第六章：轴向拉伸及压缩

例3
▪ 已知例1中杆件为正方形截面，边长为a=10mm，槽孔宽度 d=4mm，试求杆的最大拉应力和最大压应力。
解：
由例1知：
RA
N1 1kN N2 2kN
t max
N1 a(a
d)
16.7MPa
PB
PC
c max
N2 a2
20MPa
例4
▪ 求例2中杆件的最大正应力。
解：
ld 2
max
Nmax A
4
N d 2 x
4
ld 2
4
轴向拉伸与压缩
▪ 横截面上的应力
观察杆的变形
横截面上只有正应力 横截面上各点应力都相等
N
A
--拉伸、压缩时横截面上的正应力计算公式 应力正负的规定：拉为正，压为负。
轴向拉伸与压缩
▪ 圣文南原理
实验： 应力分布不均匀
作用在弹性体某一局 部区域上的外力系， 若用静力等效的外力 系代替，则在外力系 作用附近区域的应力 分布将有显著变化， 但在较远处，其影响 可以忽略不计。
FN图
kN
60 50
+ 20
1
FN1 A1
0
2
FN 2 A2
60103 4
(20103)2
191MPa
3
FN3 A3
50103 4 (35103 )2
52MPa
例1
▪ 已知：PC 2，kN PB 。 3试kN绘杆的轴力图。 解： 作杆的计算简图如图所示。
1、求固定端A处的约束力。
Fx 0 PB PC RA 0
PBC
96 2
48kN
P 40.4kN
计算许用载荷
轴向拉伸与压缩
▪ § 7-3 拉、压杆的变形计算
一、拉伸或压缩变形
P
P
l l1 l
纵向线应变
l l N
A
l Nl EA
E
--轴向拉伸或压缩变形公式 拉压刚度
轴向拉伸与压缩
P
P
对于均匀、连续、各向同性的材料，
' b1 b 轴向拉、压杆件内任一点沿横截面任意
第Ⅳ阶段：局部变形阶段 出现颈缩现象。
轴向拉伸与压缩
低碳钢拉伸时的机械性质
比例极限 P 和弹性模量E
E
e p s
p
e
应力-应变曲线
E反映材料对弹性变形 抵抗的能力 b 弹性极限 e
卸载后不产生塑性变形 的最大应力。 对于低碳钢
p e
e p s
p
轴向拉伸与压缩
屈服极限 s
将下屈服点对应的应力
RA 1kN
2、分段求轴力
例1
AB段： Fx 0 N1 RA 0
N1 1kN
BC段： Fx 0 N2 RA PB 0
N2 2kN
3、绘制轴力图
例2
▪ 已知：直径为d的圆截面直杆，长为l，重度为 ，铅直放置，
上端固定。试求因杆的自重引起的轴力并画轴力图。
解：
Fx 0
N d 2 x 0
nb 2 3.5
ns 1.2 2.5
轴向拉伸与压缩
引入安全系数的原因：
载荷估计不准确、杆件尺寸制造上的偏差等情况，使计 算结果与实际情况有偏差，出于安全的考虑。 给构件一定的强度储备，以避免意外载荷或恶劣的工作 条件而招致破坏。
安全系数的选择
与材料有关 与构件的具体工作环境有关
安全系数的选择是重要的，安全系数过大会造成 浪费，过小不安全。
4
活塞杆轴力 N P 9.24kN
A
d 2
4
N
9.24 10 2 80 106
1.16 10 4 m2
d 0.012m
设计截面
例7
▪ 已知如图所示吊架，AB为木杆，BC为钢杆，
AAB 10 4 mm 2, ABC 600 mm 2 , AB 7MPa, BC 160 MPa.
e
A0
轴向拉伸与压缩
思考：
低碳钢的拉伸过程分为几个阶段？
答：第Ⅰ阶段：弹性变形阶段；第Ⅱ阶段：屈服或流动 阶段；第Ⅲ阶段：强化阶段；第Ⅳ阶段：局部变形阶段 哪一种材料的强度高？哪一种材料的塑性好？
1
2
3
轴向拉伸与压缩
二、铸铁拉伸时的机械性质
脆性材料：静载常温下延伸率小于5%的材料。
铸铁拉伸时的特点： 没有屈服阶段，没有颈缩现象
轴向拉伸与压缩
强度条件
max
N ( A )max
强度计算中的三类问题
强度校核 设计截面尺寸 确定许用载荷
例5
▪ 已知某压力机立柱如图所示，P 300，kN立柱截面的最小直
径为42mm，材料的许用应力
。 1试40对M立Pa柱进行强
度校核。
解： 立柱轴力
N P 150kN 2
max
k max n
理论应力集中系数： 反映应力集中的程度
轴向拉伸与压缩
塑性材料能够缓和应力集中，脆性材料应考 虑应力集中的影响。
轴向拉伸与压缩
本章小结
•拉、压杆的内力、截面法及轴力图。
•拉、压杆横截面上的正应力 N
•拉、压杆斜截面上的应力
A
p cos cos2
•拉、压杆的强度条件 max
N Am in
150103
(42103)2
4
108MPa
满足强度要求
强度校核
例6
▪ 已知气动夹具如图所示，气缸内径D=140mm，气压
p 0.6MN/m 2 ，活塞杆材料为20号钢，许用应力
为 80。M设P计a 活塞杆的直径。
pD
解： 活塞杆受力如图所示
P p D2 9.24kN
4
d 2
l
4
ld 2
4
轴向拉伸与压缩
▪ 拉伸或压缩时斜截面上的应力
斜截面上的应力是均 匀分布的
Fx 0 p A A 0
p
A A
cos
p cos cos2
p
s in
1
2
sin 2
斜截面上的正应力和切应力是截面方位角的函数。
轴向拉伸与压缩
▪ 讨论：几种特殊截面上的应力
0 0
p
ห้องสมุดไป่ตู้
(
N A
)m
ax
sin
1 2
sin
2
•拉、压杆的纵向变形
•泊松比 '
l Nl EA
•材料拉伸和压缩时的机械性能
轴向拉伸与压缩
本章作业
（2）已知：FA =10kN，FB=20kN， l=100mm，AB段与BC段横截面面积 分别为AAB=100mm2，ABC=200mm2， 材料的弹性模量E=200GPa。试求 杆的轴向变形。
轴向拉伸时横截面上 的正应力是最大的， 该截面切应力为零
45
2
2
轴向拉伸时与横截面 成45度角的斜截面上 的切应力是最大的， 正应力与切应力数值 相等
90 0 0
平行于杆件的纵向截 面上，没有任何应力 的作用
p cos cos2
p
s in
1
2
sin 2
轴向拉伸与压缩
许用应力 ▪ § 2 拉、压杆的强度计算
b
只能测得强度极限，且值比较低 没有明显的直线段
o
三、其他材料拉伸时的机械性质
没有明显的屈服阶段，规定：把产生 0.2%残余变形时对应的应力作为名义 屈服极限，也称屈服强度，用 0.2表示。
轴向拉伸与压缩
四、压缩时材料的机械性质
压缩试件：圆柱形试件
轴向拉伸与压缩
低碳钢压缩试验
屈服阶段以前，基本重合
定义为屈服极限，应力
达到屈服极限时，材料
将产生塑性变形。是衡
b
量材料强度的指标。
强度极限 b
当应力达到强度极限时，
e
受拉杆件出现颈缩并随
即发生断裂。是衡量材
料强度的指标。
e p s
p
轴向拉伸与压缩
延伸率或伸长率
l1 l0 100 %
l0
衡量材料塑性的指标。
b
截面收缩率
A0 A1 100 %
计算简图
桁架的支杆
轴向拉伸与压缩
▪ § 1 拉、压杆的内力与应力
▪ 轴力 NP
轴力正负的规定： 拉为正，压为负
轴力图：用图形表示出轴力随截面位置的变化情况。
作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应力。
1 f 30
2 f 20
60kN
40kN
3 f 35
30kN
50kN
1
2
3
FN1 0 FN2 60kN FN3 50kN
材料的机械性质或力学性质是指材料在外力作用下所表 现出变形和破坏的特性。不同的材料具有不同的机械性 质，相同的材料在不同的工作条件下也具有不同的性质。
材料的机械性质主要由实验测定。测定材料最基本的试 验为常温、静载拉伸试验—在室温下，以缓慢平稳加载 方式进行拉伸试验。对某些材料压缩试验也是基本试验。
横向线应变 b 方向的横向线应变均相等。
试验结果表明：当杆件在弹性变形范围内，其横向线应变 与纵向线应变的比为一常量。
泊松比 横向变形系数
'
'
G E
2(1 )
轴向拉伸与压缩
思考：
某轴向拉杆总伸长为零，那么杆内的应变和各点的位移 是否等于零？
轴向拉伸与压缩
▪ § 4 材料在拉伸和压缩时的机械性能
试求B处可吊的最大许可载荷。
解： 取出两杆受力如图所示
Fy 0 NBC sin 30 P 0
Fx 0 NAB NBC cos30 0
NAB 3P NBC 2P
例7
由强度条件：
N AB 3PAB AAB AB 70kN
PAB
70 3
40.4kN
NBC 2PAB ABC BC 96kN
弹性模量和屈服极限与拉
伸相同
强度极限不能测出
s
压缩曲线 拉伸曲线
对低碳钢而言，拉伸试 验是基本试验。
低碳钢压缩（拉伸)应力应变曲线
轴向拉伸与压缩
铸铁压缩试验
抗压强度远大于抗拉强度 受压断裂时断裂面与轴线 大约成45度角，表明铸铁 受压断裂是因为最大切应 力。
轴向拉伸与压缩
▪ 应力集中的概念
在弹性体的形状发生剧烈变化的局 部区域，应力显著增高，这种现象称为 应力集中。
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念 §2.2 内力、截面法、轴力及轴力图 §2.3 横截面上的应力 §2.4 拉（压）杆的变形 ·胡克定律
§2.5 材料在拉伸和压缩时的力学性能 §2.6 强度条件 ·安全系数 ·许用应力
轴向拉伸与压缩
▪ 特点：都是直杆，所受外力的合力与杆件轴线重 合，沿轴线发生伸长或缩短。--轴向拉伸或压缩
脆性材料：当应力达到强度极限时，构件断裂破坏。 塑性材料：当应力达到屈服应力时，将产生显著的 塑性变形，常会使构件不能正常工作。
工u 程中将构件断裂和显著的塑性变形统称为破坏。 材料破坏时的应力称为极限应力，用〔σ〕表示。
u n
许用 应力
脆性材料 塑性材料
b
nb
s
ns
安全系数：
试件加工和试验条件等参照GB228-76《金属拉力试验 法》
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩
一、低碳钢拉伸试验
低碳钢的拉伸图
第Ⅰ阶段：弹性变形阶段
第Ⅱ阶段：屈服或流动阶段 屈服或流动：低碳钢似乎失 去了对变形的抵抗能力，外 力不需增加，变形却继续增 加。出现滑移线。
第Ⅲ阶段：强化阶段 抵抗变形的能力增强