湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 2.3.3直线、平面与

高中数学高一年级必修二第二章§2、3.3—2、3.4直线与平
面垂直的性质、平面与平面垂直的性质
导学案
Ａ．学习目标
1、知识与技能
（1）使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
（2）能运用性质定理解决一些简单问题；
（3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、过程与方法
（1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；（2）性质定理的推理论证。

3、情态与价值
通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

Ｂ．学习重点、难点
两个性质定理的证明。

Ｃ．学法指导
直观感知、操作确认，猜想与证明。

D．知识链接
问题：若一条直线与一个平面垂直，则可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？E．自主学习
让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。

（自然进入课题内容）
F.合作探究
1、操作确认
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。

如图2.3—4，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正确性呢？
A1
D1
C a b
α
C1
B1
D
图2.3-4 图2.3-5
2、推理证明
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法， 然后师生互动共同完成该推理过程 ，最后归纳得出：
垂直于同一个平面的两条直线平行。

（三）应用巩固
例子：课本P.79例4 ；P.80例5
做法：教师给出问题，学生思考探究、判断并说理由，教师最后评议。

（四）类比拓展，研探新知
类比上面定理：若在两个平面互相垂直的条件下，又会得出怎样的结论呢？例如：如何在黑板面上画一条与地面垂直的直线？
引导学生观察教室相邻两面墙的交线，容易发现该交线与地面垂直，这时，只要在黑板上画出一条与这交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直。

然后师生互动，共同完成性质定理的确认与证明，并归纳性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

（五）巩固深化、发展思维
思考1、设平面α⊥平面β，点P 在平面α内，过点P 作平面β的垂线a ，直线a 与平面α具有什么位置关系？
（答：直线a 必在平面α内）
思考2、已知平面α、β和直线a ，若α⊥β，a ⊥β，a α，则直线a 与平面α具有什么位置关系？
G.归纳小结,课后巩固
小结：（1）请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？
（2）类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？
作业：（1）求证：两条异面直线不能同时和一个平面垂直；
（2）求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

H ．达标检测
1．如果直线l 、m 与平面α、β、γ之间满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m ⊂α和m ⊥γ，那么
( )
A ．α⊥γ且l ⊥m
B ．α⊥γ且m ∥β
C ．m ∥β且l ⊥m
D ．α∥β且α⊥γ
解析：如图，平面α为平面AD 1，平面β为平面BC 1，平面γ为平面AC ，
∵m ⊂α，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m ⊥γ，l ⊂γ，由
线面垂直的性质得m ⊥l.
答案：A
2．下列命题中错误的是( )
A ．如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
B ．如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
C ．如果α不垂直于平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D ．如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γ
解析：若α⊥β，则α内必有垂直于β的直线，并非α内所有直线都垂直于β，A 错． 答案：A
B
A
3.线段AB 的两端在直二面角α­l­β的两个面内，并与这两个面
都成30°角，则异面直线AB 与l 所成的角是( )
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
解析：过B 作l 的平行线，过A′作l 的垂线，两线交于点C ，连
接AC ，则∠ABC 即为异面直线AB 与l 所成的角，由题意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°， 所以AA′＝12AB ，BB′＝A′C＝12AB ，AB′＝32
AB ， 所以A′B′＝BC ＝22AB ，AC ＝22
AB ， 由勾股定理知∠ACB ＝90°，则∠ABC ＝45°.
答案：B
4．在三棱锥P —ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，∠PCA ＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC ＝4，M 是AB 边上的一动点，则PM 的最小值为( )
A ．2 3
B ．27
C ．4 3
D ．47
解析：连接CM ，则由题意PC ⊥平面ABC ，可得PC ⊥CM ，所以PM ＝
PC 2＋CM 2
，要求PM 的最小值只需求出CM 的最小值即可，在△ABC 中，
当CM ⊥AB 时CM 有最小值，此时有CM ＝4×32＝23，所以PM 的最小值为27.
答案：B
5．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，n ⊂β，n ⊥l ，直线m ⊥α，则直线m 与n 的位置关系是________．
解析：由题意知n ⊥α，而m ⊥α，∴m ∥n.
答案：平行
6.如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AA′⊥A′B′，BB′
⊥A′B′，且AA′＝3，BB′＝4，A′B′＝2，则三棱锥A —A′BB′
的体积V ＝________.
解析：由题意AA 1⊥面A′BB′，BB′⊥面A′B′A ，则三棱锥
A —A′BB′中，AA′为高，底面△A′BB′为Rt △.
∴V A －A′BB′＝13AA′S △A′BB′＝13×3×12
×2×4＝4. 答案：4
7．如图，沿直角三角形ABC 的中位线DE ，将平面ADE 折起，使得平面ADE ⊥平面BCDE 得到四棱锥A －BCDE.求证：平面ABC ⊥平面ACD.
证明：因为AD ⊥DE ，平面ADE ⊥平面BCDE ，根据面面垂直的性质定理得AD ⊥平面BCDE ，所以AD ⊥BC ，又CD ⊥BC ，根据线面垂直的判定定理得BC ⊥平面ACD ，又BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD.
8．如图，在四棱锥P —AB CD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC ，BD 的中
点，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且PA ＝PD ＝22AD.
(1)求证：EF ∥平面PAD ；
(2)求三棱锥C —PBD 的体积．
解：(1)证明：连接AC ，如图所示，
则F 是AC 的中点，E 为PC 的中点，∴EF ∥PA. 又∵PA ⊂平面PAD ，
EF ⊄平面PAD ，
∴EF ∥平面PAD.
(2)取AD 的中点N ，连接PN ，如图所示． ∵PA ＝PD ，∴PN ⊥AD.
又平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊂平面PAD ， ∴PN ⊥平面ABCD ，
∴V C —PBD ＝V P —BCD ＝1
3S △BCD ·PN
＝13·(1
2a ·a )·12a ＝a 3
12.。