2022届九年级数学上学期期末教学质量检测 含答案

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．4-的相反数是
A ．4
B ．1
4
C ．14
- D ．4-
2．世界文化遗产长城总长约为6 700 000m ，若将6 700 000用科学记数法表示为6.7×10n （n 是正整数），则n 的值为 A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
3．下列三角函数值错误的是
A ．sin 1302
︒=B ．3sin 60︒=
C ．tan 451︒=
D ．cos603︒
4．如图，D 是ABC △的边BC 上的一点，那么下列四个条件中，不
能够判定△ABC 与△DBA 相似的是 A ．C BAD ∠=∠ B ．BAC ADB ∠=∠ C ．
AC AD
BC AB
= D ．2AB BD BC = 5．如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，25A ∠=︒，以点C 为圆心，
BC 为半径的圆交AB 于点D ，交AC 于点
E ，则BD 的度
数为
A ．25︒
B ．30︒
C ．50︒
D ．65︒
6．点P （m ，n ）在反比例函数k
y x
=（0k ≠）的图象上，其中m ，n 是方程240
t -=的两个根，则k 的值是 A ．2或2-B ．4或4-C ．4D ．4-
E
D A
C
B
7．不透明的袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，这些球除数字不同外，其它均相同．从中随机取出一个球，以该球上的数字作为十位数，再从袋中剩余2个球中随机取出一个球，以该球上的数字作为个位数，所得的两位数大于20的概率为 A ．12
B ．13
C ．23
D ．16
8．如图，等边三角形ABC 的边长为3，N 为AC 的三等分
点，三角形边上的动点M 从点A 出发，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设点M 运动的路程为x ，
2MN 为y ，则y 关于x 的函数图象大致为
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．分解因式：324a ab -=．
10．请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0，2）的抛物线的解
析式，y
．
11．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放
大到屏幕上，若光源到幻灯片的距离为20cm ，到屏幕
的距离为60cm ，且幻灯片中的图形的高度为6cm ，则屏幕上图形的高度为 cm ．
N M
C
B
A
12．如图，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交
AB 、AC 于点E 、D ，DF 是圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G ．若AF 的长为2，则FG 的长为 ．
三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分） 13．计算：11
3tan 302sin 60()122
-︒-︒-+-．
14．解不等式组：23,
5
3.2
x x x x +<⎧⎪⎨+>⎪⎩
15．如图，在ABC Δ中，AC AB =，CD BD =，AB CE ⊥于E .
求证：CBE ABD ΔΔ∽．
16．已知二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示，
求此二次函数的解析式和抛物线的顶点坐标．
11
2sin 60(2)tan 30()
2
-︒---︒--A
B
D
C
E
C
B
A
17．已知：如图，在ABC △中，3045ABC ACB ==∠°，∠°， 8AB =，求BC 的长．
四、解答题（共3道小题，每小题5分，共15分）
18．已知：如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O
上的两点，
且OD ∥BC ． 求证：AD=DC ．
19．一个不透明的袋中装有5个黄球、13个黑球和22个红球，它们除颜色外
都相同．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率；
（2）现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后，使从袋中摸出一个球是黄球的概率不小于3
1，问至少取出了多少个黑球？
20．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比
例函数12
y x
=
（x ＞0）图象上任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于点A 、B ． （1）求证：线段AB 为⊙P 的直径； （2）求△AOB 的面积；
O
B
A
C D
五、解答题（共2道小题，21小题5分，22小题6分，共11分）
21．如图，□ABCD 中，E 为BC 延长线上一点，
AE 交CD 于点F ，
若AB =，AD=2，∠B=45°，
1
tan 2
E =
，求CF 的长．
22．如图，平面直角坐标系中，以点C （2
2为半径的圆与x
轴交于A 、B 两点． （1）求A 、B 两点的坐标；
（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此
二次函数的解析式．
六、解答题（共3道小题，23小题6分，24小题7分，25小题8分，共21分）
23．如图，在Rt ABC △中，︒=∠90ACB ，以AC 为直
径的⊙O 交AB 于点D ，E 是BC 的中点． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）过点E 作EF ⊥DE ，交AB 于点F ．若AC=3，
BC ＝4，求DF 的长．
F
E
D C
B
A
E
24．如图，ABC △和ADE △都是以A 为直角顶点的等
腰直角三角形，连结BD ，BE ，CE ，延长CE 交AB 于点F ，交BD 于点G ． （1）求证：AFC GFB △∽△；
（2）若ADE △是边长可变化的等腰直角三角形，
并将ADE △绕点A 旋转，使CE 的延长线始终与线段BD （包括端点B 、D ）相交．当BDE △为等腰直角三角形时，求出AB BE ∶的值．
25．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛
物线21y ax bx =+过点A （6，0）和点B （3，3）． （1）求抛物线1y 的解析式；
（2）将抛物线1y 沿x 轴翻折得抛物线2y ，求
抛物线2y 的解析式；
（3）在（2）的条件下，抛物线2y 上是否存在点M ，使OAM △与AOB △相似？
如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．
y
x
B
A
O
G
F E D
C
B
A
数学学科参考答案及评分细则
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案
A
B
D
C
C
D
C
B
二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）
9．(2)(2)a a b a b +-； 10．答案不唯一，如：22x -+； 11．18； 12．33． 三、解答题（共5道小题，每小题5分，共25分） 13．解：11
3tan 302sin 60()122
-︒-︒-+-
33
3222332
=⨯
-⨯-+…………………………………………………4分
2=+
2=………………………………………………………………………5分
14．解：由23x x +<，得
3x <-．………………………………………………………………………2分
由
5
32
x x +>，得 1x <． (4)
分
不等式组的解集为3x <-．………………………………………………………5分 15．证明：在ABC Δ中，AC AB =，CD BD =，
∴BC AD ⊥， …………………………………………………………………2分 ∵AB CE ⊥，
∴︒=∠=∠90CEB ADB ，……………………………………………………3分 又∵B B ∠=∠， ………………………………………………………………4分 ∴CBE ABD ΔΔ∽． …………………………………………………………5分
16．解：由图象可知：二次函数c bx x y ++-=2的图象过点（0，3）和（1，0），
∴3,
10.
c b c =⎧⎨
-++=⎩………………………………………………………………2分
解得 2,
3.
b c =-⎧⎨
=⎩ ∴二次函数的解析式为223y x x =--+．………………………………………3分 ∵223y x x =--+
2(21)4x x =-+++
2(1)4x =-++． …………………………………………………………4分
∴抛物线的顶点坐标为（-1，4）． ……………………………………………5分
17．解：过点A 作AD ⊥BC 于
D ．…………………1分
在Rt ABD △中，30ABC =∠°，8AB =，
∴cos30sin 30BD AD
AB AB
︒=
︒=，． ∴3
cos308432
BD AB ==⨯
=°，
………2分 1
sin 30842
AD AB ==⨯
=°．……………………………………………3分 在Rt ADC △中，45ACB =∠°，4AD =，
∴4CD AD ==．………………………………………………………………4分 ∴434BC BD CD =+=+．…………………………………………………5分
四、解答题（共3道小题，每小题5分，共15分） 18．解：连结OC ．
∵OD ∥BC ，
∴∠1=∠B ，∠2=∠
3．………………………2分
又∵OB OC =，
∴∠B=∠3．……………………………………3分 ∴∠1=∠2． ……………………………………4分 ∴AD DC =．……………………………………5分
19．解：（1）摸出一个球是黄球的概率51
P 513228=
=++．………………………2分
（2）设取出x 个黑球．由题意，得51
403
x +≥．……………………………3分 解得25
3
x ≥．……………………………………………………………4分
x ∴的最小正整数解是9x =．
3
21
D C
A
B
O
答：至少取出9个黑球．……………………………………………………………5分
20．解：（1）证明：∵∠AOB=90°，且∠AOB 是⊙P 中弦AB 所对的圆周角，
∴AB 是⊙P 的直径．………………………………………………2分
（2）解：设点P 坐标为（m ，n ）（m ＞0，n ＞0），
∵点P 是反比例函数12
y x
=
（x ＞0）图象上一点， ∴mn=12．………………………………………………………………3分 过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则OM=m ，ON=n ． 由垂径定理可知，点M 为OA 中点，点N 为OB 中点， ∴OA=2OM=2m ，OB=2ON=2n ，………………………………………4分
∴S △AOB=
1
2
BO •OA=
12
×2n ×2m=2mn=2×
12=24．……………………5分
五、解答题（共2道小题，21小题5分，22小题6分，共11分） 21．解：过点A 作AM ⊥BE 于点M ．
在Rt △ABM 中， ∵∠B=45
°，AB ， ∴1BM AM ==．……………………
1分
∵1
tan 2
E =，
∴
1
2
AM ME =． ∴
EM=2．………………………………2分
∴BE=BM+ME=3．
2
1
M
F E
D C
B
A
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BC=AD=2，DC=AB=2，AD ∥BC ．
∴CE=BE-BC=1．………………………………………………………………3分 ∵AD ∥BC ，
∴∠1=∠E ，∠D=∠2．
∴ADF ECF ∆∆∽．……………………………………………………………4分 ∴
2
1
DF AD CF CE ==． ∵DC=2， ∴2
3
CF =
．……………………………………………………………………5分 22．解：（1）过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，则点M 为AB 的中点．……………………1分
∵CA=2，CM=3， ∴AM=22CA CM -=1．
于是，点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0）．…………………
3分
（2）将（1，0），（3，0）代入2y x bx c =++得，
2
2
011033.
b c b c ⎧=+⨯+⎪⎨=+⨯+⎪⎩，
解得43.b c =-⎧⎨=⎩，……………………………………………5分 所以，此二次函数的解析式为243y x x =-+．……………………………6分
六、解答题（共3道小题，23小题6分，24小题7分，25小题8分，共21分）
23．（1）证明：连结OD ，CD ．
∵AC 是直径，
∴90ADC ∠=︒．……………………………………………………1分 ∴
18090BDC ADC ∠=︒-∠=︒．
∵E 是BC 的中点，
∴1
2
DE BC CE ==．
∴12∠=∠． ∵OC=OD, ∴∠3 =∠4， ∴1324∠+∠=∠+∠． 即ACB ODE ∠=∠． ∵90ACB ∠=︒,
∴90ODE ∠=︒.……………………………………………………………2分 又∵OD 是半径，
∴DE 是⊙O 的切线． ……………………………………………………3分
（2）解：在Rt △ABC 中，
∵90ACB ∠=︒，AC=3，BC ＝4， ∴
AB=5． ………………………4分
∴4
cos 5
BC B AB =
=． ∵E 是BC 的中点， 5分
∴1
22
DE BC BE ===．………∴5B ∠=∠．
E
E
D G
F
E
C
B
A
D
E
C
A ∴4
cos 55DE DF ∠=
=． ∴55
42
DF DE ==． ………………………………………………………6分
24．解：（1）证明：∵9090BAC DAE ∠=∠=°，°，
∴90DAB BAE BAE EAC ∠+∠=∠+∠=°．
∴DAB EAC ∠=∠．…………………………………………………1分 ∵AD AE =，且AB AC =， ∴ADB AEC △≌△，
∴DBA ECA ∠=∠．…………………………………………………2分 又GFB AFC ∠=∠， ……………………………………………3分 ∴AFC GFB △∽△．………………………………………………4分
（2）解：∵AFC GFB △∽△，
∴90FGB FAC ∠=∠=°．
①当90DEB ∠=°，DE=BE 时，如图①所示， 设AD=AE=x ，则2DE x =．
∵BDE △为等腰直角三角形，
∴2BE DE x ==． ∴2BD x =．
∵45ADB ADE EDB ∠=∠+∠=°+4590︒=°， 图① ∴225AB AD BD x +=．
∴52AB BE ∶=∶ ……………………………………………5分 ②当90EDB ∠=°，DE=DB 时，如图②所示， 同理设AD=AE=x ，则2DE x BD ==．
∴2BE x =． ∵90AEB
∠=°，
∴AB ．
∴2AB BE ∶=． ……………… 6分
图②
③当90DBE ∠=°，BD=BE 同理设AD=AE=x ，则DE =
∴BD=BE=x ．
∴四边形ADBE 是正方形，∴AB DE ==．
∴AB BE ∶=
1． (7)
分 图③
25．解：（1）依题意，得3660,93a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩
解得3a b ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴抛物线1y 的解析式为2193
y x x =-
+
．………………………2分
（2）将抛物线1y 沿x 轴翻折后，仍过点O （0，0），A （6，0），还过点B
关
于x
轴的对称点'(3,B ． 设抛物线2y 的解析式为22y mx nx =+，
∴3660,93m n m n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得a b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
∴抛物线2y 的解析式为22y x x =
．………………………5分 （3）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，
则有3
tan 3
BC BOC OC ∠=
=
∴30BOC ∠=︒，60OBC ∠=︒． ∵OC=3，OA=6， ∴AC=3.
∴30BAC ∠=︒，120OBA ∠=︒． ∴OB=AB ．
即OBA △是顶角为120º的等腰三角形． 分两种情况：
①当点M 在x 轴下方时，
OAM
△就是'OAB △，此时点M 的坐标为(3,3)M ．
②当点M 在x 轴上方时，假设OAM △∽OBA △，
则有AM=OA=6，120OAM ∠=︒．
过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，则60MAD ∠=︒． ∴33MD =3AD =． ∴OD=9. 而（9，3322323
y x x =， 即点M 在抛物线22323
93
y x x =
-上． 根据对称性可知，点(3,33)-也满足条件．
综上所述，点M 的坐标为1(3,3)M ，2(9,33)M ，3(3,33)M -．
……………………………………………………………8分。