关系、以及结论和展望。
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]1,0[ t
' 1
P ) 2 t 3 t( '0P ) t 2 t2 3 t( 1P ) 2 t3 3 t2( 0P )1 2 t3 3 t2( ) t(P
d k [ F ( xk ) yk ]2
k 1 n
F 令F(x)为一个m次多项式， ( x) a j x j 使得偏差 j 0 平方和 n m
m
(a j ) d k [ a j xkj yk ]2
k 1 j 0
达到最小；
最小二乘法解决逼近问题
2.4 参数曲线的代数形式和几何形式
参数曲线的表示有代数形式和几何形式两种； 考虑一条三次参数曲线，代数形式表示如下：
x(t ) a3 xt 3 a2 xt 2 a1xt a0 x y (t ) a3 y t 3 a2 y t 2 a1 y t a0 y z (t ) a3 z t 3 a2 z t 2 a1z t a0 z t [0,1]
p(t ) [ x(t ) y(t )]
如用`表示对参数的求导，则参数曲线的切 矢量或导函数是：
p`(t ) [ x`(t ) y`(t )]
显示方式表示的圆弧
y
1.0
o
y 1 x2 0 x 1
x
1.0
参数方式表示的圆弧
y
1.0
o
x cos y sin
x
1.0
0 / 2
P01
Q11
x P00 P10
Q01 P00 (1 r ) P r 10 Q11 P01 (1 r ) P r 10
r Q01
s
t
x(r, s, t ) Q01t /(s t ) Q11s(s t ) P r P01s P00t 10
抛物线插值
y y=f(x) y=k(x)
x x(t ), y y(t ), z z (t ), 0 t 1
位置矢量：该曲线的端点在 t=0和t=1处，曲 线上任何一点的位置矢量可用矢量p(t)表示：
p(t ) [ x(t ), y(t ), z(t )]
切矢量
y R
ΔC ΔP
Q
P1
P0 o
x
dP P lim ds s 0 s
1 曲率半径 k
c 0
2.3 插值、逼近、拟合和光顺
(1)：插值
– 插值是函数逼近的重要方法。给定函数f(x) 在区间[a,b]中互异的n个点f(xi) i=1,2,…n，基 于这个列表数据，寻找某一个函数k(x)去逼 近f(x)。若要求k(x)在xi处与f(xi)相等，就称 这样的函数逼近问题为插值问题，称k(x)为 f(x)的插值函数，xi称为插值节点。也就是说， k(x)在n个插值节点xi处与f(xi)相等，而在别 处就用k(x)近似的代替f(x)。在曲线曲面中最 常用到的是线性插值和抛物线插值。
2.5 调和函数
构造参数曲线的不同已知条件，可以得到不同的调和 函数； 对于Hermite参数曲线，调和函数的作用是通过端点及 其切矢量产生整个t值范围内的其余各点列的坐标，并 且只与参数t有关；
2.6曲线段的连续性定义
曲线间连接的光滑度的度量有两种：
–函数的可微性：组合参数曲线在连接处具有 直到n阶连续导矢，即n阶连续可微，这类光 滑度称之为 C n 或 n阶参数连续性。 –几何连续性：组合曲线在连接处满足不同于 的某一组约束条件，称为具有n阶几何连续 性，简记为 G n ;
2. 曲线、曲面参数表示的基础知识
显示、隐式和参数表示；
参数曲线的定义及切矢量、曲率； 插值、逼近、拟合和光顺； 参数曲线的代数形式和几何形式； 调和函数；
曲线段的连续性定义；
2.1 显式、隐式和参数表示
曲线和曲面均有参数表示和非参数表示 之分，在非参数表示中又分为显式表示 和隐式表示。
y1 o x1
y1
y1 x
x2
x3
抛物线插值又称为二次插值。设已知f(x)在三 个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，现构造 函数 k ( x) ax2 bx c，使k(x)在节点xi处与f(x) 相等。根据x1,x2,x3求出a,b,c，便构造了k(x)插 值函数。
(2) 逼近
也可以将上述代数式写成矢量的形式：
P(t ) a3t 3 a2t 2 a1t a0 t [0,1]
在上式中，P(t)表示曲线上任意一点的位置矢量，ai (i=0,…3) 是代数系统矢量
几何形式表示
对于空间曲线，可用于描述曲线的信息有：端点坐标、 切矢量、曲率等，用这些几何信息描述的参数曲线称 为参数曲线的几何形式； 对三次参数曲线，用其端点位置矢量P(0)、P(1)和切 矢量P(0)、P(1)描述，简记为：P0、P1、P0和P1 ，得
根据求极值问题的方法可知，使 (a j )达到极小的 a j (j=0,1…,m)必须满足下列方程组：
n m i j 2 d k a j xk yk xk 0 ai k 1 j 0
i 0,1,..... m
若令 d k x
k 1
n
i k
G2 ； 曲线具有二阶几何连续性
不存在多余拐点； 曲线的曲率变化较小；
注： 拐点：曲线由增变减或由减变增的转折点；
(4) 拟合
拟合不象插值、逼近、光顺那样有完整
的数学和公式定义； 拟合是指在曲线、曲面的设计过程中， 用插值、逼近的办法，使生成的曲线、 曲面达到某些设计的要求，如使曲线通 过型值点、控制点，使曲线“光滑”， “光顺”等；
几何形式表示
现令：
F0 2t 3 3t 2 1
G0 t 3 2t 2 t
F1 2t 3 3t 2
G1 t 3 t 2
t [0,1]
则上式可以简化为：
P(t ) F0 P0 F1P G0 P0' G1P ' 1 1
上式是三次Hermite曲线的几何形式，P0、P1、P0和P1 称为几何系数，F0 , F1 , G0 , G1 称为调和函数（或混合函 数）
计算机图形学
曲线和曲面
1：曲线、曲面研究的发展过程 2：曲线、曲面参数表示的基础知识 3：Bé zier曲线与曲面
1：曲线、曲面研究的发展过程
曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容 之一，它们在实体造型技术、几何造型设计中 有着广泛的应用。近二十年来，曲线、曲面的 发展层出不穷。
1963年，波音(Boeing)公司的佛格森(Ferguson)将曲 线曲面表示成参数矢量形式； 1964年，麻省理工学院(MIT)的孔斯(Coons)用封闭 曲线的四条边界定义一块曲面； 1964年，舍恩伯格(Schoenberg)提出了参数样条曲 线、曲面的定义； 1971年，法国雷诺(Renault)公司的贝塞尔(Bé zier) 发明了一种用控制多边形定义曲线和曲面的方法；
当型值点太多时，构造插值函数使其通过所有的 型值点是相当困难的；同时，也没有必要寻找一 个 插值函数通过所有的型值点； 解决的办法通常是寻找一个次数较低的函数，从 某种意义上最佳的逼近这些型值点； 逼近的方法有很多，最常采用的有最小二乘法；
最小二乘法解决逼近问题
设已知型值点为(xi,yi)(i=1,2,…n)，现构造一个 m(m<n-1)次多项式函数y=F(x)逼近这些型值点； 逼近的好坏可用各点偏差的加权平方和衡量：
变量分离的特点使我们可以用数学公式处理几何分量， 便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间去；
规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分量是 有界的，而不必用另外的参数去定义边界；
易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算；
2.2 参数曲线的定义及切矢量、曲率
一条用参数表示的三维曲线是一个有界的点 集，可写成一个带参数的、连续的、单值的 数学函数，其形式为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
选择弧长s作为参数，则 T
是单位切矢量；
根据弧长微分公式，有 ds 2 dx 2 dy 2 dz 2
ds / dt dx / dt dy / dt dz / dt
2 2 2
2
P (t )
'
2
dP dP dt P ' (t ) 所以，单位切矢量为： ' ds dt ds P (t )
曲率
T(c+Δc) T(c) Q Δc R ΔØ T(c+Δc) T(c)
设以弧长c为参数，弧RQ的弯曲程度一方面与ΔØ的大 小有关，一方面又与弧长ΔC有关； 我们用ΔØ与ΔC比的绝对值 | / c | 来度量弧RQ的弯 曲程度，称为弧RQ的平均曲率； 当Q点趋近于R点时，曲线在R点的曲率为： k lim | / c | | p``(c) |
Si ,
d
k 1
n
k
i yk xk Ti
；则可得方程组：
a
j 0
m
j
Si j Ti
这里有m+1个方程，可以解出m+1个系数未知数 a0,a1,…am，代入定义即可求出多项式F(x)逼近已知 的n个型值点；