【精品】2017年广西名校联考高考数学预测试卷及参考答案(文科)

2017年广西名校联考高考数学预测试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如果I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，那么（∁I M）∩（∁I N）等于（）
A．∅B．{d}C．{a，c}D．{b，e}
2．（5分）若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
3．（5分）设x，y满足的约束条件是，则z=x+2y的最大值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（5分）某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为（）
A．8 B．10 C．20 D．24
5．（5分）在△ABC中，命题p：“B≠60°”，命题q：“△ABC不是等边三角形”，那么p是q的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（5分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成的角的余弦值是（）
A．B．C．D．
8．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线，
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线
③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β
④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l
其中正确的命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（5分）已知△ABC的面积为S ，且•=S，则tan2A的值为（）
A ．B．2 C ．D ．﹣
11．（5分）椭圆+y2=1（a＞1）与双曲线﹣y2=1（b＞0）有相同的焦点F1、
F2，若P为两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（5分）定义在R上的函数f（x ）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，且对任意的实数x 都有，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2 017）=（）
A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣4
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x﹣1平行，则m=．14．（5分）设函数f（x）=若f（a）=10，那么a=．15．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，
则该双曲线的离心率是．
16．（5分）已知正四棱锥的棱长都等于4，则该正四棱锥内切球的表面积为．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设b n =，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．
18．（12分）根据空气质量指数API（整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进行监测，获得的API 数据如图茎叶图．
（1）请你运用所学的统计知识，选择两个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；
（2）某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率．
19．（12分）已知斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，二面角A 1﹣AC ﹣B 是直二面角，∠ABC=90°，BC=2，AC=2
，且AA 1⊥A 1C ，AA 1=A1C ．
（1）求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小； （2）求四棱锥C ﹣AA 1B 1B 的体积．
20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+ax 2+x +2．
（Ⅰ）若a=﹣1，令函数g （x ）=2x ﹣f （x ），求函数g （x ）在（﹣1，2）上的极大值、极小值； （Ⅱ）若函数f （x ）在
上恒为单调递增函数，求实数a 的取值范围．
21．（12分）已知曲线C 上任意一点M 到点F （0，1）的距离比它到直线l ：y=﹣2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）斜率不为0且过点P （2，2）的直线m 与曲线C 交于A ，B 两点，设=λ
，
当△AOB 的面积为4
时（O 为坐标原点），求λ的值．
选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程选讲]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

）（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
[选修4－5：不等式选讲]
23．（Ⅰ）如果关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|＜a的解集不是空集，求参数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正实数a，b，且h=min{a，}，求证：0＜h≤．
2017年广西名校联考高考数学预测试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）如果I={a，b，c，d，e}，M={a，c，d}，N={b，d，e}，那么（∁I M）∩（∁I N）等于（）
A．∅B．{d}C．{a，c}D．{b，e}
【解答】解：C I M={b，e}，C I N={a，c}，∴（C I M）∩（C I N）=∅，
故选A
2．（5分）若复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，则实数x的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1
【解答】解：由复数z=（x2﹣1）+（x﹣1）i为纯虚数，
可得x=﹣1
故选A．
3．（5分）设x，y满足的约束条件是，则z=x+2y的最大值是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：先根据约束条件画出可行域，
如图，当直线z=x+2y过点C（2，2）时，
即当x=y=2时，z max=6．
故选C．
4．（5分）某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为（）
A．8 B．10 C．20 D．24
【解答】解：根据三视图可得，该四面体侧棱PC垂直的面ABC，
BA⊥BC，AB=4，BC=4，PC=3．
所以该四面体的体积为V=．
故选：A
5．（5分）在△ABC中，命题p：“B≠60°”，命题q：“△ABC不是等边三角形”，那么p是q的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【解答】解：在△ABC中，命题p：“B≠60°”⇒命题q：“△ABC不是等边三角形”，反之不成立，例如A=30°，B=60°，C=90°．
那么p是q的充分不必要条件．
故选：A．
6．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i值等于（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：a S i 是否继续循环循环前/0 1/
第一圈 2 2 2 是
第二圈8 10 3 是
第三圈24 34 4 否
此时i值为4
故选C
7．（5分）在棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM和CN所成的角的余弦值是（）
A．B．C．D．
【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直线坐标系，
则A（4，0，0），M（4，2，4），C（0，4，0），N（4，4，2），
=（0，2，4），=（4，0，2），
设直线AM和CN所成的角为θ，
则cosθ===．
∴直线AM和CN所成的角的余弦值是．
故选：D．
8．（5分）若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）
A．B．C．D．
【解答】解：因为从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f（﹣x），再整体向右平移1个单位即可得到．
即图象变换规律是：①→②．
故选：A．
9．（5分）已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：
①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线，
②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线
③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β
④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l
其中正确的命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：对于①，由线面垂直的定义可知①正确；
对于②，若l平行于α内的所有直线，根据平行公理可得：α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；
对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；
对于④，若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则直线l与m无公共点，∴l与m平行或异面，故④错误；
故选C．
10．（5分）已知△ABC的面积为S，且•=S，则tan2A的值为（）A．B．2 C．D．﹣
【解答】解：设△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
∵•=S，
∴bccosA=bcsinA，
∴tanA=2，
∴tan2A===﹣，
故选：D
11．（5分）椭圆+y2=1（a＞1）与双曲线﹣y2=1（b＞0）有相同的焦点F1、
F2，若P为两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积为（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【解答】解：由题意，|PF1|﹣|PF2|=2，|PF1|+|PF2|=2，
∴|PF1|=+，|PF2|=﹣，
∵椭圆+y2=1与双曲线﹣y2=1有相同的焦点
∴a﹣1=b+1
∴a﹣b=2
∴cos∠F1PF2====0
∴∠F1PF2=90°
∴△PF1F2的面积为|PF1||PF2|=（a﹣b）=1，
∴△PF1F2的面积1，
故选：D．
12．（5分）定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，且对任意的实数x都有，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2 017）=（）
A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣4
【解答】解：由f（x）=﹣f（x+）得f（x+）=﹣f（x），
∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），即函数的周期为3，
又f（﹣1）=1，∴f（2）=f（﹣1+3）=f（﹣1）=1，
且f（）=﹣f（﹣1）=﹣1，
∵函数图象关于点（，0）呈中心对称，
∴f（x）+f（﹣x﹣）=0，则f（x）=﹣f（﹣x﹣），
∴f（1）=﹣f（﹣）=﹣f（）=1，
∵f（0）=﹣2，∴f（3）=f（0）=﹣2，
则f（1）+f（2）+f（3）=1+1﹣2=0
∴f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（1）=1，
故选C．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：y=3x﹣1平行，则m=．【解答】解：直线l2：y=3x﹣1的斜率为3
∴直线l1：2x+my+1=0的斜率=3即m=
故答案为：
14．（5分）设函数f（x）=若f（a）=10，那么a=3．
【解答】解：∵函数f（x）=，f（a）=10，
∴当a≥0时，f（a）=a2+1=10，解得a=3或a=﹣3（舍）；
当a＜0时，2a=10，解得a=5，不成立．
综上，a=3．
故答案为：3．
15．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0垂直，
则该双曲线的离心率是．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣y2=1，则其渐近线方程为y=±，又由双曲线的一条渐近线与直线2x+y﹣3=0即y=﹣2x+3垂直，
则有=，
即a=2，
又由b=1，则c==，
则双曲线的离心率e==；
故答案为：．
16．（5分）已知正四棱锥的棱长都等于4，则该正四棱锥内切球的表面积为（32﹣16）π．
【解答】解：如图所示，设正四棱锥底面的中心为O，则
在直角△ABC中，AB=4，AC=4，
∴AO=CO=2，
在直角△PAO中，PO=AO=2，
∴正四棱锥的体积为：•42•2=；
设正四棱锥内切球的半径为r，
正四棱锥的表面积为：42+4••42=16+16，
正四棱锥的体积：•（16+16）•r=，
∴球的半径r==﹣，
∴内切球的表面积为4π•=（32﹣16）π．
故答案为：（32﹣16）π．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）设数列{a n}（n=1，2，3…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．
【解答】解：（1）由已知S n=2a n﹣a1，
=2a n﹣1﹣a1，
当n≥2，S n
﹣1
两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1，
∵a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1），
∴a 1+4a 1=2（2a 1+1），解得a 1=2，
∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 数列{a n }的通项公式a n =2n ；
（2）由（1）可知a 1=2，S n =2a n ﹣a 1=2n +1﹣2， b n =
=
=2n ﹣1+，
数列{b n }的前n 项和为T n ，T n =+n ，
=2n +n ﹣1，
∴数列{b n }的前n 项和为T n ，T n =2n +n ﹣1．
18．（12分）根据空气质量指数API （整数）的不同，可将空气质量分级如下表：
对甲、乙两城市某周从周一到周五共5天的空气质量进行监测，获得的API 数据如图茎叶图．
（1）请你运用所学的统计知识，选择两个角度对甲乙两城市本周空气质量进行比较；
（2）某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，求他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率．
【解答】解：（1）由已知中的茎叶图，可得：
甲城市5天内空气质量优良的有两天，乙城市5天内空气质量优良的有三天，故乙城市本周空气质量较好；
甲城市5天内空气质量指数API （整数）的平均数为：（44+85+125+126+315）
=139；
乙城市5天内空气质量指数API（整数）的平均数为：（41+83+87+124+315）=130；
∵139＞130，故乙城市本周空气质量较好；
（2）某人在这5天内任选两天到甲城市参加商务活动，共有=10种不同选法，其中两天中至少有一天遇到优良天气的选法共有：=7种，
故他在两天中至少有一天遇到优良天气的概率P=．
19．（12分）已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，二面角A1﹣AC﹣B是直二面角，∠
ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C．
（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
（2）求四棱锥C﹣AA1B1B的体积．
【解答】解：（1）如图所示，取AC的中点O，连接A1O，B1C．
∵AA1=A1C，∴A1O⊥AC．
∵二面角A1﹣AC﹣B是直二面角，
∴平面AA1C1C⊥平面ABC．平面AA1C1C∩平面ABC=AC．
∴A1O⊥平面ABC．
∴∠A1AO为侧棱A1A与底面ABC所成角．
∵AA1⊥A1C，AA1=A1C．
∴∠A1AC=45°，A1O=AO=．
即侧棱A1A与底面ABC所成角为45°．
（2）△ABC中，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，
∴AB==2．
===2．
∴S
△ABC
∴四棱锥C﹣AA 1B1B的体积=﹣
=
==．
20．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+x+2．
（Ⅰ）若a=﹣1，令函数g（x）=2x﹣f（x），求函数g（x）在（﹣1，2）上的极大值、极小值；
（Ⅱ）若函数f（x）在上恒为单调递增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=2x﹣（x3﹣x2+x+2）=﹣x3+x2+x﹣2，所以g'（x）=﹣3x2+2x+1
由g'（x）=0得或x=1（12分）
所以函数g（x）在处取得极小值；在x=1处取得极大值﹣（16分）（Ⅱ）因为f'（x）=3x2+2ax+1的对称轴为
（1）若即a≤1时，要使函数f（x）在上恒为单调递增函数，则有△=4a2﹣12≤0，解得：，所以；（8分）
（2）若即a＞1时，要使函数f（x）在上恒为单调递增函数，则有，解得：a≤2，所以1＜a≤2；（10分）综上，实数a的取值范围为（12分）
21．（12分）已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）斜率不为0且过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设=λ，
当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求λ的值．
【解答】解：（1）∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=﹣2的距离小于1，
∴点M在直线l的上方，点M到F（1，0）的距离与它到直线l′：y=﹣1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
所以曲线C的方程为x2=4y．
（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y﹣2=k（x﹣2），即y=kx+（2﹣2k），
代入x2=4y，得x2﹣4kx+8（k﹣1）=0，（*）
△=16（k2﹣2k+2）＞0对k∈R恒成立，
所以，直线m与曲线C恒有两个不同的交点，
设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=4k，x1x2=8（k﹣1），
∴|AB|=，
又O到直线AB的距离d=，
∴S
=|AB|•d=4|k﹣1|•=4=4，△AOB
∴（k﹣1）2（k2﹣2k+2）=（k﹣1）4+（k﹣1）2=2，解得（k﹣1）2=1，∴k=0（舍）或k=2．
把k=2代入方程（*），得x2﹣8x+8=0，解得x=4±2，
∵=λ，∴λ==3﹣2或λ==3+2．
选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程选讲]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

）（共1小题，满分10分）22．（10分）在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
【解答】解：∵点，∴x==1，y==1，
∴点P（1，1）．
∵直线，展开为，
∴，
令y=0，则x=1，∴直线与x轴的交点为C（1，0）．
∴圆C的半径r=|PC|==1．
∴圆C的方程为：（x﹣1）2+y2=1，展开为：x2﹣2x+1+y2=1，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．
∴圆C的极坐标方程为：ρ=2cosθ．
[选修4－5：不等式选讲]
23．（Ⅰ）如果关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|＜a的解集不是空集，求参数a的取值范围；
（Ⅱ）已知正实数a，b，且h=min{a ，}，求证：0＜h ≤．
【解答】解：（Ⅰ）∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|=5，
当且仅当﹣3≤x≤2时，等号成立，故|x+3|+|x﹣2|的最小值为5，
如果关于x的不等式|x+3|+|x﹣2|＜a的解集不是空集，则a＞5．
（Ⅱ）证明：∵已知正实数a，b，且h=min{a ，}，
∴0＜h≤a，0＜h ≤，
∴0＜h2≤≤=，∴0＜h ≤．
赠送：初中数学几何模型举例
【模型四】
几何最值模型：
图形特征：
l
运用举例：
1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为
B
2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。

D
F
A
3.在Rt△POQ中，OP=OQ=4．M是PQ中点，把一把三角尺的直角顶点放在点M处，以M 为旋转中心．旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B。

（1）求证：MA=MB；
（2）连接AB．探究：在旋转三角尺的过程中．△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
4.如图，在锐角△ABC 中，AB =42BAC =45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 和N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 .
D
C
M
5.如图，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB =22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 。

F
E
O
C
A
B
D
6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，3OA =，4OB =，D 为边OB 的中点.
（1）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；
（2）若E、F为边OA上的两个动点，且2
EF ，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.。