专题09 函数与导数综合测试大小题-2017年高考数学理高

一、选择题 1
）
A ．[0,)+∞
B ．(,2]-∞ C. []0,2 D ．[0,2) 【答案】D
【解析】由()520,ln 520,e 10
x
x x ⎧->⎪->⎨⎪-≥⎩可得02x ≤<，的定义域为[0,2)，
故选D.
考点：函数的定义域，对数函数与指数函数的性质. 【题型】选择题 【难度】较易
2．下列函数在定义域中既是奇函数又是增函数的是（
） A.
B.
C.
D.
【答案】C
考点：函数的奇偶性与单调性. 【题型】选择题
【难度】较易 3．已知三个数，则
的大小关系是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】D 【解析】
，所以
.故选D.
考点：指对函数比较大小.
【题型】选择题
【难度】较易
4．函数的图象大致是（）
【答案】C
考点：函数的图象.
【题型】选择题
【难度】一般
5．已知是定义在上的奇函数，且时，，则函数（为自然对数的底数）的零点个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
【解析】当时，函数，求导可得，则函数在上单调递增，在上单调递减，当时函数有极大值为，根据奇函数的对称性，作出其函数图象如图，由图可知与的图象有两个不同交点，则
有两个零点.故选.
考点：函数的零点. 【题型】选择题 【难度】一般
6．已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R .若不等式()f x x ≥对所有的(,0]b ∈-∞，2(e,e ]x ∈都成立，则的取值范围是（ ）
A ．[e,)+∞
B D ．2[e ,)+∞
【答案】B
考点：转化化归思想及导数与函数的单调性的关系等知识的综合运用. 【题型】选择题 【难度】一般
7．已知函数
是定义在上的函数，若函数
为偶函数，且
对任意
，都有，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】函数
为偶函数，则有，故函数的图象关
于直线对称，∵对任意()，都有，故函数
在上是减函数，在上是增函数，故有，
故选A.
考点：函数的奇偶性，对称性，单调性.
【题型】选择题
【难度】一般
8．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
考点：方程的根.
【题型】选择题
【难度】一般
9．已知函数的导数为不是常数函数，且对
恒成立，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】原式等于，设，则
，所以函数是单调
递增函数，所以，即，故选A.
考点：函数的单调性. 【题型】选择题 【难度】一般
10．已知定义在上的函数
满足：函数的图象关于直线对称，且当
成立（
是函数
的导数），若
，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】令，则当
，因为函数的图象关于直
线
对称，所以函数
的图象关于直线
对称，即
为偶函数，
为
奇函数，因此当，即
为
上单调递减函数，因为
，而
，所以，故选A.
考点：函数的单调性，奇偶性. 【题型】选择题 【难度】较难
11．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数，有()()f x f x '>，且
()2017f x +为奇函数，则不等式()2017e 0x f x +<的解集是（ ）
A ．(),0-∞
B ．()0,+∞
C
D 【答案】B
考点：利用导数研究函数的单调性．
【题型】选择题
【难度】较难
12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若函
数有且仅有个不同的零点，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
考点：函数的奇偶性，零点.
【题型】选择题
【难度】较难
二、填空题
13．已知幂函数的图象经过点，则__________．
【答案】2
【解析】依题意有.
考点：幂函数.
【题型】填空题
【难度】较易
14．定义：若存在实数使成立，则称为指对实数，那么在上成为指对实数的概率是__________．
【答案】
【解析】∵，∴，∵，∴，
要使成为指对实数，只需，∴，∴.
考点：指对函数.
【题型】填空题
【难度】一般
15．函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范
围是__________．
【答案】
考点：函数的零点.
【题型】填空题
【难度】一般
16．已知是定义在上的函数，且满足①；②曲线关于点对称；③当
时，，若在上有5个零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】 【解析】∵曲线关于点
对称，∴曲线
关于点对称，
∴
在上是奇函数，∴
，又∵
，∴
，
而在上有5个零点，故时，有一个
零点，而，
故在上有一个解，令，
，故
在
上是减函数，在
上是增函数，
而，，而，故或
，解得
.
考点：函数的对称性，奇偶性，单调性，零点. 【题型】填空题 【难度】较难 三．解答题
17．已知函数()()2210f x ax x a =-+≠. （1）若函数()f x 有两个零点，求的取值范围；
（2）若函数()f x 在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）()(),00,1-∞ （2）3
14
a <<
考点：函数的零点，二次方程根的分布.
【题型】解答题
【难度】较易
18．已知函数.
（1）求函数的零点；
（2）若实数满足，求的取值范围．【答案】（1）和（2）
考点：分段函数图象与性质，不等式. 【题型】解答题 【难度】一般
19．定义在实数集上的函数2
()f x x x =+，3
1()23
g x x x m =-+． （1）求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程；
（2）若()()f x g x ≥对任意的[]4,4x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）310x y --= （2）53
m ≤-
【解析】（1）∵2
()f x x x =+，∴()21f x x '=+，(1)2f =，∴(1)3f '=， ∴所求切线方程为23(1)y x -=-，即310x y --=． （2）令323211
()()()2333
h x g x f x x x m x x x x m x =-=
-+--=-+-， ∴2
()23h x x x '=--，当41x -<<-时，()0h x '>；当13x -<<时，()0h x '<；
当34x <<时， ()0h x '>，要使()()f x g x ≥恒成立，只需max ()0h x ≤， 由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =处取得，而5(1)3h m -=+，20(4)3
h m =-， ∵52033m m +
>-，∴503m +≤，即5
3
m ≤-． 考点：导数的几何意义，直线方程，函数与不等式. 【题型】解答题
【难度】一般
20．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据已往经验，潜水员下潜的平均速度为（米/单位时间），每单位时间的用氧量为3
110v ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（升），在水底作业
10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为
2
v
（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为（升）. （1）求关于的函数关系式；
（2）若()150c v c ≤≤>，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.
【答案】（1）()232409050v y v v
=++> （2）见解析
考点：阅读能力、建模能力及函数的解析式，解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值. 【题型】解答题 【难度】一般
21．已知函数
，且函数
的图象在点
处的切线与直线
垂直．
（1）求
；
（2）求证：当
时，
．
【答案】（1） （2）证明见解析
（2）证明：由（1）得
，要证
，即证
.
令，
则
，
当时，
.
令，因为图象的对称轴为
，且
，
故存在
，使得
，当时，
，
，即
在
上单调递增；当
时，
，
，即
在上单调递减.
因为，故当
时，
，
又当时，，∴，
所以
，即．
考点：导数的综合运用. 【题型】解答题 【难度】较难 22．已知函数2
1()(1)ln 12
f x x a x a x =
-+++． （1）若3x =是()f x 的极值点，求()f x 的极大值； （2）求实数的范围，使得()1f x ≥恒成立．
【答案】（1）5-
（2）1a ≤-
【解析】（10x >），∵3x =是()f x 的极值点，
3a =，当3a =
当变化时：
∴()f x 的极大值为(1)2
f =-
．
考点：函数的极值，函数与不等式. 【题型】解答题 【难度】较难。