2019版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做训练：锁定70分专项练3

“锁定70分”专项练3
1．(2019·天津改编)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B 等于________． 答案 {1,4}
解析 因为集合B 中，x ∈A ，
所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1；
当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；
当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7；
当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10.
即B ＝{1,4,7,10}．
又因为A ＝{1,2,3,4}，所以A ∩B ＝{1,4}．
2．设z 是纯虚数，若
1－i z ＋2是实数，则z ＝________. 答案 －2i
解析 设z ＝b i(b ≠0)，
1－i z ＋2＝1－i
b i ＋2＝(2－b )－(2＋b )i 4＋b 2
∈R ， ∴2＋b ＝0，b ＝－2，∴z ＝－2i.
3．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，使x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”，若命题“p 且q ”是真命题， 则实数a 的取值范围是______________．
答案 {a |a ≤－2或a ＝1}
解析 p 为真，则x 2≥a ，所以a ≤1；
q 为真，则Δ＝(2a )2－4(2－a )≥0，
解得，a ≥1或a ≤－2.命题“p 且q ”为真命题，
则a 的取值范围为a ≤－2或a ＝1.
4．由a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1
给出的数列{a n }的第34项是________． 答案 1100
解析 由a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1
得， a 2＝13＋1＝14，a 3＝143×14
＋1＝17， a 4＝173×17＋1＝110，a 5＝1103×110
＋1＝113， a 6＝1133×113
＋1＝116，…，各项分子为1，分母构成等差数列{b n }，首项b 1＝1，公差为d ＝3， 所以b 34＝b 1＋(34－1)d ＝1＋33×3＝100.
5．(2019·课标全国甲改编)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为________．
答案 5
解析 由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112
，所以当sin x ＝1时函数取得的最大值为5.
6．给出以下四个命题：
①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0；
②若a >b ，则am 2>bm 2；
③在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ；
④在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是________．
答案 ③
7．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为________．
答案 20
解析 设正五棱锥高为h ，底面正五边形的角为108°，
底面正五边形中心到边距离为tan 54°，
h ＝12tan 54°，则此正五棱锥体积为13×5×12×2×tan 54°×12tan 54°
＝20. 8．甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{0,1,2，…，9}．若|a －b |≤1，则称甲乙“心有灵犀”．现任意
找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为________．
答案 725
解析 共有10×10＝100(种)猜字结果，其中满足|a －b |≤1的有：当a ＝0时，b ＝0,1；当a ＝1时，b ＝0,1,2；当a ＝2时，b ＝1,2,3；当a ＝3时，b ＝2,3,4；当a ＝4时，b ＝3,4,5；当a ＝5时，b ＝4,5,6；当a ＝6时，b ＝5,6,7；当a ＝7时，b ＝6,7,8；当a ＝8时，b ＝7,8,9；当a ＝9
时，b ＝8,9，共28种，所以他们“心有灵犀”的概率为P ＝28100＝725
. 9．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递减区间是________．
答案 (0，12
) 解析 由题意，得f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x
＝(2x ＋1)(2x －1)x
(x >0)， 又当x ∈(0，12
)时，f ′(x )<0， 所以函数f (x )的单调递减区间是(0，12
)． 10．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．
答案 53
解析 由双曲线的定义知PF 1－PF 2＝2a ，①
又PF 1＝4PF 2，②
联立①②解得PF 1＝83a ，PF 2＝23
a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，
得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，
当cos ∠F 1PF 2＝－1时，解得e ＝53(e ＝－53
不合题意，舍去)，
即e 的最大值为53
. 11．(1－12
x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为________． 答案 60
解析 因为(1＋2x )5展开式的通项公式为
T r ＋1＝C r 5·2r ·x r 2
， 所以(1－12
x )(1＋2x )5展开式中x 2的系数为 1×C 45×24－12
×C 25×22＝60. 12．曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为__________．
答案 x －y －2＝0
解析 y ′＝3x 2－2，y ′|x ＝1＝1，所以切线方程为x －y －2＝0.
13．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是______．
答案 13
解析 由程序框图知：第一次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝2；第二次循环S ＝1－31＋3
＝－12，i ＝3；第三次循环S ＝1－121＋12＝13，i ＝4；第四次循环S ＝1＋131－13
＝2，i ＝5；第五次循环S ＝1＋21－2＝－3，i ＝6；…S 值的周期为4，∵跳出循环体的i 值为2 106，∴共循环了2 015次，∴输出的S ＝13
. 14．已知向量OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，
那么XA →·XB →的最小值是________．
答案 －8
解析 直线OP 方程为y ＝12
x ， 设点X 坐标为(m ，12
m )， 则XA →＝(1－m,7－12m )，XB →＝(5－m,1－12
m )， 所以XA →·XB →＝(1－m )(5－m )＋(7－12m )(1－12
m ) ＝54m 2－10m ＋12＝54(m －4)2－8，
当m ＝4时，XA →·XB →有最小值为－8.。