A不同特征值所对应的特征向量线性无关

无关特征向量 X11 …X1r1
λ2
…
r2
…
r2
…
X21…X2r2
…
λs
rs rs
Xs1…Xs rs
标准正交化
标准正交 特征向量
P11,L , P1r1 P21,L , P2r2
…
Ps1,L , Psrs
令 P (P11,L , P1r1 , P21,L , P2r2 ,L , Ps1,L , Psrs )为正交阵
1
Q E A E
2
O
n
1 2 L n
结论成立.
6
3 相似矩阵有5同
如果A, B是两个n阶方阵, A~B.则有
(1) 特征多项式同: E A E B .
(2) 特征值同: A B . 但逆命题不成立即
(3) 行列式同: A B . 特征值同但不相似
(4) 迹同: tr(A) tr(B).
如果令 T=(T1,T2,…,Tn)
AT =A(T1,T2…,Tn)
=(AT1,AT2,…,ATn)
=(1T1, 2T2,…, nTn)
=(T1,T2,…,Tn) diag(1,2, …, n)
=Tdiag(1, 2, …, n)
1
T-1AT
2
O
n
13
推论1 若A有n个互异特征值 A可相似对角化. 属于A的不同特征值的特征向量线性无关
复习上讲主要内容
n
n
n
i aii tr(A)
i A
i 1
i 1
i 1
A不同特征值所对应的特征向量线性无关.
若A有n个互异特征值,则一定有n个线性 无关的特征向量.
属于不同特征值的线性无关的特征向量仍
线性无关. 实对称阵不同特征值的实特征向量必正交.
实对称阵的ri重特征值i一定有ri个线性无
将 1 2 2 代入(2E-A)X = 0
2
2
得基础解系 ξ1 1 , ξ2 0
0
1
正交化
1 ξ1
2 1 ,
0
2
ξ2
(ξ2, 1) (1, 1)
1
1 5
2 4
5
单位化1
1 1
1
2
1 ,2
5 0
2 2
1
2 4
45 5
将 3 7 代入(-7E-A)X = 0
1 得基础解系 ξ3 2 , 单位化
关的实特征向量. 1
7.2 相似矩阵
本节主要内容 相似矩阵的概念 方阵相似对角化的条件与方法 几何重数与代数重数 实对称矩阵正交相似对角化的方法
2
7.2.1 相似矩阵的概念
1 定义 设A,B是两个n阶方阵,如果存在
可逆矩阵T, 使 T-1AT =B
则称A与B相似, 记作A~B. 从A到B
的这种变换称为相似变换, T为相
求A的属于1的实单位特征向量.
解 设 X =(x1,x2,x3 ) T,
X1 (1,1,0)T , X2 (0,1,1)T
(X1, X) 0,(X2, X) 0, X 1
x1
x2 x2
x12 x22
x3 x32
00，
x1 x3
1 x12
x2 x2 x22
x32
1
24
3
例如
似变换矩阵.
1
1
T-1ET
=E,
E 1
2
O
n
E
2
O
n
3
矩阵的相似关系是 M上n 的一种等价关系, 即相似关系满足:
(1) 自反性:A~A; (2) 对称性:若A~B, 则B~A; (3) 传递性:若A~B,B~C,则A~C. 所以彼此相似的矩阵构成一个等价类, 最简单的代表元就是对角阵.
解 设 X =(x1,x2,x3 ) T, X1 (0,1,1)T
Q ( X1, X ) 0, x2 x3 0
X= k(1,0,0)T +l (0,-1,1)T k ,l是不全为零的任意常数.
23
例2 设三阶实对称阵A 的特征值为1,2,2,
2对应的特征向量为(1,1,0)T (0,1,1)T .
PT
0 1
1 0
0 1
221 2来自01 2 由PTAP=diag(1,1,2)可以得到A.
1 AP 1
PT
3
2 0
0 1
1
2 0
2
1
0
3
2 2 30
例5 设n阶实对称矩阵A的特征值都
大于零, 试证 E A 1
证 因为A是实对称阵,所以存在正交阵
P ,使 i 0 ,i 1 1 (i 1, 2,L , n)
0 0
1 1
21,
1 1
经验证T1,T2 , T3线性无关, A可相似对角化.
1
1 6 6
A TΛT
1
则
T
1
T 1 1
0 0
1 0
2 1
A9 (T T 1)9 T 9T 1 TT 1 A
17
7.3 实对称阵的的正交相似对角化
18
7.3.1 实对称阵的特征值与特征向量
实对称阵的性质:
x4 x4 3x4
7.3.2 实对称阵的正交相似对角化
定理7.6 实对称矩阵可以正交相似对角化.
即:若A为n阶实对称阵, 则正交阵P, 使得
1
P
1 AP
2
O
P
T
AP
n
其中 1, 2 ,L , n 是A的特征值.
证 A为n阶实对称阵, 有
(证明过程给出方法)
20
不同特征值 λ1 代数重数 r1 几何重数 r1
2
3
1
3 2
32
P
(1,2,3 )
2 5 1 5
2 1
3
45 4
3 2
为正交阵
45 3
0
5 45
2 3
故
PT AP diag(2, 2, -7)
28
例4 已知矩阵A是三阶实对称阵, 它的特征 值分别是 1, 1, 2, 且属于2 的特征向量 是 ( 1, 0, 1, )T, 求A=?
1
1
则
AP
P
2
O
,
PT
AP
2
O
n
n 21
推论 实对称阵的任一特征值的 代数重数=几何重数.
即方程组 (i E A)X 0
的基础解系恰好含有ri个向量.
R(i E A) n ri
22
例1 设三阶实对称阵A 的特征值为-1,1,1, -1所对应的特征向量为(0,1,1)T . 求1对应的特征向量.
1
P
1 AP
2
O
,
A
P P 1
n
1 1
EA E
2 1
O
1
n 1 31
预习 习题六
(^-^) Bye!
32
总 结(A为方阵)
1.若A有n个互异特征值 A可相似对角化. 2. A可对角化 A有n个线性无关的特征向量.
3. A可对角化 A每个特征值的几何重数 =代数重数.
R(λiE –A)=n- ri (i=1,2,…,s)
定理7.4 A的特征值的几何重数代数重数.
注 复矩阵A的所有特征值的代数重数之和 =n,所以有
复矩阵A可相似对角化
每个特征值几何重数=代数重数时.
15
例2
2
A
x 1
0 1 0
1
y 2
可相似对角化,求x , y
满足的条件.
2 0 1 解 E A x 1 y ( 1)2( 3) 0
1 0 2
4.实矩阵在实数域内对角化,首先特征值都 是实数,且每个特征值的几何重数=代数重数. 5.实对称阵一定可以正交相似对角化
33
A相似与对角阵的应用：
1.有5同,所以易求 (1) 特征多项式, (2) 特征值, (3)行列式, (4) 迹, (5) 秩. 2.可以简化方阵A的某些计算如求 (1) A的k次幂, (2) A ,
解 A是三阶实对称阵, 正交相似于对角阵 diag(1, 1, 2), 属于特征值1的特征向量与
属于2的特征向量 ( 1, 0, 1, )T正交, 由此得 到属于1的特征向量为(0,1,0)T, (1,0,-1)T, 单位化得到相应的正交矩阵:
29
P
0 1
0
1
2 0 1
2
1
2 0 1
,
2
性质1 实对称阵的特征值都是实数.
性质2 实对称阵对应于不同特征值的实 特征向量必正交.
证 设A是n阶实对称矩阵, 是A的 的特征值,且 A= , A2= 2 2 往证1T2= 0.
11T2 = (11 ) T 2= (A1 )T2 =1TAT2 =1T(A2) = T(2 2)= 21T 2
(1 -2)1T2 = 0 1T 2 = 0. 19
则 f (A)~f (B), f (B) T 1 f ( A)T. (4) 若A~B,则AT ~ BT .
(5) 若A~B,则对常数t有 tE A ~ tE B.
8
5 矩阵的相似与等价的关系
两矩阵相似
等价
1 2 4
5
例1
A
2 4
x 2
21 与
y 5 相似,
求x, y.
解 显然A有特征值 5,-5.
角线上元素是与其对应的特征值.
10
(注意:证明过程给出相似对角化的方法)
证 设A与对角阵相似, 则可逆阵T, 使
1
T 1 AT
2
O
n
用T1, T2,…, Tn表示T 的n个列向量, 即
T=(T1, T2,…, Tn)
所以有
AT = T
11
即 A(T1,…, Tn)=(AT1,…, ATn)=
4
2 相似矩阵的特征多项式 定理7.2 若A与B相似, 则特征多项式同, 即
E A E B .
证 因A与B相似, 所以存在可逆矩阵T, 使 T-1AT =B
E B E T 1AT T 1(E A)T
T 1 E A T E A .
5
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
O
n
相似, 则 1, 2 ,L , n 是A 的n个特征值.
(3) 判断矩阵相似 (若A~ ,B~ ,则A~B.)
(4)已知特征值,特征向量, 反求矩阵A. (A可相似对角化).
34
0 1 1 1
例6
设
A
1 1
0 1 1 0
1 1
1 1 1 0
求正交阵P,使得PTAP成对角阵.
解 (1) 1 1 1
E
A
1 1
1
1
1 1
(
1)3 (
3)
1 1 1
1
(T1,T2 ,L
,
Tn
)
2
O
n
(1T1,2T2,L ,nTn)
等式两边的列向量应当对应相等, 所以:
ATi iTi (i 1, 2,L , n)
由T可逆知, T1,…, Tn线性无关,故是A的 n个线性无关的特征向量.
12
设T1,T2,…,Tn是n个线性无关的列向量,
满足: ATi =iTi, i=1,2,…,n
(5) 秩同: R(A) R(B). (2)的反例如下:
A E
1 0
0 1
,B
1 0
1 1
,
EA EB
12
可逆矩阵T, T 1ET E B.
7
4 相似矩阵的性质
(1) 相似矩阵有相同的可逆性, 当A可逆时, 若A~B,则A-1~B-1, B*~A*,B*=T-1A*T .
(2) 若A~B, 则Am ~ Bm, 其中m是正整数. (3) 若A~B, 设 f(x) 是一个一元多项式,
问题：若A可相似对角化, 那么A一定有n个
互异特征值? 例如, n阶单位阵E 可对角化, 但是它的
互异特征值只有1个( n重 ).
14
7.2.3 几何重数与代数重数
几何重数:矩阵A的每个特征值i的特征子 空间 Vi的维数为i的几何重数.
(即 (iE-A)X=0基础解系含向量的个数). 代数重数:(i在特征方程中的重根数).
1 2 3 1, 4 3
35
(2) 将1 2 代3入(1E,得
x1 x2 x3 x4 0 xxx111xxx222xxx333xxx444000
求得基础解系:
1 0 1
ξ1
0 0
,
ξ2
1 1
,
ξ3
1 0
1 0 0
36
先将其正交化:
1
1
ξ1
0 0
,
1
0
2
ξ2
特征值为1，1，3.
R(E –A)=1, R(3E –A)=2
1 0 1
E
A
x 1
0 0
y 1
x = y.
16
例3 设三阶方阵A 的特征值为1,-1,-1,
1
0
3
T1 = 0 , T2 = 1 , T3 = 2
0
-1
-1
依次是对应的特征向量,求A与A9 .
解
1 0 3 1
设T
(T1,T2 ,T3 )
3
所以得
X
3 3
3
或
X
3 3
3
3
3
3
3
25
1 2 2 例3 设 A 2 2 4
2 4 2
求正交阵 P,使 P T AP 为对角阵 .
1 2 2 解 E A 2 2 4
2 4 2
( 2)2 ( 7) 0
特征值为 1 2 2, 3 7
1 1
0
1
3
ξ3
(ξ3, 1) (1, 1)
1
(ξ3, 2) (2, 2)
2
1 2
1 1 1
37
1
再单位化:
1
1 1
1 0
2
0 1
0
2
2 2
1 1
2
1 0
1
3
3 3
1 2
1 1 1
38
将 4 代入 (E, 得
3x1 x2 x3 x4 0
xxx111x3x22x2x33xx33
由|5E –A|=5-5x=0 x = 1
tr(A) = tr()
y = -1.
9
7.2.2 相似对角化的条件及方法
1 定义 若A与对角阵相似,称A可以相似 对角化.
2 相似对角化的条件
定理7.3 n阶方阵A与对角阵相似 A有n个线性无关的特征向量.
T-1AT=为对角阵 T的n个列向量是 A的n个线性无关的特征向量,且的主对