渑池县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

渑池县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “”是“”的（ ）2
4
x π
π
-
<≤
tan 1x ≤A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【命题意图】本题主要考查充分必要条件的概念与判定方法，正切函数的性质和图象，重点是单调性.2． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
3． 下列4个命题：
①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”；②若“¬p 或q ”是假命题，则“p 且¬q ”是真命题；
③若p ：x （x ﹣2）≤0，q ：log 2x ≤1，则p 是q 的充要条件；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2；其中正确命题的个数是（
）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个4． 设0＜a ＜1，实数x ，y 满足
，则y 关于x 的函数的图象形状大致是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 函数y=|a|x ﹣（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ）
A ．16
B ．6
C ．4
D ．8
7． 已知双曲线
（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为
，则双曲线的离心率为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 复数的虚部为（ ）
A ．﹣2
B ．﹣2i
C ．2
D ．2i
9． 在平面直角坐标系中，直线y=x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（
）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
10．已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
11．函数y=a x +2（a ＞0且a ≠1）图象一定过点（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，3）
C ．（1，0）
D ．（3，0）
　12．设实数
，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）
A ．a ＜c ＜b
B ．c ＜b ＜a
C ．b ＜a ＜c
D ．a ＜b ＜c
二、填空题
13．在（1+x ）（x 2+）6的展开式中，x 3的系数是 ．
14．（﹣）0+[（﹣2）3]
= ．
15．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.()ln f x a x x =-(1,2)
16有两个不等实根，则的取值范围是
．
()23k x =-+17．在中，有等式：①；②；③；④
ABC ∆sin sin a A b B =sin sin a B b A =cos cos a B b A =
.其中恒成立的等式序号为_________.sin sin sin a b c
A B C
+=+18．【启东中学2018届高三上学期第一次月考（10月）】已知函数在上是增函
()f x xlnx ax ＝－＋()0e ，数，函数，当时，函数g （x ）的最大值M 与最小值m 的差为，则a 的值
()22x
a g x e a ＝－＋[]03x ln ∈，3
2
为______.
三、解答题
19．如图在长方形ABCD 中，是CD 的中点，
M 是线段AB 上的点，．
（1）若M 是AB 的中点，求证：
与
共线；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得
与
垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M 点的位置；
（3）若动点P 在长方形ABCD 上运动，试求
的最大值及取得最大值时P 点的位置．
20．（本小题满分12分）已知函数（）．
()2
ln f x ax bx x =+-,a b ∈R （1）当时，求函数在上的最大值和最小值；
1,3a b =-=()f x 1,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（2）当时，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求
0a =b (]0,e x ∈e ()f x 出的值；若不存在，说明理由；
b
21．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A 的横坐标为，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.
()()f x x a a R =-∈（1）当时，解不等式；
1a =()211f x x <--（2）当时，，求的取值范围.
(2,1)x ∈-121()x x a f x ->---
23．2()sin 2f x x x =.（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()12
A f =，ABC ∆
的面积为.
24．本小题满分10分选修：坐标系与参数方程选讲
44-在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，在极坐标系与直角坐标系取相同的长
xoy 3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩xOy 度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴中，圆的方程为．
O x
C ρθ=Ⅰ求圆的圆心到直线的距离；
C Ⅱ设圆与直线交于点，若点的坐标为
，求．
C A B 、P (3,PA PB +
渑池县高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，所以，即.反之，当
tan y x =,22ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
24x ππ-<≤tan tan 4x π≤tan 1x ≤时，（），不能保证，所以“”是“”
tan 1x ≤24k x k πππ-<≤+πk Z ∈24x ππ-<≤24
x ππ
-<≤tan 1x ≤的充分不必要条件，故选A.2． 【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C 选项．故选：C ．
【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．　
3． 【答案】C
【解析】解：①命题“若x 2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣x ≠0”，①正确；
②若“¬p 或q ”是假命题，则¬p 、q 均为假命题，∴p 、¬q 均为真命题，“p 且¬q ”是真命题，②正确；③由p ：x （x ﹣2）≤0，得0≤x ≤2，
由q ：log 2x ≤1，得0＜x ≤2，则p 是q 的必要不充分条件，③错误；
④若命题p ：存在x ∈R ，使得2x ＜x 2，则¬p ：任意x ∈R ，均有2x ≥x 2，④正确．∴正确的命题有3个．故选：C ．　
4． 【答案】A
【解析】解：0＜a ＜1，实数x ，y 满足，即y=
，故函数y 为偶函数，它的图象关于y
轴对称，
在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A ．
【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．　
5． 【答案】D
【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣），因为0＜1﹣＜1，故排除A，B
当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣），因为1﹣＜0，故排除C．
故选：D．
6．【答案】D
【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，
∴S△ABC=absinC==8．
故选：D．
7．【答案】A
【解析】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y=±x，结合题意一条渐近线方程为y=x，
得=，设b=4t，a=3t，则c==5t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e==．
故选A．
【点评】本题给出双曲线的一条渐近线方程，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程、基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．
8．【答案】C
【解析】解：复数===1+2i的虚部为2．
故选；C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．
9．【答案】A
【解析】解：圆x2+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
10．【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx2﹣y2=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=±x
故=，∴k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
11．【答案】B
【解析】解：由于函数y=a x （a＞0且a≠1）图象一定过点（0，1），故函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（0，3），
故选B．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】解：∵，b=20.1＞20=1，0＜＜0.90=1．
∴a＜c＜b．
故选：A．
二、填空题
13．【答案】　20　．
【解析】解：（1+x）（x2+）6的展开式中，
x3的系数是由（x2+）6的展开式中x3与1的积加上x2与x的积组成；
又（x2+）6的展开式中，
通项公式为T r+1=•x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，满足题意；
令12﹣3r=2，解得r=，不合题意，舍去；
所以展开式中x 3的系数是=20．
故答案为：20．　
14．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3
]=1+（﹣2）﹣2=1+=．故答案为：．　
15．【答案】2a ≥【解析】
试题分析：因为在区间上单调递增，所以时，恒成立，即()ln f x a x x =-(1,2)(1,2)x ∈()'10a
f x x
=
-≥恒成立，可得，故答案为.1
a x ≥2a ≥2a ≥考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.16．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝
⎦【解析】
试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数
的图象是一个半圆，
y =
()23y k x =-
+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303
224
k -=
=+
，解得，所以实数的取值范围是.111]
()23y k x =-+2
512k =53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.17．【答案】②④【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知，推出或，所以三角形为等腰三角
sin sin a A b B =A B =2
A B π
+=
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，，即恒成立，所以是正
sin sin a B b A =sin sin sin sin A B B A =确的；对于③中，，可得，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由cos cos a B b A =sin()0B A -=正弦定理以及合分比定理可知
是正确，故选选②④．1sin sin sin a b c
A B C
+=+考点：正弦定理；三角恒等变换．
18．【答案】
52
【解析】，因为在上是增函数，即在上恒成立，
()1ln f x x a =--+'()f x ()0e ，()0f x '≥()0e ，，则，当时，，
ln 1a x ∴≥+()max ln 1a x ≥+x e =2a ≥又，令，则，()22x
a g x e a =-+x
t e =()[]2,1,32
a g t t a t =-+
∈（1）当时，，，
23a ≤≤()()2max 112a g t g a ==-+()()2
min 2
a g t g a ==则，则，
()()max min 312g t g t a -=-=5
2
a =（2）当时，，，
3a >()()2max 112a g t g a ==-+()()2
min 332
a g t g a ==-+则，舍。

()()max min 2g t g t -=。

52
a ∴=
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）证明：如图，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，当M 是AB 的中点时，A （0，0），N （1，1），C （2，1），M （1，0），
，
由
，可得
与
共线；
（2）解：假设线段AB 上是否存在点M ，使得
与
垂直，
设M（t，0）（0≤t≤2），则B（2，0），D（0，1），M（t，0），
，
由=﹣2（t﹣2）﹣1=0，解得t=，
∴线段AB上存在点，使得与垂直；
（3）解：由图看出，当P在线段BC上时，在上的投影最大，
则有最大值为4．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．
（2）当时，．
0a =()ln f x bx x =-假设存在实数，使有最小值3，b ()(]()
ln 0,e g x bx x x =-∈．………7分11()bx f x b x x
-'=-=①当时，在上单调递减，（舍去）．………8分0b ≤()f x (]0,e ()min 4()e 13,f x f be b e ==-==
②当时，在上单调递减，在上单调递增，10e b <<()f x 10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,e b ⎛⎤ ⎥⎝⎦
∴，满足条件．……………………………10分2min 1()1ln 3,e f x g b b b ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭
③当时，在上单调递减，（舍去），………11分1e b ≥()f x (]0,e ()min 4()e e 13,e
f x
g b b ==-==综上，存在实数，使得当时，函数最小值是3．……………………………12分
2e b =(]0,e x ∈()f x
21．【答案】
【解析】解：（1）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=8﹣p ，|MF|=x 1+，|NF|=x 2+，∴|MF|+|NF|=x 1+x 2+p=8；
（2）p=2时，y 2=4x ，
若直线MN 斜率不存在，则B （3，0）；
若直线MN 斜率存在，设A （3，t ）（t ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则
代入利用点差法，可得y 12﹣y 22=4（x 1﹣x 2）
∴k MN =，
∴直线MN 的方程为y ﹣t=（x ﹣3），
∴B 的横坐标为x=3﹣，
直线MN 代入y 2=4x ，可得y 2﹣2ty+2t 2﹣12=0
△＞0可得0＜t 2＜12，
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
∴点B 横坐标的取值范围是（﹣3，3）．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　
22．【答案】（1）；（2）.{}
11x x x ><-或(,2]-∞-【解析】
试
题解析：（1）因为，所以，
()211f x x <--1211x x -<--即，
1211x x ---<-当时，，∴，∴，从而；
1x >1211x x --+<-1x -<-1x >1x >当
时，，∴，∴，从而不等式无解；112
x ≤≤1211x x --+<-33x -<-1x >当时，，∴，从而；12
x <1211x x -+-<-1x <-1x <-综上，不等式的解集为.{}11x x x ><-或（2）由，得，
121()x x a f x ->---121x x a x a -+->--因为，
1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--所以当时，；
(1)()0x x a --≥121x x a x a -+-=--当时，(1)()0x x a --<121
x x a x a -+->--
记不等式的解集为，则，故，
(1)()0x x a --<A (2,1)A -⊆2a ≤-所以的取值范围是.
(,2]-∞-考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.
23．【答案】（1）（）；（2）5,36k k ππππ⎡⎤+
+⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【解析】
试题分析：（1）根据可求得函数()f x 的单调递减区间；（2）由3222262k x k πππππ+
≤-≤+12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可得，再由三角形面积公式可得，根据余弦定理及基本不等式可得的最小值. 1
3A π
=12bc =
试题解析:（1）111()cos 22sin(22262
f x x x x π=
-+=-+，令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536
k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.
考点：1、正弦函数的图象和性质；2、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用．24．【答案】
【解析】Ⅰ∵
∴ :C ρθ=2:sin C ρθ=
∴，即圆的标准方程为．22:0C x y +-=C 22(5x y +-=
直线的普通方程为．
30x y +=
所以，圆
．
C
Ⅱ由，解得或 22(5
3
x y y x ⎧+=⎪⎨=-++⎪
⎩12x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩21x y =
⎧⎪⎨=+⎪⎩所以
||||PA PB +==。