多面体欧拉公式的发现(二)精品文档5页

●教学时间
第十课时
●课题
§9.9.2 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.欧拉公式的证明.
2.欧拉公式的应用.
（二）能力训练要求
1.使学生能理解多面体欧拉公式的证明过程并能叙述其证明思路.
2.使学生掌握多面体欧拉公式并灵活地将其应用于解题中.
（三）德育渗透目标
继续培养学生寻求规律、发现规律、认识规律、并利用规律解决问题的能力.
●教学重点
欧拉公式的应用.
●教学难点
欧拉公式的证明思路.
●教学方法
学导式
本节课继续上节课对欧拉公式的研究活动，遵循寻求规律——发现规律——认识规律——应用规律的学习过程，对上节课已猜想出的欧拉公式进一步深入研究，探索它的证明思路，让学生了解这种证明思想，进而达到熟练掌握欧拉公式的目标，以便于学生得心应手地将欧拉公式应用到各种问题的解决中.
●教具准备
投影片三张
第一张：课本P59问题5（1）（2）（记作§9.9.2 A）
第二张：本课时教案例1（记作§9.9.2 B）
第三张：本课时教案例2（记作§9.9.2 C）
●教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上节课我们已经猜想出了欧拉公式并且同学们也已自学了它的证明过程，这节课我们继续对它的证明方法及其重要应用进行学习和探讨.
Ⅱ.讲授新课
［师］上节课我们已对课本P58的欧拉公式的证明进行了自学，那么，谁能说一下课本中的证明思路和关键是什么？
［生］将立体图形转化为平面图形.
［师］好，前面，我们经常使用把不在同一平面中的几何图形的问题转化为同一平面中图形的问题，所以此处如果能把求一个简单多面体的V、F、E三者之间的关系问题，转化为平面中的问题就会前进一大步了.
那么课本中是怎样实现转化的呢？
［生］把多面体想成是用橡皮膜做成的，即课本P58图9—85的多面体，将它的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，得到如图9—86相应的平面多边形.
［师］在这个变化过程中虽然实现了立体图形平面化的目的，但是不是又引起了我们原来多面体的V、F、E的改变了呢？为什么？
［生］不会引起原来多面体中V 、E 、F 的变化，以上变化过程中只改变了原多面体各面的大小，各棱的长短，而V 、F 、E 这三个数与各面的大小、各棱的长短是无关的.
［师］也就是说只要不改变每个面（多边形）的边数，不使顶点（棱或面）重合，无论怎样改变面的形状的大小及棱的长短，V 、F 、E 这三个数就不变，当然，它们之间的关系也不会改变.
好，下面请同学提出在自学欧拉公式证明过程中所遇到的问题.
（学生思考整理问题，教师等待、耐心解答，可能会问到以下问题）
①在课本P 59的3.计算多边形内角和（2）中n 1+n 2+…+n F 和多面体的棱数E 有什么关系？说明理由.
（教师应给学讲清因为多面体每一条棱同属于两个面，所以有n 1+n 2+…+n F =2E ） ②怎样理解P 59的3.计算多边形内角和（4）中的“全体多边形”？
（教师应给学生说清是各小多边形及最大多边形ABCDE ）
③怎样说明为什么有“（E －F ）·360°=（V －2）·360°”?
（教师应再次强调给学生：在变形过程中，原来多面体的面是几边形，它对应的仍是几边形，而多边形的内角和仅与边数有关，所以多面体各面多边形的内角和应等于图9—86中各小多边形及“最大”多边形（即多边形ABCDE ）的内角总和.
［师］欧拉定理表明，任意的一个简单多面体，经过连续变形后，尽管它的形状可以变化万千，但有一个数始终不变，这就是：顶点数+面数－棱数，它总是等于2.所以将2叫做连续变形下的不变数.
下面，我们来应用欧拉定理.
（打出投影片§9.9.2 A,读题）
［师］问题5的（1）是关于化学上C 60分子的结构问题，也是欧拉公式的应用问题（以下过程教师板书）
解：设C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有x 个和y 个.
多面体的顶点数V =60，面数F =x +y ,棱数E =
21（3×60），根据欧拉公式，可得 60+（x +y ）－2
1（3×60）=2 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即
21（5x +6y ）=2
1（3×60） 由以上两方程可解得
x =12,y =20
答：C 60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和60个.
［师］对于问题5（2）则通常先假设一个简单多面体的棱数E =7，再根据欧拉公式进行推理论证.（师生共同写出以下过程）
解：假设一个简单多面体的棱数E =7，根据欧拉公式V +F －E =2，得
V +F =7+2=9
因多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4,所以只有两种情况：
V =4，F =5或V =5，F =4，
因为4个顶点的多面体只有是四面体，而四面体也只有4个面，所以上述两种情况（V +F =9）都不存在.
答：没有棱数是7的简单多面体.
［师］通过问题5两个小题的分析之后，你体会到解决（1）的关键是什么？
［生甲］利用欧拉公式列出一个等式.
［生乙］利用棱数与边数的关系列出一个等式.
［师］甲、乙两位同学说得都对，解决（1）的关键就是找等量关系，即根据欧拉公式及棱数与边数的关系列出两个变量关系.
再思考（1）中应用了数学的什么重要思想？
［生］方程思想.
［师］对，本题也旨在培养同学们利用方程解未知量的思想.
对于解决（2）的关键又是什么呢？
［生］V ≥4,F ≥4是一个几何体为凸多面体的必要条件.本题中抓住F =4与V =4必然同时成立引出矛盾.
［师］这也是凸多面体具有的一条重要性质，希望同学们能够注意.
继续体会欧拉公式的应用.
（打出投影片§9.9.2 B,读题）
［例1］已知，一个简单多面体的各个顶点都有三条棱，求证：V =2F －4.
［师］欲求出V 与F 的关系，需结合已知条件寻找V 与E 的关系，再结合欧拉公式得出，具体如何做呢？
［生］因此简单多面体每个顶点都有三条棱，而每条棱上有两个顶点，所以有3V =2E 即E =
23V .又因为简单多面体顶点数、棱数、面数之间适合欧拉公式，所以V +F －2
3V =2， 即2V +2F －3V =4.
故得V =2F －4.
［师］以上题目要注意准确恰当地将已知条件中关于顶点数与棱数的关系转化成代数关系式.
下面请同学们回忆前面所学过的关于正多面体的概念及其种类.
［生］每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.正多面体只有五种：正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.
［师］对于“为什么只有五种正多面体”的问题，今天就可以利用欧拉公式证明了. （打出投影片§9.9.2 C,读题）
［例2］证明：正多面体只有四种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.
［师］解决这个问题，应从什么地方入手考虑？
［生］从正多面体的定义考虑.
［师］同学们翻开课本P 63欧拉公式和正多面体的种类，仔细阅读，体会其中的证明思路与方法.
（学生自学，教师查看，解决学生疑难问题）
Ⅲ.课堂练习
课本P 61习题9.9 3、4.
P 61习题9.9 3:C 70分子是与C 60分子类似的球状多面体结构，它有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.
答案：设有x 个五边形和y 个六边形
∴F =x +y ,∵E =2370 =105
∵V =70,E =
2
1（5x +6y ） 解之得x =12,y =25
答：C 70分子中五边形为12个，六边形为25个.
P 61习题9.9.4:设一个凸多面体有V 个顶点，求证它的各面多边形的内角总和为（V －2）· 360°.
证明：设这一凸多面体的各面分别为n 1,n 2,…,n F 边形，则各面多边形内角和是
（n 1－2）·180°+（n 2－2）·180°+…+（n F －2）·180°=（n 1+n 2+…+n F ）·180°－2F · 180°=（n 1+n 2+…+n F －2F ）·180°
∵n 1+n 2+…+n F =2E
∴原式=（E －F ）·360°
∵V +F －E =2
∴E －F =V －2
∴原式=（V －2）·360°
Ⅳ.课时小结
本节课我们探讨了欧拉公式的证明方法及其重要应用，在理解欧拉公式的证明过程的同时重在体会其中的“立体图形平面化”的思想.另外，同学们要适当准确地应用欧拉公式去解决与多面体的顶点数、面数及棱数有关的问题.
Ⅴ.课后作业
（一）求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，那么面数是偶数.
证明：设简单多面体的面数为F ，因为各面的边数为奇数，所以简单多面体各面边数的和为F 个奇数的和. 即
)12()12()12(++++++k n m .当把F 个面拼合成多面体时，两条边合成一条棱，则
棱数E =2
2)(22)12()12()12(F F k n m k n m +=++++=++++++偶数 因为E 必须为整数，所以（偶数+F ）能被2整除，又因为（偶数+F ）中偶数能被2整除，所以F 必须被2整除，即F 必须为偶数.
（二）1.预习内容
课本P 651.球的概念和性质至P 66结束
2.预习提纲
（1）怎样给球定义呢？
（2）准确表述出球心、球的半径、球的直径等概念.
（3）尝试归纳并证明球的性质.
（4）结合地球仪理解地球上的经纬线，知道某地点的经度与纬度.
（5）你是怎样理解“球面上，两点之间的最短连线的长度”？
●板书设计。