现代控制理论第三章5

c ( A )
T n1
C
T T m

n
上述能观测判据矩阵中，有且仅有n个行向量是线性无关的，可
取n个线性无关的行向量或其某种组合构成状态空间的基底下所具有的标准形式。
要使行向量取法唯一，则m=1。故能观测标准型仅讨论SO系统。
1、能观测标准I型
Ax bu x 如果单输出线性定常系统： 是能观测的， y Cx
Ax b u x y Cx
0 1 b To2 b 1 n 1
C CTo2 [0 0 1]
非奇异变换阵为：
对于能观标准II型也可以直接写出系统的传递函数
由上述定义可知:
能观规范形与能控规范形是互为对偶的,即
其中：
0 0 0 1 n 1
非奇异变换阵为：
C CA 1 To1 N n 1 CA
C CTo1 [1 0 0]
证明思路：用对偶原理证明，能观测标准I型，就是其对偶系统 的能控标准II型。 以下两系统互为对偶系统：
1 0 0 1 1 0 1 1 Tc1 AB B 1 1 1 1 1 0 1 1
0 B 1 C CTc1 1 1
[例2]：写出以下传递函数的能控标准I型。
是 CTc1 相乘的结果
det[λI A] λn an1λn1 a1λ a0
对于能控标准I型，非奇异变换阵为：
0 1 n 1 1 Tc1 [ An 1b, An 2b, , b] 2 1 2 0 0 1
第三章 线性系统的能控性和能 观性
3.6 能控规范形和能观规范形
由于状态变量选择的非唯一性,系统的状态空间模型具有非 唯一性。
若在状态空间的一组特定基底下,系统的状态空间模型 具有某种特定形式,则称这种形式的状态空间模型为规 范形。 约旦规范形(对角线规范形)就是以系统的特征向量为其 状态空间基底所导出的规范形。 从前面讨论中可以看出,一旦把状态空间模型通过线性 变换化成约旦规范形,对于状态转移矩阵(t)求解以及状 态能控性和能观性分析都是十分方便的。
Ax Bu x 1： y Cx
x * A* x * B*u* 2： * * * y C x
其中： A* AT ,
1
B* CT ,
C * BT
的能控标准II型为：
0 0 1 0 1 A To1 ATo1 0 1 0 0 0 1 2 , 0 0 1 n 1 0 1 0 b To11b 0
1、能控标准I型
Ax bu x 定义：如果单输入线性定常系统： y Cx 是状态能控的，
det[λI A] λn an1λn1 a1λ a0 设A的特征多项式 则存在线性非奇异变换：x Tc1 x
将状态方程化为能控标准I型：
0 0 1 A Tc1 ATc1 0 0 1 0 0 1 0 1 0

A* B* ( A* ) n 1 B*
C
T
T
AT C T
( AT ) n 1 C T

T
2、能观测标准II型
Ax bu x 如果单输出线性定常系统： 是能观测的， y Cx
则存在线性非奇异变换：x To 2 x 将状态方程化为能观测标准II型：
0 0 1 0 1 其中：A To 2 ATo 2 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 n 1 0
下面讨论通过线性变换将SISO系统的状态空间模型变换成 对于系统的状态反馈设计十分方便的能控规范形
能简化系统的状态观测器设计的能观规范形。
讨论的主要问题:
基本定义: 能控规范I/II形、
能观规范I/II形
基本方法: 能控规范形和能观规范形的变换方法
3.6.1 单输入系统的能控标准型
0 * T B C 1 n1
C * B T [1 0 0]
根据对偶原理， 2 的能控标准II型就是 1 的能观测标准I型。 注：状态转移矩阵互为转置逆，故其变换阵也应该互为转置逆：
To11 (To*1 )T B* C CA n 1 CA
Co [ 0
1 0 1
1 2 ] 5 4 1
[例3] 试将下列状态空间表达式变换为能控标准II形。
Ax Bu, x 1 1 A 0 1 yCx 1 B 1 C 1 0
[解 ]： 1）判断系统能控性
1 0 M B AB 1 1 rankM 2 n, 系统状态完全能控
C CTo1 [Cb, CAb,, CAn1b] [0
1 n1 ]
根据对偶关系， 2 的第一能观标准型为：
0 0 * T A A 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 1 n 1
0 0 1 A Tc1 ATc1 0 0
C CTc1 [0
1 n1 ]
2、能控标准II型
Ax bu x 定义：如果单输入线性定常系统： 是状态能控的， y Cx
则存在线性非奇异变换：x Tc 2 x [b, Ab,, An1b]x 将状态方程化为能控标准II型：
3.6.2 单输出系统的能观测标准型
n维线性定常系统 ( A, C ) 如果状态完全能观测，必有：
rank C A C ( A )

T
T
T
T n1
rank c c A c 1 A c ( A )
T 1 T m T T T T m

C
T T T n1 T 1
2）计算特征多项式
det(I A) I A 2 1
故：0 1, 1 0
3）计算变换阵，并化为能观测标准II型
0 0 0 1 A 1 1 1 0
1 To2 T

1 o2
* T c2
Ax Bu, x yCx 1 B 1 C 1 0
式中：
1 1 A 0 1
试将状态方程化为能观测标准II型。 注意：非特别标明，能观测标准型指的是能观测标准II型。 [解 ]： 1）判断系统能观测性
C 1 1 N CA 1 1 rankN 2 n, 系统状态完全能观测
[解 ] ： 1）判断系统能控性
1 M B AB 1 0 1
rankM 2 n, 系统状态完全能控
2）计算特征多项式
det(I A) I A 2 1
故：0 1, 1 0
3）计算变换阵，并化为能控标准I型
0 A 0 1 0 1 1 1 0
其中：
2
Ax b u x y Cx 0 0 1 b Tc1 b 0 , 0 1 1 n 1
C CTc1 [0
1 n1 ]
i ( i 0,1,, n 1)
2）计算特征多项式
det(I A) I A 2 1
故：0 1,1 0
3）化为能控标准II型
1 0 0 0 1 A , B 0 1 1 1 0 C CTc 2 CB 1 0 AB 1 0 1 0 1 1
s2 4s 5 G ( s) 3 s 6 s 2 11s 6
[解 ]：
s2 4s 5 ( s 2)2 1 G ( s) 3 2 s 6 s 11s 6 ( s 3)( s 2)( s 1)
无零极点相约，故能控且能观测。可以化为能控标准型。 所以：
则存在线性非奇异变换： x To1 x
将状态方程化为能观测标准I型：
0 0 1 A To1 ATo1 0 0 1 0 0 1 0 1 2
Ax b u x y Cx
0 1 b To1 b 1 n 1
n 1
采用能控标准I型，系统传递函数的求取
Ax b u x y Cx
det[λI A] λn an1λn1 a1λ a0
能控标准I型
1 0 0 1 0 1 2 0 0 , 0 1 n 1 0 1 b Tc 1b 0 1
0 0 1 0 1 A Tc 2 ATc 2 0 1 0 0 0 1 2 , 0 0 1 n 1 0
Ax b u x y Cx
1 0 1 b Tc 2 b 0
能观规范I型与能控规范II型互为对偶, 而能观规范II型与能控规范I 型互为对偶。 由对偶性原理可知,能控规范形是状态完全能控的,则其对 偶系统能观规范形是状态完全能观的。 由于线性变换不改变能观性,而能观规范形一定状态完全能 观,因此,只有状态完全能观的系统才能变换成能观规范形。
[例4]：设线性定常系统用下式描述
0 6, 1 11, 2 6 0 5, 1 4, 2 1
0 0 1 0 1 0 0 1 , 2 6 11 6 0 Bo 0 1
能控标准I型为：
0 Ao 0 0
其中：
C CTc 2 [Cb, CAb,, CAn1b] [0
1 n1 ]
[例1]：设线性定常系统用下式描述
Ax Bu, x 1 1 式中： A 0 1 yCx 1 B 1 C 1 0
试将状态方程化为能控标准I型。