北京市2020〖人教版〗高三数学复习试卷好题精选模拟卷数学理科3

北京市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷好题精选模拟卷数学理
科
创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31
审核人： 北堂本一
创作单位： 雅礼明智德学校
第I 卷（选择题共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在△ABC 中，“AB BC ＞0”是△ABC 为钝角三角形的（ ）条件
A 充分不必要
B 必要不充分
C 充要
D 既不充分也不必要
2.设集合M=｛-1，0，1｝，N=｛1，2，3，4，5｝映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x+f （x ）为奇函数，这样的映射f 的个数为（ ）个
A 6
B 12
C 24 D10
3.将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）
A 240种
B 120种
C 60种
D 180种 4.专10.△ABC 各角对应边分别为a ，b ，c ，满足
b c a+c a+b
+≥1，则角A 的范围是（ ） A(0，
3π] B(0，6π] C[3π，π) D[6
π
，π) 5.动圆C 经过点F （1,0），并且与直线x=-1相切，若动圆C 与直线y=x+22+1总有公共点，则圆C 的面积（ ）
A 有最大值8π
B 有最小值2π
C 有最小值3π
D 有最小值4π 6.执行如图1所示的程序框图,输出的z 值为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7.已知双曲线
22
22
x y -=1a b 左右焦点分别为F 1、F 2，O 为双曲线中心，P 是双曲线右支上
的一点，△PF 1F 2的内切圆圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于点A ，过F 1作直线PI 的垂线，垂足为B ，若e 为双曲线的离心率，则（ ）
A O
B =e OA B OA =e OB
C OB =OA
D OA 与OB 关系不确定 8.设数列｛a n ｝是首项为1的等比数列，若｛
n n+112a a +｝是等差数列，则（ ）12112a a ++ 23
11
2a a +
+…+ 20122013
11
2a a +
的值为（ ） A B C3018 D3019
9.已知球O 的直径PQ=4，A 、B 、C 是球面上的三点，△ABC 是正三角形，且∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°，则三棱锥P-ABC 的体积为（ ） A
334 B 934 C 332 D 273
4
10.在Rt △ABC 中，CA=CB=2，M 、N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝，则
的取值范围为（ ）
A[2，2.5] B[2，4] C[4，6] D[
3
2
，2] 11.若一个五位数abcde 满足a ＜b ，b ＞c ＞d ，d ＜e 且a ＞d ，b ＞e （如37201,45412）则称这个五位数符合正弦规律，那么自然数中共有（ ）个数符合正弦规律。

A 2892
B 2772
C 1380
D 1692
12. 24.定义在R 上的奇函数y=f （x ）满足f （3）=0，且不等式f （x ）＞-xf`（x ）在（0,+∞）上恒成立，则函数g （x ）=xf （x ）+lg 丨x+1丨的零点个数为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1
第II 卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据
要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上。

13.对于正项数列｛a n ｝，定义H n =
123n
n
a 2a 3a +na +++为｛a n ｝的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为
H n =
，则数列{a n }的通项公式为
14.已知A 、B 、C 、D 、E 为抛物线y=
14
x²上不同的五个点，焦点为F ，且FA +FB +FC +FD +FE =0，则FA +FB +FC +FD +FE =
15.已知SC 为球O 的直径，且SC=4，A 、B 为该球球面上的两点，且AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则三棱锥A-BSC 的体积为
16.定义在R 上的函数f （x ）满足f （1）=1，且对任意实数x 都有f （x ）＜
1
2
，则不等式f （log 2x ）＞
2log x 2的解集为
三．解答题：本大题共6小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知向量m =（a+c ，b ），n =（a-c ，b-a ），且m ·
n =0，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边
（1）求角C 的大小（2）已知△ABC 为锐角三角形，求sinA+sinB 的取值范围 （3）设c=3，求△ABC 的面积S 的最大值 18.（1）求证：123n n-1
n n n
n
C 2C 3C nC =n 2++++
（2）求证：1+2+22+…+25n 1
-（n ∈N +
）能被31整除。

（3）7n
+1
n
C ·7
n-1
+2
n
C ·7
n 2
-…+n 1
n
C
-·7除9，得余数多少？
19.平面图形111ABB AC C 如图1所示，其中11BB C C 是矩形，12,4BC BB ==，2AB AC ==
，
11115A B AC ==。

现将该平面图形分别沿BC 和11B C 折叠，使ABC ∆与
111A B C ∆所在平面都与平面11BB C C 垂直，再分别连接111,,AA BA CA ,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题。

（1）证明：1AA BC ⊥；（2）求1AA 的长；（3）求二面角1A BC A --的余弦值。

20.已知抛物线2
4C y x =：
的焦点为F . (1)点 A P 、满足2AP FA =-.当点A 在抛物线C 上运动时,求动点P 的轨迹方程;
(2)在x 轴上是否存在点Q ,使得点Q 关于直线2y x =的对称点在抛物线C 上?如果存在,求所有满足条件的点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
21.已知函数f （x ）=2a²lnx-x²（a ＞0）
（1）当a=1时求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程。

（2）讨论函数f （x ）在区间[1，e²）上零点的个数
请考生在22~24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22.选修4-1：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根． (1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径． 23.选修4-4：极坐标与参数方程
过点10
(
,0)2
P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ⋅的值及相应的α的值。

24.选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|.
(1) 当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2) 若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围
答案解析
1.【答案】A
【解析】∵AB BC ＞0，即丨AB 丨丨BC 丨cos θ＞0∴cos θ＞0，且θ∈（0，π），∴两个向量的夹角θ为锐角，又∵两个向量的夹角θ为三角形的内角B 的补角，∴B 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形，反过来，△ABC 为钝角三角形，不一定B 为钝角，
则“AB BC ＞0”是△ABC 为钝角三角形的充分不必要条件∴选A
2.【答案】B
【解析】因为要求所有x ＋f(x)是奇数,所以f(-1)和f(1)的值都是偶数,即2,4中的一个；同理f(0)的值为偶数,为1,3,5中的一个；所以这样的f 共有2×2×3=12个 3.【答案】B
【解析】从6名男生中选3人，从4名女生中选2人组成一组，剩下的组成一组，则3264C C =120种∴选B 4.【答案】A 【解析】由
b c
a+c a+b
+≥1得：b （a+b ）+c （a+c ）≥（a+c ）（a+b ），化简得：b 2+c 2-a 2≥bc ，同除以2bc 得，222b c a 2bc +-≥1
2
即cosA ≥
12∵A 为三角形的内角∴A 的范围为(0，3
π
] ∴选A 5.【答案】D
【解析】由题意可得：动圆圆心C （a ，b ）的方程为y 2=4x ．即b 2=4a ．∵动圆C 与直线y=x+22+1总有公共点
∴圆心C 到此直线的距离d ≤r=|a+1|=a+1．∴
a b 221
2
-++≤a+1
又a=2b 4，上式化为| (b 2
-1)2
+22|≤2(2b 4+1)，化为(2-1)b 2+4b-4(2+1)≥0
解得b ≥2或b ≤-(6+42)．当b=2时，a 取得最小值1，此时圆C 由最小面积π×（1+1）2=4π．∴选D ． 6.【答案】D
【解析】1:1,1;2:2;2;3:8,3S s a S s a S s a ======，4:64,4S s a ==
62log 26z ==，结束。

7.【答案】C
【解析】如图所示，O x
y
P
A
B
1F 2
F I ·
1F 焦点三角形内切圆与x 轴焦点为实轴端点
·
1
F
为2F 关于直线PI 的对称点，B 为·
1F 2
F 的中点∴△P 2F ·
1
F
为等腰三角形，B 为垂足 ∴OB =·112F F =·112PF PF -=2a
2
=a 又∵OA =a ∴OB =OA
8.【答案】C
【解析】设a n =q n 1-，b n =
n n+1
1
2a a +∵｛b n ｝是等差数列∴2b n =b n -1+b n +1
∴解得q=1 ∴a n =a 1=1 ∴原式=3018 9.【答案】B
【解析】设球心为M ，三角形ABC 截面小圆的圆心为0，∵ABC 是等边三角形，∠APQ=∠BPQ=∠CPQ=30°∴P 在面ABC 的投影O 是等边△ABC 的重心（此时四心合一）∵PQ 是直径，∴∠PCQ=90°．∴PC=4cos30°=23
∴PO=23•cos30°=3．OC=23sin30°=3∵O 是等边△ABC 的重心
∴OC=23OH ∴等边三角形ABC 的高OH=
332 AC=
3
32
sin60°=3．三棱锥P-
ABC 体积=13PO •S △ABC =13×3×12×
332
×3=934
∴选B
10.【答案】D
【解析】根据题意可以C 为原点建立平面直角坐标系， 则
，直线
AB
方程为：
，可设点
，
由，即
，化简得：
，
由
，
又，结合二次函数的图象可得：∴选D
11.【答案】A
【解析】条件就是b 是最大的，d 是最小的，a ，c ，e 介于最小最大之间．取b=9，d=7时，a ，c ，e 只能是8；d=6
时，a ，c ，e 可取7，8，共23种；d=5时，a ，c ，e 可取6，7，8，共33种；…，d=0时，a ，c ，e 可取1，2，…，8，共83种；故此种情况是1+23+…+83种．类似b=8时，是1+23+…+73种，b=7时，是1+23+…+63种，b=6时，是
1+23+…+53种，b=5时，是1+23+…+43种，b=4时，是1+23+33种，b=3时，是1+23种，b=2时，是1种最后得所有的情况是（1+23+…+83）+（1+23+…+73）+…+1=2892．∴选A 12.【答案】B
【解析】∵不等式f （x ）＞-xf ′（x ）在（0，+∞）上恒成立∴不等式f （x ）+xf ′（x ）＞0在（0，+∞）上恒成立即[xf （x ）]′=f （x ）+xf ′（x ）＞0 即xf （x ）在（0，+∞）递增
∵在R 上的奇函数y=f （x ） 满足f （3）=0 ∴xf （x ）为偶函数且有一个零点为3 令g （x ）=0得xf （x ）=-lg|x+1| 如图可知g （x ）有3个零点∴选B 13.【答案】
【解析】由H n ＝可得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝＝①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝
②
①－②得na n ＝－＝，所以a n ＝.
14.【答案】10
【解析】根据图像与抛物线性质∵x²=4y ∴FA =·
A A =y A +
p
2
∵FA +FB +FC +FD +FE =0 ∴y A -1+y 1B -+y 1C -+y 1D -+y 1E -=0 ∴y A +y B +y C +y D +y E =5 ∴FA +FB +FC +FD +FE =y A +y B +y C +y D +y E +
5p
2
=5+5=10 ∴值为10 A
B
C
M
N
x
y
O
x
y
F y=-1
A`
A
15.【答案】
433
【解析】如图所示,由题意知,在棱锥S ABC 中,
△SAC,△SBC 都是等腰直角三角形,其中AB=2,SC=4, SA=AC=SB=BC=2.
取SC 的中点D,易证SC 垂直于面ABD,
因此棱锥S ABC 的体积为两个棱锥S ABD 和C ABD 的体积和
所以棱锥S ABC 的体积V=SC·S △ADB =
×4×
=
16.【答案】（0,2）
【解析】设g （x ）=f （x ）-12x ∵f ′（x ）＜12∴g ′（x ）=f ′（x ）-1
2
＜0，∴g （x ）为减函数，又∵f （1）=1，∴f （log 2x ）＞
2log x+12=12log 2x+1
2
即g （log 2x ）=f （log 2x ）-
12log 2x ＞12=g （1）=f （1）-1
2
=g （log 22），∴log 2x ＜log 22 又∵y=log 2x 为底数是2的增函数∴0＜x ＜2，则不等式f （log 2x ）＞
2log x+1
2
的解集为（0，2）∴答案为：（0，2） 17.【答案】（1）60° （2）（
3
2
，3] （3）334
【解析】（1）∵m ·n =0 ∴（a+c ）（a-c ）+b （b-a ）=0 ∴a²+b²-c²=ab ∴cosC=222a b c 2ab +-=1
2
∵0＜C ＜180° ∴C=60°
（2）∵C=60° ∴A+B=120° ∴sinA+sinB=sinA+s in （120°-A ） =sinA+sin120°cosA-cos120°sinA=
3
2
sinA+32cosA=3sin （A+30°）
又∵△ABC 为锐角三角形∴30°＜A ＜90° ∴60°＜A+30°＜120° ∴
32＜sin （A+30°）≤1 ∴32＜3sin （A+30°）≤3∴范围为（3
2
，3] （3） 由（1）C=60°∴sinC=
32∴S=1
2
absinC=34ab cosC=
2
2
2
a b c 2ab +-=1
2
代入c=3，得ab=a²+b²-3 ∴3+ab=a²+b²≥2ab
∴ab ≤3 ∴△ABC 的面积S 的最大值为3×
34=334
18.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）0或7
（1）∵根据课本公式，有k k n C =n k-1
n-1
C ∴左式=nC 0n 1-+nC 1n 1-+…+nC n 1n 1--=n （C 0n 1-+C 1n 1-+…+C n 1n 1
--）=n·2n 1- ∴原式得证
（2）根据等比数列求和公式，原式=
(
)5n
11212
⨯--=2
5n
-1=32n -1=（31+1）n
-1
∵（31+1）n =31n +31
n-1
n+…+31n+1
∴（31+1）n
-1=31n
+31n-1
n+…+31n+1-1=31n
+31
n-1
n+ (31)
而易知31n
+31
n-1
n+…+31n 的每一项都有31 ∴31n
+31
n-1
n+…+31n 可以被31整除
即1+2+22+…+2
5n 1
-（n ∈N +
）能被31整除∴原式得证
（1） 根据式子可看出，
原式=7n
+1n
C ·7n-1
+2n
C ·7n 2
-…+n 1
n
C -·7+1-1=（7+1）n
-1=8n
-1=（9-1）n
-1 ∴①当n 为奇数时，将原式展开，有（9-1）n
-1=9M-1-1=9M-2（其中M 为正整数） ∴余数为7（余数没有负的）
②当n 为偶数时，将原式展开，有（9-1）n
-1=9M+1-1=9M （其中M 为正整数） ∴余数为0
∴综上，余数为0或7
19.【答案】（1）见解析（2）5 （3）5
5
-
【解析】（1）取11,BC B C 的中点为点1,O O ，连接1111,,,AO OO AO AO ， 则AB AC AO BC =⇒⊥，面ABC ⊥面11BB C C AO ⇒⊥面11BB C C ， 同理：11A O ⊥面11BB C C 得：1111//,,,AO AO A O A O ⇒共面， 又11
,OO BC OO AO O ⊥=⇒BC ⊥面111AOO A AA BC ⇒⊥。

（2）延长11A O 到D ，使1O D OA =，得：11////O D OA AD OO ⇒，
1OO BC ⊥，面111A B C ⊥面11BB C C 1OO ⇒⊥面111A B C ⇒AD ⊥面111A B C ，
222214(21)5AA AD DA =+=++=。

（3）1
1,AO BC AO BC AOA ⊥⊥⇒∠是二面角1A BC A --的平面角。

在11Rt OO A ∆中，2
2
2211114225A O OO AO =+=
+=，
在1Rt OAA ∆中，22
21
111
5cos 25AO AO AA AOA AO AO +-∠==-
⨯， 得：二面角1A BC A --的余弦值为5
5
-。

20.【答案】（1）2
84y x =-（2）存在，(0 0)，和15
( 0)4
-
， 【解析】(1)设动点P 的坐标为( )x y ，,点A 的坐标为( )A A x y ，,则( )A A AP x x y y =--，,
∵F 的坐标为(1 0)，∴(1 )A A FA x y =-，,
由2AP FA =-得( )2(1 )A A A A x x y y x y --=--，，. 即2(1)
2A A A A
x x x y y y -=--⎧⎨-=-⎩
解得2A A x x y y
=-⎧⎨
=-⎩代入24y x =,得到动点P 的轨迹方程为2
84y x =-.
(2)设点Q 的坐标为( 0)t ，.点Q 关于直线2y x =的对称点为( )Q x y '，,
则122y x t y x t ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=+⎪⎩解得3545x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
若Q '在C 上,将Q '的坐标代入2
4y x =,得2
4150t t +=,即0t =或154
t =-
. ∴存在满足题意的点Q ,其坐标为(0 0)，
和15
( 0)4
-，. 21.【答案】（1）y=-1 （2）当0＜a ＜e 时，函数f （x ）无零点；当a=e 或a ≥2
e 2时，函数
f （x ）有一个零点；
当e ＜a ＜2
e 2
时，函数f （x ）有两个零点
【解析】（1）当a=1时，f （x ）=2lnx-x 2，∴f ′（x ）=
2
x
-2x ．∴f ′（1）=0． 又∵f （1）=-1，∴曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程为y=-1．（2）∵f （x ）=2a 2lnx-x 2∴f ′（x ）
=
（2x-a ）（x+a ）
x
-∵x ＞0，a ＞0
∴当0＜x ＜a 时，f ′（x ）＞0，当x ＞a 时，f ′（x ）＜0．∴f （x ）在（0，a]上是增函数，在[a ，+∞）上是减函数．∴f （x ）max =f （a ）=a 2（2lna-1），讨论函数f （x ）的零点情况如下．①a 2（2lna-1）＜0，即0＜a ＜e 时，函数f （x ）无零点，在（1，e 2）上也无零点；②当a 2（2lna-1）=0，即a=e 时，函数f （x ）在（0，+∞）内有唯一零点a ，而1＜a ＜e 2，∴f （x ）在（1，e 2）内有一个零点；③<1>当a 2（2lna-1）＞0，即a ＞e 时，由于f （1）=-1＜0，f （a ）=a 2
（2lna-1）＞0．
f （e 2）=（2a-e 2）（2a+e 2），当2a-e 2＜0时，即
e ＜a ＜2e 2时，1＜e ＜a ＜2
e 2
＜e 2，
f （e 2）＜0，由单调性可知，函数f （x ）在（1，a ）内有唯一零点x 1、在（a ，e 2）内有唯一零点x 2满足，∴f （x ）在
（1，e 2）内有两个零点； <2>当
2a-e 2≥0
时，即a ≥2
e 2
＞e 时，f （e 2）≥0，而且f ( )e ＝a 2−e ＞0，f （1）=-1＜0，由单调性可知，无论
a ≥e 2还是a ＜e 2，f （x ）在（1，e ）内有唯一的一个零点，在[e
，e 2）内没有零点，从而f （x ）在（1，e 2）内只有一个零点；综上所述，有：当0＜a ＜e 时，函数f （x ）无零点；
当a=e 或a ≥2
e 2时，函数
f （x ）有一个零点；
当e ＜a ＜2
e 2
时，函数f （x ）有两个零点．
22.【答案】（1）见解析（2）5 2
【解析】
(1)证明：连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中，AD ×AB ＝mn ＝AE ×AC ， 即AD AC ＝AE
AB
.又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB .∴∠ADE ＝∠ACB . ∴C ，B ，D ，E 四点共圆．
(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，∴C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .
∵∠A ＝90°，∴GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝1
2(12－2)＝5.
∴C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2 23.【答案】
34；2
πα= 【解析】设直线为10
cos ()2
sin x t t y t αα⎧=
+⎪⎨⎪=⎩
为参数，代入曲线并整理得 223(1sin )(10cos )02t t αα+++=则1223
21sin PM PN t t α⋅==+ ∴当2
sin 1α=时，即2πα=，PM PN ⋅的最小值为34，此时2
πα=
【答案】（1）x ≤1或x ≥4（2）－3≤a ≤0 【解析】（1) 当a ＝－3时，f(x )=|x －3|＋|x －2|≥3
即
或
∴解得x ≤1或x ≥4.
(2)∵f(x)≤|x －4|在[1，2]上恒成立∴|x ＋a|＋2－x ≤4－x 在[1，2]上恒成立
∴－2－x ≤a ≤2－x 在[1，2]上恒成立∴解得－3≤a ≤0.
创作人：百里严守 创作日期：202B.03.31
审核人： 北堂本一
创作单位： 雅礼明智德学校。