2021-2022学年度沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形重点解析试卷(精选)

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形重点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，钝角ABC 中，2∠为钝角，AD 为BC 边上的高，AE 为BAC ∠的平分线，则DAE ∠与1∠、2∠之间有一种等量关系始终不变，下面有一个规律可以表示这种关系，你发现的是（ ）
A ．21DAE ∠=∠-∠
B ．212DAE ∠-∠∠=
C ．212DAE ∠∠=-∠
D ．122DA
E ∠+∠∠=
2、在△ABC 中，∠A =50°，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，则∠BOC 等于（ ）
A ．65°
B ．80°
C ．115°
D ．50°
3、在△ABC 中，∠A ＝∠B ＝14
∠C ，则∠C ＝（ ）
A．70°B．80°C．100°D．120°
4、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9
5、三根小木棒摆成一个三角形，其中两根木棒的长度分别是8cm和5cm，那么第三根小木棒的长度不可能是（）
A．5cm B．8cm C．10cm D．13cm
6、如图，AC＝BC，∠C＝α，DE⊥AC于E，FD⊥AB于D，则∠EDF等于（）．
αC．90°－αD．180°－2α
A．αB．90°－1
2
7、△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC ＝5，则五边形DECHF的周长为（）
A．8 B．10 C．11 D．12
8、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（）．
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
9、下列说法错误的是（）
A．任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形
B ．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形
C ．任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形
D ．任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形
10、如图，ABC DEC ≌△△，点E 在线段AB 上，75B ∠=︒，则ACD ∠的度数为（ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．40°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在ABC 中，AB AC =，点D ，E 在边BC 上，BAD CAE ∠=∠，若16BC =，6DE =，则CE 的长为______．
2、在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB =5，点P 为x 轴上一点，若使得△ABP 为等腰三角形，那么点P 的坐标除点(7
8
，0)外，还可以是_____． 3、如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋅⋅⋅在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，⋅⋅⋅均为等边三角形，若1OA a =，则223A B A △的边长为
______．1n n n A B A +△的边长为______．
4、如图，PA ＝PB ，请你添加一个适当的条件：___________，使得△PAD ≌△PBC ．
5、如图，在等边△ABC 中，E 为AC 边的中点，AD 垂直平分BC ，P 是AD 上的动点．若AD =6，则EP +CP 的最小值为_______________．
三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，在ABC 中，AD 是角平分线，54B ∠=︒，76C ∠=︒．
（1）求BAD ∠的度数；
（2）若DE AC ⊥，求EDC ∠的度数．
2、如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC
的延长线于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）若CD＝2，求DF的长．
3、如图，等边△ABC中，点D在BC上，CE=CD，∠BCE=60°，连接AD、BE．
（1）如图1，求证：AD=BE；
（2）如图2，延长AD交BE于点F，连接DE、CF，在不添加任何辅助线和其它字母的情况下，请直接写出等于120°的角．
4、数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知∠MAN＜45°，点B是射线AM上的一个定点，在射线AN上求作点C，使∠ACB＝2∠A．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段AB的垂直平分线l，直线l交射线AN于点D；
②以点B为圆心，BD长为半径作弧，交射线AN于另一点C，则点C即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)
（2）完成下面的证明：
证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝，( )（填推理的依据）∴∠A＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2∠A．
∵BC＝BD，
∴∠ACB＝∠，( )（填推理的依据）∴∠ACB＝2∠A．
DE BC，分别交AB，AC于点D，E．
5、如图，ABC是等边三角形，∥
（1）求证：ADE是等边三角形；
（2）点F 在线段DE 上，点G 在ABC 外，BF CG =，ABF ACG ∠=∠，求证：AF FG =．
6、如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，BC ＝DE ，点E 在BC 上．
（1）求证：∠EAC ＝∠BAD ；
（2）若∠EAC ＝42°，求∠DEB 的度数．
7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 边上的点，并且MN ∥BC ．
（1）△AMN 是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P 是MN 上的一点，并且BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ．
①求证：△BPM 是等腰三角形；
②若△ABC 的周长为a ，BC ＝b （a ＞2b ），求△AMN 的周长（用含a ，b 的式子表示）．
8、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别同时从A 、B 、C 以同样的速度沿AB 、BC 、CA 方向运动，当点D 运动到点B 时，三个点都停止运动．
（1）在运动过程中△DEF 是什么形状的三角形，并说明理由；
（2）若运动到某一时刻时，BE =4，∠DEC =150°，求等边△ABC 的周长；
9、如图，ABC 为等边三角形，D 是BC 中点，60ADE ∠=︒，CE 是ABC 的外角ACF ∠的平分线． 求证：AD DE =．
10、如图，在等边三角形ABC 中，点P 为△ABC 内一点，连接AP ，BP ，CP ，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到'AP ，连接PP BP ''， ．
（1）用等式表示BP ' 与CP 的数量关系，并证明；
（2）当∠BPC ＝120°时，
①直接写出P BP '∠ 的度数为 ；
②若M 为BC 的中点，连接PM ，请用等式表示PM 与AP 的数量关系，并证明．
-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
根据三角形内角和定理、角平分线的性质、三角形外角的性质依次推理即可得出结论．【详解】
解：由三角形内角和知∠BAC=180°-∠2-∠1，
∵AE为∠BAC的平分线，
∴∠BAE=1
2∠BAC=1
2
（180°-∠2-∠1）．
∵AD为BC边上的高，
∴∠ADC=90°=∠DAB+∠ABD．
又∵∠ABD=180°-∠2，
∴∠DAB=90°-（180°-∠2）=∠2-90°，
∴∠EAD=∠DAB+∠BAE=∠2-90°+1
2（180°-∠2-∠1）=1
2
（∠2-∠1）．
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义、三角形外角性质及三角形的高的定义，解答的关键是找到已知角和所求角之间的联系．
2、C
【分析】
根据题意画出图形，求出∠ABC+∠ACB=130°，根据角平分线的定义得到∠CBD=1
2∠ABC，∠ECB=1
2
∠ACB，再根据三角形内角和定理和角的代换即可求解．【详解】
解：如图，∵∠A=50°，
∴∠ABC +∠ACB =180°-∠A =130°，
∵BD 、CE 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，
∴∠CBD =12∠ABC ，∠ECB =1
2∠ACB ，
∴∠BOC =180°-∠CBD -∠ECB =180°-（∠CBD +∠ECB ）=180°- 12（∠ABC +∠ACB ）=180°- 12×130°=115°．
故选：C
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理，并能根据角平分线的定义进行角的代换是解题关键．
3、D
【分析】
根据三角形的内角和，180A B C ∠+∠+∠=︒①，进而根据已知条件，将,A B ∠∠代入①即可求得C ∠
【详解】
解：∵在△ABC 中，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A ＝∠B ＝14
∠C ， ∴1118044C C C ∠+∠+∠=︒
解得120C ∠=︒
故选D
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
4、C
【分析】
由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．
【详解】
解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；
B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；
C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；
D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．
5、D
【分析】
设第三根木棒长为x厘米，根据三角形的三边关系可得8﹣5＜x＜8+5，确定x的范围即可得到答案．
【详解】
解：设第三根木棒长为x厘米，由题意得：
8﹣5＜x＜8+5，即3＜x＜13，
故选：D．
此题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边．
6、B
【分析】
AC ＝BC ，∠C ＝α，DE ⊥AC 于E ，FD ⊥AB 于D ，有1802
B A α︒-∠=∠=
，90ADE A ∠=︒-∠，90EDF ADE ∠=︒-∠，即可求得角度． 【详解】 解：由题意知：1802
B A α︒-∠=∠=，90ADF ∠=︒ 180909022
ADE A αα︒-∠=︒-∠=︒-= 90902EDF ADE α
∠=︒-∠=︒-
故选B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，几何图形中角度的计算．解题的关键在于确定各角度之间的数量关系．
7、B
【分析】
证明△AFH ≌△CHG （AAS ），得出AF =CH ．由题意可知BE =FH ，则得出五边形DECHF 的周长=AB +BC ，则可得出答案．
【详解】
解：∵△GFH 为等边三角形，
∴FH =GH ，∠FHG =60°，
∴∠AHF +∠GHC =120°，
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB =BC =AC =5，∠ACB =∠A =60°，
∵∠AHF =180°-∠FHG -∠GHC =120°-∠GHC ，
∠HGC =180°-∠C -∠GHC =120°-∠GHC ，
∴∠AHF =∠HGC ，
在△AFH 和△CHG 中
A C AHF HGC FH GH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△AFH ≌△CHG （AAS ），
∴AF =CH ．
∵△BDE 和△FGH 是两个全等的等边三角形，
∴BE =FH ，
∴五边形DECHF 的周长=DE +CE +CH +FH +DF =BD +CE +AF +BE +DF ，
=(BD +DF +AF )+(CE +BE )，
=AB +BC =10．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8、B
【分析】
根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．【详解】
如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线
∵AD=CD=BD
∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB
∵∠A+∠ACB+∠B=180°
∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180
即2∠A+2∠B=180°
∴∠A+∠B=90°
∴∠ACB=90°
∴△ABC是直角三角形
故选：B
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．9、B
【分析】
根据等腰三角形和直角三角形的性质判断各选项即可得出答案．
【详解】
解：A 、任意一个直角三角形一定能分成两个等腰三角形，本选项正确，不符合题意；
B 、任意一个等腰三角形不一定能分成两个等腰三角形，本选项错误，符合题意；
C 、任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；
D 、任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形，本选项正确，不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形和直角三角形的知识，解题的关键是能判断等腰三角形及直角三角形，可动手操作进行判断．
10、C
【分析】
根据全等三角形的性质可证得BC=CE ，∠ACB =∠DCE 即∠ACD =∠BCE ，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠B =∠BEC 和∠BCE 即可．
【详解】
解：∵ABC DEC ≌△△，
∴BC=CE ，∠ACB =∠DCE ，
∴∠B =∠BEC ，∠ACD =∠BCE ，
∵75B ∠=︒，
∴∠ACD =∠BCE=180°－2×75°=30°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等腰三角形的性质是解答的关键．
二、填空题
1、5
【分析】
由题意易得B C ∠=∠，然后可证ABD ACE △≌△，则有BD CE =，进而问题可求解．
【详解】
解：∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵BAD CAE ∠=∠，
∴ABD ACE △≌△（ASA ），
∴BD CE =，
∵16BC =，6DE =，
∴10BD CE BC DE +=-=，
∴5BD CE ==；
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
2、（1-，0）、（4-，0）、（9，0）
【分析】
先表示出PB =|a -4|，PB 2=a 2+9，AB =5，再分三种情况①当PB =AB 时．②当PA =PB 时，③当PA =AB 时，讨论计算即可．
【详解】
设P （a ，0），
∵A （0，3），B （4，0），
∴PB =|a -4|，PA 2=a 2+9，AB =5，
∵△ABP是等腰三角形，∴①当PB=AB时，
∴|a-4|=5，
∴a=-1或9，
∴P（-1，0）或（9，0），②当PA=PB时，
∴（a-4）2=a2+9，
∴a=7
8
，
∴P（7
8
，0），
③当PA=AB时，
∴a2+9=25，
∴a=4（舍）或a=-4，
∴P（-4，0）．
即：满足条件的点P的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，等腰三角形的性质，分类讨论和用方程思想解决问题是解本题的关键．
3、2a 2n﹣1a
【分析】
利用等边三角形的性质得到∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，利用同样的方法得到A2O＝A2B2＝2a＝21a，A3B3＝A3O＝2A2O＝4＝22a，利用此规律即可得到A n B n＝2n﹣1a．
【详解】
解：∵△A1B1A2为等边三角形，∠MON＝30°，
∴∠A1OB1＝∠A1B1O＝30°，OA1＝A1B1＝A2B1＝a，
同理：A2O＝A2B2＝2＝21a，
A3B3＝A3O＝2A2O＝4a＝22a，
……．
以此类推可得△A n B n A n+1的边长为A n B n＝2n﹣1a．
故答案为：2a；2n﹣1a．
【点睛】
本题考查规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，解题关键是掌握三角形边长的变化规律．
4、∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC 或AC=BD．
【分析】
已有∠P是公共角和边PA=PB，根据全等三角全等的条件，利用AAS需要添加∠D=∠C，根据ASA需要添加∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD，根据边角边需要添加 PD=PC 或PC=PD．填入一个即可．
【详解】
解：∵PA=PB，∠P是公共角，
∴根据AAS可以添加∠D=∠C，，
在△PAD和△PBC中，
∵PA=PB，∠P是公共角，∠D=∠C，
∴△PAD≌△PBC（AAS）．
根据ASA可以添加∠PAD=∠PBC，
在△PAD和△PBC中，
∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，
∴△PAD≌△PBC（ASA）．
根据ASA可以添加∠DBC=∠CAD，
∴180°-∠DBC=180°-∠CAD，即∠PAD=∠PBC，
在△PAD和△PBC中，
∵PA=PB，∠P是公共角，∠PAD=∠PBC，
∴△PAD≌△PBC（ASA）．
根据SAS可添加PD=PC
在△PAD和△PBC中，
∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC，
∴△PAD≌△PBC（SAS）．
根据SAS可添加BD=AC，
∵PA=PB，BD=AC，
∴PA+AC=PB+BD即PC=PD，
在△PAD和△PBC中，
∵PA=PB，∠P是公共角，PD=PC，
∴△PAD≌△PBC（SAS）．
故答案为：∠D=∠C或∠PAD=∠PBC或∠DBC=∠CAD或PD=PC 或AC=BD．【点睛】
本题考查三角形全等添加条件，掌握三角形全等判定方法与定理是解题关键．
5、6
【分析】
要求EP +CP 的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP ，CP 的值，从而找出其最小值求解．
【详解】
解：作点E 关于AD 的对称点F ，连接CF ，
∵△ABC 是等边三角形，AD 是BC 边上的中垂线，
∴点E 关于AD 的对应点为点F ，
∴CF 就是EP +CP 的最小值．
∵△ABC 是等边三角形，E 是AC 边的中点，
∴F 是AB 的中点，
∴CF =AD =6，
即EP +CP 的最小值为6，
故答案为6．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
三、解答题
1、
（1）25BAD ∠=︒；
（2）14EDC ∠=︒．
【分析】
（1）根据三角形内角和定理可求出50BAC ∠=︒，然后利用角平分线进行计算即可得；
（2）根据垂直得出90AED ∠=︒，然后根据三角形内角和定理即可得．
（1）
解：∵54B ∠︒＝，76C ∠︒＝，
∴180180547650BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∵AD 是角平分线， ∴1252
BAD BAC ∠=∠=︒，
∴25BAD ∠=︒；
（2）
∵DE AC ⊥，
∴90AED ∠=︒，
∴180180907614EDC AED C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴14EDC ∠=︒．
【点睛】
题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键． 2、
（1）证明见解析；
（2）4
【分析】
（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质可证得∠EDC ＝∠ECD ＝∠DEC ＝60°，再根据直角定义和
三角形的外角性质证得∠F＝∠FEC＝30°，利用等角对等边即可证得结论；
（2）由等角对等边可知CE=DC=2，结合（1）中结论即可求解．
（1）
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，
∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∵EF⊥ED，
∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝30°
∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，
∴∠F＝∠FEC＝30°，
∴CE＝CF．
（2）
解：由（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，
∴CE＝DC＝2．
又∵CE＝CF，
∴CF＝2．
∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、三角形的外角性质、线段的和与差，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
3、（1）见解析；（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．
【分析】
（1）利用SAS证明△ADC≌△BEC，即可证明AD=BE；
（2）证明△CDE为等边三角形，可求得∠BDE=120°；利用全等三角形的性质可求得∠BFD=∠BCA=60°，推出∠DFE=120°；同理可推出∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°．
【详解】
（1）证明：等边△ABC中，CA=CB，∠ACB=60°，
∵CE=CD，∠BCE=60°，
∴△ADC≌△BEC(SAS)，
∴AD=BE；
（2）等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．
∵CE=CD，∠BCE=60°，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°，
∴∠BDE=120°；
∵△ADC≌△BEC，
∴∠DAC=∠EBC，
又∠BDF=∠ADC，
∴∠BFD=∠BCA=60°，
∴∠DFE=120°；
同理可求得∠AFC=∠ABC=60°，
∴∠BFC=∠AFC+∠BFD=120°；
综上，等于120°的角有∠BFC、∠BDE、∠DFE=120°．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
4、（1）见解析；（2）DB；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；BDC；等边对等角．
【分析】
（1）根据题目中的小路的尺规作图过程，直接作图即可．
（2）根据垂直平分线的性质以及等边对等角进行解答即可．
【详解】
解：(1) 根据题目中的小路的设计步骤，补全的图形如图所示；
(2)解：证明：连接BD，BC，
∵直线l为线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)（填推理的依据）
∴∠A ＝∠ABD ，
∴∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝2∠A ．
∵BC ＝BD ，
∴∠ACB ＝∠BDC ，(等边对等角)（填推理的依据）
∴∠ACB ＝2∠A ．
【点睛】
本题主要是考查了尺规作图能力以及垂直平分线和等边对等角的性质，熟练掌握垂直平分线和等边对等角的性质，是解决该题的关键．
5、（1）见详解；（2）见详解
【分析】
（1）由题意易得60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，然后根据平行线的性质可得60ADE AED ∠=∠=︒，进而问题可求证；
（2）连接AG ，由题意易得AB =AC ，然后可知△ABF ≌△ACG ，则有AF =AG ，进而可得∠FAG =60°，最后问题可求证．
【详解】
证明：（1）∵ABC 是等边三角形，
∴60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒，
∵DE ∥BC ，
∴60,60ADE ABC AED ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒，
∴60ADE AED ∠=∠=︒，
∴ADE 是等边三角形；
（2）连接AG ，如图所示：
∵ABC 是等边三角形，
∴60BAC ∠=︒，AB =AC ，
∵BF CG =，ABF ACG ∠=∠，
∴△ABF ≌△ACG （SAS ），
∴,AF AG BAF CAG =∠=∠，
∵60BAF FAC BAC ∠+∠=∠=︒，
∴60CAG FAC FAG ∠+∠=∠=︒，
∴AFG 是等边三角形，
∴AF FG =．
【点睛】
本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键．
6、（1）见解析；（2）42°
【分析】
（1）利用边边边证得△ABC ≌△ADE ，可得∠BAC ＝∠DAE ，即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，可得∠AEC ＝∠C ＝69°，再由△ABC ≌△ADE ，可得∠AED ＝∠C ＝69°， 即可求解．
【详解】
（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE，∴△ABC≌△ADE．
∴∠BAC＝∠DAE．
∴∠BAC－∠BAE＝∠DAE－∠BAE．
即∠EAC＝∠BAD；
（2）解：∵AC＝AE，∠EAC=42°，
∴∠AEC＝∠C＝1
2×(180°－∠EAC)＝1
2
×(180°－42°)＝69°．
∵△ABC≌△ADE，
∴∠AED＝∠C＝69°，
∴∠DEB＝180°－∠AED－∠C＝180°－69°－69°＝42°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形的性质定理是解题的关键．
7、
（1）△AMN是是等腰三角形；理由见解析；
（2）①证明见解析；②a﹣b．
【分析】
（1）由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，由平行线的性质得到∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，于是得到∠AMN=∠ANM，根据等角对等边即可证得结论；
（2）①由角平分线的定义得到∠PBM=∠PBC，由平行线的性质得到∠MPB=∠PBC，于是得到
∠PBM=∠MPB，根据等角对等边即可证得结论；
②由①知MB=MP，同理可得：NC=NP，故△AMN的周长=AB+AC，再根据已知条件即可求出结果．
（1）
解：△AMN是是等腰三角形，
理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN＝∠ABC，∠ANM＝∠ACB，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴AM＝AN，
∴△AMN是等腰三角形；
（2）
①证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠PBM＝∠PBC，
∵MN∥BC，
∴∠MPB＝∠PBC
∴∠PBM＝∠MPB，
∴MB＝MP，
∴△BPM是等腰三角形；
②由①知MB＝MP，
同理可得：NC＝NP，
∴△AMN的周长＝AM+MP+NP+AN＝AM+MB+NC+AN＝AB+AC，∵△ABC的周长为a，BC＝b，
∴AB +AC +b ＝a ，
∴AB +AC ＝a ﹣b
∴△AMN 的周长＝a ﹣b ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，列代数式，能够灵活应用这些性质是解决问题的关键．
8、（1）△DEF 是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC 的周长为18
【分析】
（1）利用△DEF 是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证EBD FCE ∆∆≌和
ECF FAD ∆∆≌，进而证明==DE EF FD ，最后即可说明△DEF 是等边三角形．
（2）利用题（1）的条件即∠DEC =150°，得出DEB ∆是含30角的直角三角形，求出
122
BD BE ==，最后求解出等边△ABC 的BC 长，最后即可求出等边△ABC 的周长． 【详解】
（1）解：△DEF 是等边三角形，
证明：由点D 、E 、F 的运动情况可知：AD BE CF ==，
△ABC 是等边三角形，
60A B C ∴∠=∠=∠=︒,AB BC CA ==，
BD AB AD BC BE CE ∴=-=-=,
CE BC BE CA CF AF =-=-=，
在EBD ∆与FCE ∆中，
BD CE B C BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()EBD FCE SAS ∴∆∆≌，
DE EF ∴=，
同理可证ECF FAD ∆∆≌，进而有=EF FD ，
DE EF FD ∴==，
故△DEF 是等边三角形．
（2）解：由（1）可知△DEF 是等边三角形，且EBD FCE ∆∆≌，
60DEF ∴∠=︒，BDE CEF ∠=∠，BD CE =，
150DEC ∠=︒，
90BDE CEF DEC DEF ∴∠=∠=∠-∠=︒，
在Rt DEB ∆中，9030DEB B ∠=︒-∠=︒，
122
BD BE ∴==， 6BC BE CE BE BD ∴=+=+=，
AB BC CA ==，
∴等边△ABC 的周长为318BC =．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含30角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含30角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．
9、证明见解析.
【分析】
过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，由等边三角形的性质和平行线的性质得到∠BDG ＝∠BGD ＝60°，于是得到△BDG 是等边三角形，再证明△AGD ≌△DCE 即可得到结论.
【详解】
证明：过D 作DG ∥AC 交AB 于G ，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
又∵DG∥AC，
∴∠BDG＝∠BGD＝60°，
∴△BDG是等边三角形，∠AGD＝180°−∠BGD＝120°，∴DG＝BD，
∵点D为BC的中点，
∴BD＝CD，
∴DG＝CD，
∵EC是△ABC外角的平分线，
∴∠ACE＝1
2
（180°−∠ACB）＝60°，
∴∠BCE＝∠ACB＋∠ACE＝120°＝∠AGD，∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
又∵∠BDG＝60°，∠ADE＝60°，
∴∠ADG＝∠EDC＝30°，
在△AGD和△ECD中，
AGD ECD GD CD
ADG EDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AGD ≌△ECD （ASA ）．
∴AD ＝DE ．
【点睛】
本题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10、（1）BP CP '=，理由见解析；（2）①60°；②PM ＝12
AP ，见解析
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，可得AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，再由由旋转可知：
60AP AP PAP ''=∠=︒，，从而得到BAP CAP '∠=∠，可证得ABP ACP '≌，即可求解 ； （2）①由∠BPC ＝120°，可得∠PBC ＋∠PCB ＝60°．根据等边三角形的性质，可得∠BAC ＝60°，从而得到∠ABC ＋∠ACB ＝120°，进而得到∠ABP ＋∠ACP ＝60°．再由ABP ACP '≌，可得
ABP ACP '∠=∠ ，即可求解；
②延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．可先证得△PCM ≌△NBM ．从而得到CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．进而得到BN BP '= ．根据①可得60P BP '∠︒＝，可证得PNB PP B '≌，从而得到
PN PP '= ．再由PAP ' 为等边三角形，可得P P AP '= ．从而得到PN AP = ，即可求解．
【详解】
解：（1）BP CP '= ．理由如下：
在等边三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，
由旋转可知：60AP AP PAP ''=∠=︒，，
∴PAP BAP BAC BAP '∠-∠=∠-∠
即BAP CAP '∠=∠
在ABP '△和△ACP 中
AB AC BAP CAP AP AP =⎧⎪∠=''=∠⎨⎪⎩
∴ABP ACP SAS '≌（） ．
∴BP CP '= ．
（2）①∵∠BPC ＝120°，
∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．
∵在等边三角形ABC 中，∠BAC ＝60°，
∴∠ABC ＋∠ACB ＝120°，
∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．
∵ABP ACP '≌ ．
∴ABP ACP '∠=∠ ，
∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．
即60P BP '∠︒＝ ；
②PM ＝12
AP ．理由如下：
如图，延长PM 到N ，使得NM ＝PM ，连接BN ．
∵M 为BC 的中点，
∴BM ＝CM ．
在△PCM 和△NBM 中
PM NM PMC NMB CM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PCM ≌△NBM （SAS ）．
∴CP ＝BN ，∠PCM ＝∠NBM ．
∴BN BP '= ．
∵∠BPC ＝120°，
∴∠PBC ＋∠PCB ＝60°．
∴∠PBC ＋∠NBM ＝60°．
即∠NBP ＝60°．
∵∠ABC ＋∠ACB ＝120°，
∴∠ABP ＋∠ACP ＝60°．
∴∠ABP ＋∠ABP ＇＝60°．
即60P BP '∠︒＝ ．
∴P BP NBP '∠∠＝ ．
在△PNB 和P B P ' 中
BN BP NBP P BP BP BP ''=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴PNB PP B '≌ （SAS ）．
∴PN PP '= ．
∵60AP AP PAP ''=∠=︒，，
∴PAP'为等边三角形，∴P P AP
'=．
∴PN AP
=，
∴PM＝1
2
AP．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转，熟练掌握等边三角形判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，图形的旋转的性质是解题的关键．。