北师大版 九年级上册 函数的单调性 优质课件
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在某一区间内， 图象在该区间呈上升趋势
当x的值增大时，函数值y也增大 图象在该区间呈下降趋势
当x的值增大时，函数值y反而减小
函数的这种性质称为函数的单调性．
问题3 如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢？
0
x
思考
（1）对于某函数，若在区间(0，+∞)上， 当x＝1时， y＝1；当 x＝2时，y＝3 ，能否 说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?
函数的单调性教学设计
教材分析
从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第 一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.
函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变 化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了 直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以 函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析 解释定性结果的过程.
教学重点和难点
理解函数的单调性概念 掌握判断一些简单函数的单调性的方法，主要
是能根据函数的图像来判断函数的单调性 本节课的教学重点是函数单调性的概念，判断、
证明函数的单调性 难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定
义以及根据定义证明函数的单调性.
学情分析
首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象 的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上 升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观 到抽象的转变对高一的学生来说比较困难
t/h
说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?
问题1 作出下列函数的图象,并指出图 象的变化趋势:
(1) y x 1
(3) y x2
(2) y 2x 2
(4) y 1 x
y
y x1 1
y
y 2x 2 2
-1 O y
x
y x2
O
x
1
O
x
y
y 1
x
O
x
问题2 你能明确地说出“图象呈逐 渐上升趋势”的意思吗？
x1，x2，当 x 1＜x2 时，都有 f（x1）＜f（x2）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.
问题5
如何定义一个函数是单调减函数？
y
f(x1)
0 x1
f(x2)
x2
x
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A， 区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值
x1，x2，当 x 1＜x2 时，都有 f（x1）＞f（x2）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调减函数.
单调区间
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函 数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在 区间I上具有单调性.
单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.
例1 根据图象说出函数的单调区间.
Hale Waihona Puke θ/ºC10 8 6 4 2
y＝f(x)，x∈[0，24]
0 -2
…
记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%
…
1. 艾宾浩斯遗忘曲线
保持量（百分数）
100 80 60 40 20
0
1
2
3
4
5
6
天数
2. 某市一天24小时的气温变化图
θ/ºC
10
y＝f(x)，x∈[0，24]
8
6
4
2
0 -2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
t/h
[0，4] [4，14] [14，24]
例2 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x2 2
单调增区间为 , 0 单调减区间为0,
y2
1
x -2 -1 O 1 2
(2) y 1 (x 0) x
两个单调减区间,0和0，
教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点， 突破难点，把教学过程设计为四个阶段： 创设情境，引入课题；归纳探索，形成 概念；掌握证法，适当延展；归纳小结， 提高认识.
德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后
y
yn y3 y2 y1
0 x1 x2 x3
xn
x
问题4 如何用数学语言表述一个函数是 增函数呢？
Y
f(X2)
f(X1)
0
X1
X2 X
X不断增大，f(x)也不断增大
y y=f(x)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2 x
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，
区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值
y
3 1
012 x
（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地 y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞) 上，y 随x 的增大而增大呢？
y
0
12 3 4
x
（3）若有n个正数x1< x2<x3<······< xn，它 们的函数值满足: y1< y2<y3<······< yn．能否 就说在区间(0，+∞) 上y随着x的增大，而增 大呢？ 若x取无数个呢?
其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次 接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的 推理论证能力是比较薄弱的
教法建议
本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学 目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲授，学 生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的 线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学 思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶 段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究， 从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法， 培养能力.教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教 学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为 学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解 和认识．
能否写成 ,00， ?
两区间之间用和或用逗号隔开.
y
x2
O
x x1
例３ 求证：函数 f (x) 1 1 在区间
x
，0 上是单调增函数．
（1）怎样证明？
（2） 若f (x) a 1(a 0)呢?
x
练习：填表
函数
y kx+b（k 0）
y k (k 0) x
函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据. 本章研究的单调性是从观察函数图象的特性，然后给出一般的定 义，作为代数方面证明的开始和基础这也是学生接受的难点所 在．从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等 其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培 养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.
当x的值增大时，函数值y也增大 图象在该区间呈下降趋势
当x的值增大时，函数值y反而减小
函数的这种性质称为函数的单调性．
问题3 如何用数学语言表述一个函数 是增函数呢？
0
x
思考
（1）对于某函数，若在区间(0，+∞)上， 当x＝1时， y＝1；当 x＝2时，y＝3 ，能否 说在该区间上 y 随 x 的增大而增大呢?
函数的单调性教学设计
教材分析
从函数角度来讲. 函数的单调性是学生学习函数概念后学习的第 一个函数性质，也是第一个用数学符号语言来刻画的概念.
函数的单调性与函数的奇偶性、周期性一样，都是研究自变量变 化时，函数值的变化规律；学生对于这些概念的认识，都经历了 直观感受、文字描述和严格定义三个阶段，即都从图象观察，以 函数解析式为依据，经历用符号语言刻画图形语言，用定量分析 解释定性结果的过程.
教学重点和难点
理解函数的单调性概念 掌握判断一些简单函数的单调性的方法，主要
是能根据函数的图像来判断函数的单调性 本节课的教学重点是函数单调性的概念，判断、
证明函数的单调性 难点是引导学生归纳并抽象出函数单调性的定
义以及根据定义证明函数的单调性.
学情分析
首先，要求用准确的数学符号语言去刻画图象 的上升与下降,把对单调性直观感性的认识上 升到理性的高度, 这种由形到数的翻译,从直观 到抽象的转变对高一的学生来说比较困难
t/h
说出气温在哪些时间段内是逐渐升高或下降的?
问题1 作出下列函数的图象,并指出图 象的变化趋势:
(1) y x 1
(3) y x2
(2) y 2x 2
(4) y 1 x
y
y x1 1
y
y 2x 2 2
-1 O y
x
y x2
O
x
1
O
x
y
y 1
x
O
x
问题2 你能明确地说出“图象呈逐 渐上升趋势”的意思吗？
x1，x2，当 x 1＜x2 时，都有 f（x1）＜f（x2）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调增函数.
问题5
如何定义一个函数是单调减函数？
y
f(x1)
0 x1
f(x2)
x2
x
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A， 区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值
x1，x2，当 x 1＜x2 时，都有 f（x1）＞f（x2）
那么就说y= f(x)在区间I上是单调减函数.
单调区间
如果函数y=f(x)在区间I是单调增函 数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在 区间I上具有单调性.
单调增区间和单调减区间统称为单 调区间.
例1 根据图象说出函数的单调区间.
Hale Waihona Puke θ/ºC10 8 6 4 2
y＝f(x)，x∈[0，24]
0 -2
…
记忆保持量
100% 58.2% 44.2% 35.8% 33.7% 27.8% 25.4% 21.1%
…
1. 艾宾浩斯遗忘曲线
保持量（百分数）
100 80 60 40 20
0
1
2
3
4
5
6
天数
2. 某市一天24小时的气温变化图
θ/ºC
10
y＝f(x)，x∈[0，24]
8
6
4
2
0 -2
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
t/h
[0，4] [4，14] [14，24]
例2 画出下列函数图象，并写出单调区间：
(1) y x2 2
单调增区间为 , 0 单调减区间为0,
y2
1
x -2 -1 O 1 2
(2) y 1 (x 0) x
两个单调减区间,0和0，
教学过程的设计
为达到本节课的教学目标，突出重点， 突破难点，把教学过程设计为四个阶段： 创设情境，引入课题；归纳探索，形成 概念；掌握证法，适当延展；归纳小结， 提高认识.
德国著名心理学家艾宾浩斯研究数据
时间间隔
刚刚记忆完毕 20分钟之后 1小时之后 8-9小时之后 1天后 2天后 6天后 一个月后
y
yn y3 y2 y1
0 x1 x2 x3
xn
x
问题4 如何用数学语言表述一个函数是 增函数呢？
Y
f(X2)
f(X1)
0
X1
X2 X
X不断增大，f(x)也不断增大
y y=f(x)
f(x1) f(x2)
O
x1
x2 x
一般地,设函数y=f(x)的定义域为A，
区间I A. 如果对于区间I内的任意两个值
y
3 1
012 x
（2）若x＝1，2，3，4，时，相应地 y＝1，3，4，6，能否说在区间(0，+∞) 上，y 随x 的增大而增大呢？
y
0
12 3 4
x
（3）若有n个正数x1< x2<x3<······< xn，它 们的函数值满足: y1< y2<y3<······< yn．能否 就说在区间(0，+∞) 上y随着x的增大，而增 大呢？ 若x取无数个呢?
其次，单调性的证明是学生在函数学习中首次 接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的 推理论证能力是比较薄弱的
教法建议
本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学 目标和学生的认知水平，主要采取教师启发讲授，学 生探究学习的教学方法.教学过程中，根据教材提供的 线索，安排适当的教学情境，让学生展示相应的数学 思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶 段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究， 从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法， 培养能力.教学中使用了多媒体投影和计算机来辅助教 学．目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为 学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解 和认识．
能否写成 ,00， ?
两区间之间用和或用逗号隔开.
y
x2
O
x x1
例３ 求证：函数 f (x) 1 1 在区间
x
，0 上是单调增函数．
（1）怎样证明？
（2） 若f (x) a 1(a 0)呢?
x
练习：填表
函数
y kx+b（k 0）
y k (k 0) x
函数单调性的学习为进一步学习函数的其它性质提供了方法依据. 本章研究的单调性是从观察函数图象的特性，然后给出一般的定 义，作为代数方面证明的开始和基础这也是学生接受的难点所 在．从学科角度来讲.函数的单调性是学习不等式、极限、导数等 其它数学知识的重要基础，是解决数学问题的常用工具，也是培 养学生逻辑推理能力和渗透数形结合思想的重要素材.