2015湛江一模文科数学试题及答案word

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广东省湛江市2015年普通高考测试题(一)数学(文科)试卷

广东省湛江市2015年普通高考测试题（一）数学（文科）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、函数()()2log 1f x x =-的定义域是（）A ．{}R 1x x ∈>B ．{}R 1x x ∈<C ．{}R 1x x ∈≥D ．{}R 1x x ∈≤ 2、已知()212bi i +=（R b ∈，i 是虚数单位），则b =（）A ．2B ．1C ．1±D ．1或2 3、“2a >”是“函数x y a =是增函数”的（） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 4、已知向量(),2a x =，()1,1b =，若()a b b +⊥，则x =（）A ．2B ．4C ．4-D ．2-5、将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段，那么这两段绳子的长都不小于1米的概率是（） A ．14 B ．13 C ．12 D ．236、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（）A ．12+12 B ．12 C ．12+或12- D ．12+ 7、一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A ．24π B ．15π C ．15 D ．24 8、抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是（）A ．2 B ． C ．2 D ．29、若()f x 是奇函数，且0x 是()x y f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（）A ．()1x y f x e =--B ．()1x y f x e -=+C ．()1x y e f x =-D ．()1x y e f x =+10、由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量i a （1i =，2，3，⋅⋅⋅，n ，⋅⋅⋅），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于n *∀∈N ，第n 行共有21n -个向量，若第n 行第k 个向量为m a ，则()()()(),0,221m k n k n a n n k n k n <≤⎧⎪=⎨-<≤-⎪⎩，例如()11,1a =，()21,2a =，()32,2a =，()42,1a =，⋅⋅⋅，依次类推，则2015a =（）A ．()44,11B ．()44,10C ．()45,11D ．()45,10 二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．）（一）必做题（11~13题）11、已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}2,4A =，则U A =ð ． 12、运行如图的程序框图，输出的S = ．13、已知实数x ，y 满足条件2032000x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by=+（0a >，0b >）的最大值为6，则ab 的最大值是．（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为． 15、（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线PAB 、CD P ．AB 是圆O 的直径，若4PA =，C 5P =，CD 3=，则C D ∠B = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分12分）设函数()()sin 24cos sin 26f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()1求()0f 的值；()2求()f x 的值域．17、（本小题满分12分）在某地区的招聘考试中，一批毕业生全部参加了笔试和面试．成绩各记为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，考生的考试成绩数据统计如图所示，其中笔试成绩为B 的考生有10人．()1求这批考生中面试成绩为A 的人数；()2已知这批考生中只有甲、乙两人笔试和面试成绩均为A ．在笔试和面试成绩至少一项为A 的考生中随机抽取两人进行访谈，求这两人恰为甲和乙的概率．18、（本小题满分14分）如图，已知三棱锥C P -AB 中，PA ⊥平面C AB ，C ∆AB 是正三角形，C 22A =PA =，D 、E 分别为棱C A 和C B 的中点． ()1证明：D //E 平面PAB ；()2证明：平面D PB ⊥平面C PA ； ()3求三棱锥D P -B E 的体积．19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =．()1求数列{}n a 的通项公式；()2设()1412nn a nnb λ-=+-⋅⋅（λ为非零整数，n *∈N ），求λ的值，使得对任意n *∈N ，1n n b b +>恒成立．20、（本小题满分14分）如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，F 是右焦点，A 是右顶点，B 是椭圆上一点，F x B ⊥轴，F B =． ()1求椭圆C 的方程；()2设直线:l x ty λ=+是椭圆C 的一条切线，点()1y M ，点)2y N是切线l 上两个点，证明：当t 、λ变化时，以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标．21、（本小题满分14分）已知函数()()2ln f x x a x x =+--（R a ∈）在0x =处取得极值．()1求实数a 的值；()2证明：()2ln 1x x x +≤+；()3若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根，求实数b 的取值范围．。

广东省湛江一中高考数学“临门一脚”试卷文(含解析)

广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁R A）∩B等于( ) A．（﹣∞，2）B． C．（﹣2，2）D．①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④8．函数f（x）=xsinx的图象大致是( )A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A．16 B．12 C．8 D．610．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则( )A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为__________．12．圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是__________．13．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书__________本．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2的倾斜角为__________．（几何证明选讲选做题）15．如图，O是半圆的圆心，直径AB=2，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=__________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）（50，100] （100，150] （150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？18．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．19．设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T n．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．广东省湛江一中2015届高考数学“临门一脚”试卷（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x2﹣4＞0}，B={x|x﹣2＜0}，则（∁R A）∩B等于( ) A．（﹣∞，2）B． C．（﹣2，2）D．，∴（∁U A）∩B=故选：B．点评：本题考查复数的模的求法，复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．4．在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1a5=25，则a3等于( )A．5 B．25 C．﹣25 D．﹣5或5考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：直接由已知结合等差数列的性质求得a3．解答：解：在等比数列{a n}中，由a1a5=25，得，即a3=±5．∵a n＞0，∴a3=5．故选：A．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．5．若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是( ) A．2x﹣y=0 B．2x+y=0 C．4x﹣4y+1=0 D．4x+4y+1=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．分析：由幂函数的定义，可得m=1，运用代入法，可得f（x）的解析式，再求导数，和切线的斜率，运用点斜式方程，即可得到切线方程．解答：解：因为f（x）=mxα为幂函数，故m=1，又图象经过点A（，），则有=，则α=，即有f（x）=．则f′（x）=，则f（x）在点A处的切线斜率为•=1，则有切线方程为y﹣=x﹣，即为4x﹣4y+1=0．故选：C．点评：本题考查幂函数的定义，主要考查导数的运用：求切线方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．6．由直线x﹣y+1=0，x+y﹣5=0和x﹣1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为( )A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出对应的平面区域，根据二元一次不等式组与平面之间的关系即可得到结论．解答：解：作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，在x﹣y+1=0的上方，则x﹣y+1≤0，在x+y﹣5=0的下方，则x+y﹣5≤0，则用不等式组表示为，故选：A．点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域，利用数形结合是解决本题的关键．7．设函数，则下列结论正确的是( )①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A．③B．①③C．②④D．①③④考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：研究函数的性质，可利用代入法，将2x+看做整体，若它的取值为正弦函数的对称轴或对称中心横坐标，则其对应的x值即为所研究函数的对称轴或对称中心横坐标，同理2x+所在区间为正弦函数的单调增区间，则其对应的x所在区间为所研究函数的单调增区间，由此判断①②④的正误，利用函数图象的平移变换理论和诱导公式、偶函数的定义可证明③正确解答：解：①∵2×+=π，x=π不是正弦函数的对称轴，故①错误；②∵2×+=，（，0）不是正弦函数的对称中心，故②错误；③f（x）的图象向左平移个单位，得到y=sin=sin（2x+）=cos2x，y=cos2x为偶函数，故③正确；④由x∈，得2x+∈，∵不是正弦函数的单调递增区间，故④错误；故选A点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，函数的对称轴、对称中心、单调区间的求法，函数图象的平移变换和函数奇偶性的定义，整体代入的思想方法8．函数f（x）=xsinx的图象大致是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．解答：解：函数f（x）=xsinx满足f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），函数的偶函数，排除B、C，因为x∈（π，2π）时，sinx＜0，此时f（x）＜0，所以排除D，故选：A．点评：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．9．某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( )A．16 B．12 C．8 D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱（或看成两个三棱柱的组合体），求出底面面积，代入柱体体积公式，可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的五棱柱，（或看成两个三棱柱的组合体），柱体的底面面积S=×3×2=3，柱体的高h=4，故柱体的体积V=Sh=12，故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则( )A．B．⊥（） C．⊥（） D．（）⊥（考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，从而得到．解答：解：如图，作，则，t∥，∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；∴AB⊥OB；∴．故选：C．点评：考查有向线段可表示向量，以及对向量距离的理解，向量减法的几何意义，共线向量基本定理．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11-13题）11．不等式x2﹣3x﹣10＜0的解集为{x|﹣2＜x＜5}．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：把不等式x2﹣3x﹣10＜0化为（x﹣5）（x+2）＜0，求出解集即可．解答：解：不等式x2﹣3x﹣10＜0可化为（x﹣5）（x+2）＜0，解得﹣2＜x＜5；∴该不等式的解集为{x|﹣2＜x＜5}．故答案为：{x|﹣2＜x＜5}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目．12．圆心在x轴上，半径长是4，且与直线x=5相切的圆的方程是（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16．考点：圆的标准方程．专题：直线与圆．分析：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a﹣5|=4，求得a的值，可得所求的圆的方程．解答：解：设圆心的坐标为（a，0），则圆心到直线x=5的距离等于半径，即|a﹣5|=4，求得a=1，或 a=9，故所求的圆的方程为（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16，故答案为：（x﹣1）2+y2=16和（x﹣9）2+y2=16．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，求圆的标准方程，属于中档题．13．书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书25本．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：直接利用抽样比，统筹兼顾即可．解答：解：书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，应抽出的英语书x本．可得，x=25．故答案为：25．点评：本题考查分层抽样的应用，利用抽样比求解是解题的关键．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14．在极坐标系中，直线ρsin（θ+）=2的倾斜角为．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：化直线的极坐标方程为直角坐标方程，求出直线的斜率，则倾斜角可求．解答：解：由ρsin（θ+）=2，得，即，∴直线ρsin（θ+）=2的斜率为﹣1，倾斜角为．故答案为：．点评：本题考查简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，是基础题．（几何证明选讲选做题）15．如图，O是半圆的圆心，直径AB=2，PB是圆的一条切线，割线PA与半圆交于点C，AC=4，则PB=2．考点：圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；压轴题．分析：根据直径所对的圆周角是直角，得到∠ACB=90°，根据勾股定理做出BC的长，根据两个三角形相似，得到对应边成比例，代入已知的量，得到要求的线段的长．解答：解：连接BC，则∠ACB=90°，∠ABP=90°，∴BC==2△ABC∽△APB，∴，∴故答案为：2点评：本题考查三角形相似的性质，考查直径所对的圆周角是直角，考查勾股定理，考查圆的切线的性质，考查利用几何知识解决实际问题，是一个比较简单的综合题目．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知•=2，cosB=，b=3，求：（Ⅰ）a和c的值；（Ⅱ）cos（B﹣C）的值．考点：余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）利用平面向量的数量积运算法则化简•=2，将cosB的值代入求出ac=6，再利用余弦定理列出关系式，将b，cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13，联立即可求出ac的值；（Ⅱ）由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c，b，sinB，利用正弦定理求出sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）∵•=2，cosB=，∴c•acosB=2，即ac=6①，∵b=3，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即9=a2+c2﹣4，∴a2+c2=13②，联立①②得：a=3，c=2；（Ⅱ）在△ABC中，sinB===，由正弦定理=得：sinC=sinB=×=，∵a=b＞c，∴C为锐角，∴cosC===，则cos（B﹣C）=cosBcosC+sinBsinC=×+×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．1月某日某省x个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）（50，100] （100，150] （150，200]监测点个数15 40 y 10（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图，利用频率=，求出x、y的值，计算直方图中各小进行对应的高，补全频率分布直方图；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率即可．解答：解：（Ⅰ）根据频率分布直方图，得；0.003×50=，∴x=100；又∵15+40+y+10=100，∴y=35；…∴直方图中（50，100]对应矩形的高为=0.008，（100，150]对应矩形的高为=0.007，（150，200]对应矩形的高为=0.002；补全频率分布直方图，如图所示；…（Ⅱ）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4，5，从中任取2个的基本事件分别为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10种，…其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为（1，4），（1，5），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共7种，…所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是P（A）=．…点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．18．如图5，已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB=，AB⊥平面BCD，E、F分别是AC、AD的中点．（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；（2）设平面BEF∩平面BCD=l，求证CD∥l；（3）求四棱锥B﹣CDFE的体积V．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD⊥平面ABC，再利用三角形的中位线定理可得：EF∥CD．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由CD∥EF，利用线面平行的判定定理可得：CD∥平面BEF，再利用线面平行的性质定理即可证明；（3）解法1：由（1）知EF∥CD，利用三角形相似的性质可得：，得到，求出V B﹣ACD即可得出．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，利用线面垂直的性质可得：FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，利用V=V F﹣EBC+V F﹣BCD即可得出；解答：（1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，又BC⊥CD，AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC，又E、F分别是AC、AD的中点，∴EF∥CD．∴EF⊥平面ABC又EF⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC．（2）证明：∵CD∥EF，CD⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，∴CD∥平面BEF，又CD⊂平面BCD，且平面BEF∩平面BCD=l，∴CD∥l．（2）解法1：由（1）知EF∥CD，∴△AEF～△ACD．∴，∴，∴=．解法2：取BD中点G，连接FC和FG，则FG∥AB，∵AB⊥平面BCD，∴FG⊥平面BCD，由（1）知EF⊥平面ABC，∴V=V F﹣EBC+V F﹣BCD==．点评：本题考查了线面面面垂直与平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．19．设S n为数列{a n}的前n项和，对任意的n∈N*，都有S n=（m+1）﹣ma n（m为正常数）（1）求证：数列{a n}是等比数列；（2）数列{b n}满足：b1=2a1，b n=（n≥2，n∈N+），求数列{b n}的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a1=1，（1+m）a n=ma n﹣1，从而=，（n≥2），由此能证明数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）由b1=2a1=2，b n=（n≥2，n∈N+），得=1，（n≥2），从而{}是首项为，公差为1的等差数列，由此能求出b n=，（n∈N*）．（3）由b n=，得=2n（2n﹣1），由此利用错位相减法能求出数列{}的前n项和T n．解答：（1）证明：当n=1时，a1=S1=（m+1）﹣ma1，解得a1=1，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=ma n﹣1﹣ma n，即（1+m）a n=ma n﹣1，∵m为常数，且m＞0，∴=，（n≥2），∴数列{a n}是首项为1，公比为的等比数列．（2）解：由（1）得，b1=2a1=2，b n=（n≥2，n∈N+），∴，即=1，（n≥2），∴{}是首项为，公差为1的等差数列，∴=，∴b n=，（n∈N*）．（3）解：由（2）知，b n=，则=2n（2n﹣1），∴T n=2×1+22×3+23×5+…+2n×（2n﹣1），①则2T n=22×1+23×3+24×5+…+2n+1×（2n﹣1），②②﹣①得，T n=2n+1×（2n﹣1）﹣2﹣23﹣24﹣…﹣2n+1，故T n=2n+1×=2n+1×（2n﹣3）+6．点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），抛物线上一点Q（m，）到焦点的距离为1．（Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）设过点M（0，2）的直线l与抛物线C交于A，B两点，且A点的横坐标为n（n∈N*）（ⅰ）记△AOB的面积为f（n），求f（n）的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用Q（m，）到焦点的距离为1，计算即得结论；（Ⅱ）（ⅰ）通过A点横坐标及直线过点M可得直线l斜率的表达式，将其代入S△AOB，计算即可；（ⅱ）设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），利用f（m）=f（n），计算即可．解答：解：（Ⅰ）依题意得|QF|=y Q+=+=1，解得p=1，∴抛物线C的方程为x2=2y；（Ⅱ）（ⅰ）∵直线l与抛物线C交于A、B两点，∴直线l的斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2，联立方程组，化简得：x2﹣2kx﹣4=0，此时△=（﹣2k）2﹣4×1×（﹣4）=4（k2+4）＞0，由韦达定理，得：x1+x2=2k，x1x2=﹣4，∴S△AOB=|OM|•|x1﹣x2|=×2==2（*）又∵A点横坐标为n，∴点A坐标为A（n，），又直线过点M（0，2），故k==﹣，将上式代入（*）式，可得：f（n）=2=2=2=n+（n∈N*）；（ⅱ）结论：当A点坐标为（1，）或（4，8）时，对应不同的△AOB的面积相等．理由如下：设存在不同的点A m（m，），A n（n，）（m≠n，m、n∈N*），使对应不同的△AOB的面积相等，则f（m）=f（n），即m+=n+，化简得：m﹣n=﹣=，又∵m≠n，即m﹣n≠0，∴1=，即mn=4，解得m=1，n=4或m=4，n=1，此时A点坐标为（1，），（4，8）．点评：本题考查抛物线的定义及其标准方程、直线与抛物线的位置关系、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax，a∈R．（Ⅰ）若a=3，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两个极值点x1、x2，记过点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））的直线的斜率为k，问是否存在a，使k=﹣？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，，由此利用导数性质能求出f（x）的单调区间．（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出是否存在a，使k=﹣．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），当a=3时，当或x＞1，时，f'（x）＞0，…当时，f'（x）＜0，∴f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为…（Ⅱ）令u（x）=2x2﹣ax+1，则△=a2﹣8，1°当△＜0，即时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值；…2°当△=0，即时，f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…3°当△＞0，即或时，方程u（x）=0有两个实数根若，两个根x1＜x2＜0，此时，则当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，此时f（x）无极值…若，u（x）=0的两个根x1＞0，x2＞0，不妨设x1＜x2，则当x∈（0，x1）和（x2，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（0，x1）和（x2，+∞）单调递增，当x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，f（x）在区间（x1，x2）上单调递减，则f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且，==即…（*）…即令，则上式等价于：令g（t）=（t+1）lnt﹣t+1则令，∴m（t）在区间（0，1）上单调递减，且m（t）＞m（1）=1＞0，即g'（t）＞0在区间（0，1）恒成立，∴g（t）在区间（0，1）上单调递增，且g（t）＜g（1）=0，∴对∀t∈（0，1），函数g（t）没有零点，即方程在t∈（0，1）上没有实根，…即（*）式无解，∴不存在实数a，使得…点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力，分类讨论等综合解题能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．。

湛江一中2015-2016学年高二上学期期末数学试卷(文科) 含解析

2015—2016学年广东省湛江一中高二(上）期末数学试卷(文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(）A．模型1的相关指数R2为0.98 B．模型2的相关指数R2为0.80C．模型3的相关指数R2为0。

50 D．模型4的相关指数R2为0.252．数列，，，,…的第10项是（)A．B．C．D．3．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1,则x=1"的否命题为:“若x2=1,则x≠1”B．若p∨q为真命题,则p,q均为真命题C．命题“存在x∈R,使得x2+x+1＜0”的否定是：“对任意x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y,则sinx=siny"的逆否命题为真命题4．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归直线方程为=60+90x,下列判断正确的是(）A．劳动生产率为1000元时,工资为50元B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元C．劳动生产率提高1000元时,工资提高90元D．劳动生产率为1000元时，工资为90元5．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a,b，c，若a=2，c=4，B=60°，则b等于(）A．28 B．2C．12 D．26．曲线y=xlnx在点（1，0）处的切线方程是（）A．y=x﹣1 B．y=x+1 C．y=2x﹣2 D．y=2x+27．m=0是方程x2+y2﹣4x+2y+m=0表示圆的(）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要8．用反证法证明“若a+b+c＜3，则a，b,c中至少有一个小于1”时,“假设”应为()A．假设a，b，c至少有一个大于1 B．假设a,b，c都大于1C．假设a，b，c至少有两个大于1 D．假设a，b,c都不小于19．在下列函数中，最小值是2的是(）A．（x∈R且x≠0）B．C．y=3x+3﹣x（x∈R) D．）10．设f′(x）是函数f（x）的导函数,y=f′（x)的图象如图所示,则y=f（x）的图象最有可能的是（）A．B．C．D．11．数列{a n｝满足：a1=2,a n+1=（n∈N*）其前n项积为T n，则T2014=(）A．﹣6 B．﹣C．D．612．椭圆C的两个焦点分别是F1，F2，若C上的点P满足，则椭圆C 的离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．双曲线4x2﹣y2=16的渐近线方程是．14．在等差数列a n中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=．15．设a＞0,b＞0，且a+b=1，则+的最小值为．16．设x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为．三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a,b，c,且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；(2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．18．在对人们休闲方式的一次调查中，共调查120人,其中女性70人、男性50人，女性中有40人主要的休闲方式是看电视,另外30人主要的休闲方式是运动；男性中有20人主要的休闲方式是看电视，另外30人主要的休闲方式是运动．（Ⅰ）根据以上数据建立一个2×2的列联表：看电视运动总计女性男性总计（Ⅱ）休闲方式与性别是否有关?参考数据：P（K2≥k0）0.50 0。

2015年广东省湛江市高考一模数学试卷(文科)【解析版】

2015年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）函数f（x）＝log2（x﹣1）的定义域是（）A．{x∈R|x＞1}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|x≥1}D．{x∈R|x≤1} 2．（5分）已知（1+bi）2＝2i（b∈R，i是虚数单位），则b＝（）A．2B．1C．±1D．1或23．（5分）“a＞2”是“函数y＝a x是增函数”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知向量＝（x，2），＝（1，1），若（+）⊥，则x＝（）A．2B．4C．﹣4D．﹣25．（5分）将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段，那么这两段绳子的长都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，若a2、a3、a1成等差数列，则公比q＝（）A．或B．C．或D．7．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A．24πB．15πC．15D．248．（5分）抛物线8y﹣x2＝0的焦点F到直线l：x﹣y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．D．9．（5分）若f（x）是奇函数，且x0是y＝f（x）+e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y＝f（﹣x）e x﹣1B．y＝f（﹣x）e﹣x+1C．y＝e x f（x）﹣1D．y＝e x f（x）+110．（5分）由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（i＝1，2，3，…，n，…），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于∀n∈N*，第n行共有2n﹣1个向量，若第n行第k个向量为，则＝，例如＝（1，1），＝（1，2），＝（2，2），＝（2，1），…，依此类推，则＝（）A．（44，11）B．（44，10）C．（45，11）D．（45，10）（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则∁U A＝．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝．13．（5分）已知实数x，y满足条件：，若条件为目标函数z＝ax+by最大值为6，则ab的最大值是．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为．15．如图，从圆O外一点P作圆O的割线P AB、PCD．AB是圆O的直径，若P A＝4，PC＝5，CD＝3，则∠CBD＝．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设函数f（x）＝sin（2x+）﹣4cos（π﹣x）sin（x﹣）．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域．17．（12分）在某地区的招聘考试中，一批毕业生全部参加了笔试和面试．成绩各记为A、B、C、D、E五个等级，考生的考试成绩数据统计如图所示，其中笔试成绩为B的考生有10人．（1）求这批考生中面试成绩为A的人数；（2）已知这批考生中只有甲、乙两人笔试和面试成绩均为A．在笔试和面试成绩至少一项为A的考生中随机抽取两人进行访谈，求这两人恰为甲和乙的概率．18．（14分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，△ABC是正三角形，AC＝2 P A＝2，D、E分别为棱AC和BC的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）证明：平面PBD⊥平面P AC；（3）求三棱锥P﹣BDE的体积．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1+S n﹣1＝2S n+1（n≥2，n∈N*），且a1＝2，a2＝3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝4n+（﹣1）n﹣1•λ•（λ为非零整数，n∈N*），求λ的值，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．20．（14分）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x＝ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．21．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x（a∈R）在x＝0处取得极值．（1）求实数a的值；（2）证明：ln（x+1）≤x2+x；（3）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．2015年广东省湛江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）函数f（x）＝log2（x﹣1）的定义域是（）A．{x∈R|x＞1}B．{x∈R|x＜1}C．{x∈R|x≥1}D．{x∈R|x≤1}【解答】解：由题意得：x﹣1＞0，解得：x＞1，∴函数f（x）的定义域是{x∈R|x＞1}，故选：A．2．（5分）已知（1+bi）2＝2i（b∈R，i是虚数单位），则b＝（）A．2B．1C．±1D．1或2【解答】解：∵2i＝1﹣b2+2bi，∴1﹣b2＝0，2＝2b，∴b＝1．故选：B．3．（5分）“a＞2”是“函数y＝a x是增函数”的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若函数y＝a x是增函数，则a＞1，则“a＞2”是“函数y＝a x是增函数”的充分不必要条件，故选：B．4．（5分）已知向量＝（x，2），＝（1，1），若（+）⊥，则x＝（）A．2B．4C．﹣4D．﹣2【解答】解：由向量＝（x，2），＝（1，1），则•＝x+2，＝（）2＝2，若（+）⊥，则（+）•＝0，即有+＝0，即x+2+2＝0，即有x＝﹣4．故选：C．5．（5分）将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段，那么这两段绳子的长都不小于1米的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率P（A）＝．故选：B．6．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，若a2、a3、a1成等差数列，则公比q＝（）A．或B．C．或D．【解答】解：因为a2、a3、a1成等差数列，所以2×a3＝a1+a2，则a3＝a1+a2，因为等比数列{a n}的各项均为正数，且公比q≠1，所以，化简得q2﹣q﹣1＝0，解得q＝或q＝（舍去），故选：D．7．（5分）一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（）A．24πB．15πC．15D．24【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面圆的直径为6，母线长为5的圆锥体，＝π×32+π×3×5＝24π．该圆锥的表面积为S表面积故选：A．8．（5分）抛物线8y﹣x2＝0的焦点F到直线l：x﹣y﹣1＝0的距离是（）A．B．C．D．【解答】解：由抛物线8y﹣x2＝0焦点F（0，2），∴点F（0，2）到直线l：x﹣y﹣1＝0的距离d＝＝．故选：D．9．（5分）若f（x）是奇函数，且x0是y＝f（x）+e x的一个零点，则﹣x0一定是下列哪个函数的零点（）A．y＝f（﹣x）e x﹣1B．y＝f（﹣x）e﹣x+1C．y＝e x f（x）﹣1D．y＝e x f（x）+1【解答】解：f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）且x0是y＝f（x）+e x的一个零点，∴f（x0）+＝0，∴f（x0）＝﹣，把﹣x0分别代入下面四个选项，A、y＝f（x0）﹣1＝﹣﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2，故A错误；B、y＝f（x0）+1＝﹣（）2+1≠0，故B错误；C、y＝e﹣x0f（﹣x0）﹣1＝﹣e﹣x0f（x0）﹣1＝e﹣x0﹣1＝1﹣1＝0，故C正确；D、y＝f（﹣x0）+1＝1+1＝2，故D错误；故选：C．10．（5分）由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（i＝1，2，3，…，n，…），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于∀n∈N*，第n行共有2n﹣1个向量，若第n行第k个向量为，则＝，例如＝（1，1），＝（1，2），＝（2，2），＝（2，1），…，依此类推，则＝（）A．（44，11）B．（44，10）C．（45，11）D．（45，10）【解答】解：由题意得，第n行共有2n﹣1个向量，则前n行共有1+3+5+…+（2n﹣1）＝＝n2个向量，因为442＜2015＜452，且442＝1936，所以应在第45行第79个向量，因为第n行第k个向量为，则＝，所以＝（45，11），故选：C．（一）必做题（11～13题）11．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，则∁U A＝{1，3，5}．【解答】解：因为全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{2，4}，所以∁U A＝{1，3，5}，故答案为：{1，3，5}．12．（5分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S＝15．【解答】解：经过第一次循环得到的结果为T＝1，S＝1，i＝2，不满足判断框中的条件，执行“否”经过第二次循环得到的结果为T＝3，S＝3，i＝3，不满足判断框中的条件，执行“否”经过第三次循环得到的结果为T＝5，S＝15，i＝4，满足判断框中的条件，执行“是”，输出S＝15，故答案为15．13．（5分）已知实数x，y满足条件：，若条件为目标函数z＝ax+by最大值为6，则ab的最大值是．【解答】解：由约束条件作差可行域如图，由z＝ax+by（a＞0，b＞0）得y＝﹣，则直线的斜率k＝﹣，截距最大时，z也最大．平移直y＝﹣，由图象可知当直线y＝﹣经过点A时，直线y＝﹣的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，4），此时z＝2a+4b＝6，即a+2b＝3，∴3＝a+2b，即，ab，当且仅当a＝2b，即时上式“＝”成立．∴ab的最大值为．故答案为：．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）极坐标方程分别为ρ＝cosθ与ρ＝sinθ的两个圆的圆心距为．【解答】解：由ρ＝cosθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣x＝0，其圆心是A（，0），由ρ＝sinθ，化为直角坐标方程为x2+y2﹣y＝0，其圆心是B（0，），由两点间的距离公式，得AB＝，故答案为：．15．如图，从圆O外一点P作圆O的割线P AB、PCD．AB是圆O的直径，若P A＝4，PC＝5，CD＝3，则∠CBD＝30°．【解答】解：由割线长定理得：P A•PB＝PC•PD，即4×PB＝5×（5+3），∴PB＝10，∴AB＝6，∴R＝3，所以△OCD为正三角形，∠CBD＝∠COD＝30°．故答案为：30°．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．（12分）设函数f（x）＝sin（2x+）﹣4cos（π﹣x）sin（x﹣）．（1）求f（0）的值；（2）求f（x）的值域．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin（2x+）﹣4cos（π﹣x）sin（x﹣）．则：f（0）＝＝1﹣2＝﹣1（2）f（x）＝cos2x+4cos x（）＝＝由于﹣1≤sin2x≤1所以：函数f（x）的值域为：[]．17．（12分）在某地区的招聘考试中，一批毕业生全部参加了笔试和面试．成绩各记为A、B、C、D、E五个等级，考生的考试成绩数据统计如图所示，其中笔试成绩为B的考生有10人．（1）求这批考生中面试成绩为A的人数；（2）已知这批考生中只有甲、乙两人笔试和面试成绩均为A．在笔试和面试成绩至少一项为A的考生中随机抽取两人进行访谈，求这两人恰为甲和乙的概率．【解答】解：（1）∵“笔试成绩为B的考生有10人，对应的频率为0.25，∴该班有10÷0.25＝40人，∴这批考生中面试成绩为A的人数为40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）＝40×0.075＝3；（2）由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A；设这4人为甲、乙、丙、丁，所以只有甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，一共有6个基本事件；设“随机抽取2人进行访谈，这2人恰为甲和乙的概率”为事件M，∴事件M中包含的事件有1个，为（甲，乙），则P（M）＝．18．（14分）如图，已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，△ABC是正三角形，AC＝2 P A＝2，D、E分别为棱AC和BC的中点．（1）证明：DE∥平面P AB；（2）证明：平面PBD⊥平面P AC；（3）求三棱锥P﹣BDE的体积．【解答】（1）证明：∵D、E分别为棱AC和BC的中点，∴DE∥AB，又∵AB⊂平面P AB，DE⊄平面P AB，∴DE∥平面P AB．（2）证明：∵P A⊥平面ABC，且BD⊂平面ABC，∴P A⊥BD，∵△ABC是正三角形，D是AC中点，∴BD⊥AC，∵P A∩AC＝A，且P A，AC⊂平面P AC，∴BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面P AC．（3）解：在正三角形ABC中，∵D，E分别为棱AC和BC的中点，∴＝＝＝，∵P A⊥平面ABC，∴P A⊥平面BDE，∴＝．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和S n满足S n+1+S n﹣1＝2S n+1（n≥2，n∈N*），且a1＝2，a2＝3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝4n+（﹣1）n﹣1•λ•（λ为非零整数，n∈N*），求λ的值，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．【解答】解：（1）∵S n+1+S n﹣1＝2S n+1（n≥2，n∈N*），∴S n+1﹣S n﹣（S n﹣S n﹣1）＝1，∴a n+1﹣a n＝1，且a2﹣a1＝1．∴数列{a n}是等差数列，∴a n＝2+（n﹣1）×1＝n+1．（2）b n＝4n+（﹣1）n﹣1•λ•＝4n+（﹣1）n﹣1•λ•2n+1，要使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立，只须b n+1﹣b n＝4n+1﹣4n+（﹣1）n•λ•2n+2﹣（﹣1）n﹣1•λ•2n+1＞0恒成立．化为（﹣1）n﹣1λ＜2n﹣1．（i）当n为奇数时，λ＜2n﹣1恒成立，当且仅当n＝1时，2n﹣1有最小值1，∴λ＜1．（ii）当n为偶数时，λ＞﹣2n﹣1恒成立，当且仅当n＝2时，﹣2n﹣1有最大值1，∴λ＞﹣2．综上可得：﹣2＜λ＜1，又λ为非0整数，则λ＝﹣1．因此存在非0整数λ＝﹣1，使得对任意n∈N*，b n+1＞b n恒成立．20．（14分）如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：x＝ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以MN为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．【解答】解：（1）由题意设椭圆方程为①焦点F（c，0），因为②，将点B（c，）代入方程①得③由②③结合a2＝b2+c2得：．故所求椭圆方程为．（2）由得（2+t2）y2+2tλy+λ2﹣2＝0．∵l为切线，∴△＝（2tλ）2﹣4（t2+2）（λ2﹣2）＝0，即t2﹣λ2+2＝0①设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，∵MN为圆的直径，∴②因为，所以，代入②及①得＝，要使上式为零，当且仅当，解得x0＝±1，所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（﹣1，0）与（1，0），即两个焦点．21．（14分）已知函数f（x）＝ln（x+a）﹣x2﹣x（a∈R）在x＝0处取得极值．（1）求实数a的值；（2）证明：ln（x+1）≤x2+x；（3）若关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：f′（x）＝，∵在x＝0处取得极值，∴f′（0）＝0，∴﹣1＝0，解得a＝1．经过验证a＝1时，符合题意．（2）证明：当a＝1时，f（x）＝ln（x+1）﹣x2﹣x，其定义域为{x|x＞﹣1}．f′（x）＝＝，令f′（x）＝0，解得x＝0．当x＞0时，令f′（x）＜0，f（x）单调递减；当﹣1＜x＜0时，令f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（0）为函数f（x）在（﹣1，+∞）上的极大值即最大值．∴f（x）≤f（0）＝0，∴ln（x+1）≤x2+x，当且仅当x＝0时取等号．（3）解：f（x）＝﹣x+b即ln（x+1）﹣x2+x﹣b＝0，令g（x）＝ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（﹣1，+∞）．关于x的方程f（x）＝﹣x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根⇔g（x）＝0在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根．g′（x）＝﹣2x+＝，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上单调递增．当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1）上单调递减．∴，∴．。

湛江市2015届高三下学期普通高考测试(二)数学(文)试题word版含答案

绝密★启用前湛江市2015届高三下学期普通高考测试（二）数学（文）试题本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：棱锥的体积公式：13VSh =．其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高．一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}231x x M =-<，集合{}13x x N =-<<，则MN =（）A ．MB ．NC ．{}12x x -<< D ．{}3x x <2、某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是（）A ．15，17，18B ．15，16，19C ．14，17，19D ．15，16，20 3、已知向量()1,2a =-，()1,1b =-，()3,1c =-，则()c a b ⋅+=（）A ．()6,3B ．()6,3-C ．3-D ．9 4、已知z 是复数，i 是虚数单位，若1z i i ⋅=+，则z =（）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i -- 5、“11c -<<”是“直线0x y c ++=与圆221x y +=相交”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则14a a +=（） A ．7 B ．9 C ．13 D ．397、函数3sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴是（） A ．4x π= B ．4x π=-C ．8x π=D ．8x π=-8、一个几何体的三视图如图，正视图和侧视图都是由一个半圆和一个边长为2的正方形组成，俯视图是一个圆，则这个几何体的表面积是（）A ．5πB ．6πC ．7πD ．9π 9、运行如图的程序框图，若输入的4a =，则输出的n =（）A ．2B ．3C ．4D ．5 10、对于任意正整数n ，定义“!!n ”如下：当n 是偶数时，()()!!24642n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；当n 是偶数时，()()!!24531n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅；且有()()!12321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅．则如下四个命题：①()()2015!!2016!!2016!⋅=；②10082016!!21008!=⨯；③2015!!的个位数是5；④2014!!的个位数是0．其中正确的命题有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11～13题）11、若函数()21f x x ax =++是偶函数，则a = ．12、双曲线C :221916x y -=的离心率是．13、某所学校计划招聘男教师x 名，女教师y 名，x 和y 须满足约束条件2525x y x y x -≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则该校招聘的教师最多是名．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14、（坐标系与参数方程选做题）直线l的参数方程为1x y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），则直线l 的倾斜角是．15、（几何证明选讲选做题）如图，在梯形CD AB 中，D//C A B ，D 2A =，C 5B =，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且F//D E A ，若34AE =EB ，则F E 的长是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16、（本小题满分12分）设函数()2cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为2π． ()1求ω的值；()2记C ∆AB 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若13f π⎛⎫A -= ⎪⎝⎭，且2a =，求sin B 的值．某学校对学生进行三项身体素质测试，每项测试的成绩有3分、2分、1分，若各项成绩均不小于2分且三项测试分数之和不小于7分的学生，则其身体素质等级记为优秀；若三项测试分数之和小于6分，则该1利用上表提供的数据估算该学校学生身体素质的优秀率；()2从表中身体素质等级记为不合格的学生中任意抽取2人组成小组加强锻炼，求这2人三项测试总分相同的概率．AB中，E、F分别是C B、CD的中点，M、N分别是AB、CF的中点．将在边长为4的正方形CD该正方形沿AE、F A、F E折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥，如图所示．()1证明：//MN平面FAE；()2证明：AB⊥平面FBE；()3求四棱锥FE-A NM的体积．数列{}n a 的前n 项和记为n S ，对任意正整数n ，均有()241n n S a =+，且0n a >．()1求1a ，2a 的值；()2求数列{}n a 的通项公式；()3若3nn nab =（n *∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T ．已知以原点O 为中心的椭圆C 上一点到两焦点()1F ，)2F 的距离之和为8．()1求椭圆C 的方程；()2设P 、Q 是椭圆C 上两点，且Q 0OP⋅O =，求点O 到弦Q P 的距离．已知函数()xf x e =，()ln lng x x a =-（a 为常数， 2.718e =⋅⋅⋅），且函数()y f x =在0x =处的切线和()y g x =在x a =处的切线互相平行．()1求常数a 的值；()2若存在x 使不等式()x m f x ->成立，求实数m 的取值范围；()3对于函数()y f x =和()y g x =公共定义域内的任意实数0x ，把()()00f x g x -的值称为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．。

2015高考数学试卷(广东卷)文数(有答案、解析版)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-【答案】C考点：集合的交集运算．2.已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 【答案】D 【解析】试题分析：()221121212i i i i i +=++=+-=，故选D ．考点：复数的乘法运算．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =- C ．122xx y =+D ．sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】试题分析：函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()1sin1f x -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原考点：函数的奇偶性．4.若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：作出可行域如图所示：作直线0:l 230x y +=，再作一组平行于0l 的直线:l 23x y z +=，当直线l 经过点A 时，23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得：41x y =⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标为()4,1-，所以()max 24315z =⨯+⨯-=，故选C ．考点：线性规划．5.设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，23c =，3cos 2A =，且 b c <，则b =（）A ．3B ．2C ．22D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由余弦定理得：2222cos a b c bc =+-A ，所以()22232232232b b =+-⨯⨯⨯，即2680b b -+=，解得：2b =或4b =，因为b c <，所以2b =，故选B ．考点：余弦定理．6.若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交【答案】A 【解析】试题分析：若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选A ．考点：空间点、线、面的位置关系．7.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．1 【答案】B 【解析】试题分析：5件产品中有2件次品，记为a ，b ，有3件合格品，记为c ，d ，e ，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),c d ，(),c e ，(),d e ，恰有一件次品，有6种，分别是(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，设事件A =“恰有一件次品”，则()60.610P A ==，故选B ．考点：古典概型．8.已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ．考点：椭圆的简单几何性质．9.在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算． 10.若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（）A ．50B ．100C ．150D ．200 【答案】D 【解析】试题分析：当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．考点：推理与证明．二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．）（一）必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为．（用区间表示）【答案】()4,1-【解析】试题分析：由2340x x --+<得：41x -<<，所以不等式2340x x --+>的解集为()4,1-，所以答案应填：()4,1-．考点：一元二次不等式．12.已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为．【答案】11考点：均值的性质．13.若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ．【答案】1【解析】试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以()()25265261b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．考点：等比中项．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为．【答案】()2,4-【解析】试题分析：曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28y x =，由228x y y x +=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为()2,4-，所以答案应填：()2,4-．考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点． 15.（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4A B =，C 23E =，则D A = ．【答案】3【解析】试题分析：连结C O ，则C D O ⊥E ，因为D D A ⊥E ，所以C//D O A ，所以C D O OE=A AE，由切割线定理得：2C E =BE⋅AE ，所以()412BE BE+=，即24120BE +BE -=，解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以C 26D 34O ⋅AE ⨯A ===OE ，所以答案应填：3．考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16．（本小题满分12分）已知tan 2α=．（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．【答案】（1）3-；（2）1．【解析】试题分析：（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得222sin 22sin cos sin sin cos cos 21sin sin cos 2cos ααααααααααα=+--+-，再分子、分母都除以2cos α可得22sin 22tan sin sin cos cos 21tan tan 2αααααααα=+--+-，代入数值，即可得2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值．试题解析：（1）tan tantan 1214tan 341tan 121tan tan 4παπααπαα+++⎛⎫+====- ⎪--⎝⎭- （2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+-- ()222sin cos sin sin cos 2cos 11αααααα=+--- 222sin cos sin sin cos 2cos αααααα=+-22tan tan tan 2ααα=+-222222⨯=+-1=考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.17．（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．（1）求直方图中x 的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（1）0.0075；（2）230，224；（3）5．【解析】（2）月平均用电量的众数是2202402302+= 因为()0.0020.00950.011200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内，设中位数为a ，由()()0.0020.00950.011200.01252200.5a ++⨯+⨯-=得：224a =，所以月平均用电量的中位数是224（3）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.00752010015⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.0052010010⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++，所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户考点：1、频率分布直方图；2、样本的数字特征（众数、中位数）；3、分层抽样.18．（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直， D C 4P =P =，6AB =，C 3B =．（1）证明：C//B 平面D P A ；（2）证明：C D B ⊥P ；（3）求点C 到平面D P A 的距离．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）372．【解析】试题分析：（1）由四边形CD AB 是长方形可证C//D B A ，进而可证C//B 平面D P A ；（2）先证C CD B ⊥，再证C B ⊥平面DC P ，进而可证C D B ⊥P ；（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，先证PE ⊥平面CD AB ，再设点C 到平面D P A 的距离为h ，利用C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥可得h 的值，进而可得点C 到平面D P A 的距离．试题解析：（1）因为四边形CD AB 是长方形，所以C//D B A ，因为C B ⊄平面D P A ，D A ⊂平面D P A ，所以C//B 平面D P A（2）因为四边形CD AB 是长方形，所以C CD B ⊥，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DCP 平面CD CD AB =，C B ⊂平面CD AB ，所以C B ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以C D B ⊥P （3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ，因为D C P =P ，所以CD PE ⊥，在R t D ∆P E 中，22D D PE =P -E22437=-=，因为平面DC P ⊥平面CD AB ，平面DC P 平面CD CD AB =，PE ⊂平面DC P ，所以PE ⊥平面CD AB ，由（2）知：C B ⊥平面DC P ，由（1）知：C//D B A ，所以D A ⊥平面DC P ，因为D P ⊂平面DC P ，所以D D A ⊥P ，设点C 到平面D P A 的距离为h ，因为C D CD V V -P A P-A =三棱锥三棱锥，所以D CD 1133S h S ∆P A ∆A ⋅=⋅PE ，即CD D 136737212342S h S ∆A ∆P A ⨯⨯⨯⋅PE ===⨯⨯，所以点C 到平面D P A 的距离是372考点：1、线面平行；2、线线垂直；3、点到平面的距离.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．（1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．【解析】试题分析：（1）令2n =可得4a 的值；（2）先将211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥）转化为2144n n n a a a +++=，再利用等比数列的定义可证112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（3）先由（2）可得数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式，再将数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的通项公式转化为数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是等差数列，进而可得数列{}n a 的通项公式．试题解析：（1）当2n =时，4231458S S S S +=+，即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n ≥），即2144n n n a a a +++=（2n ≥），因为3125441644a a a +=⨯+==，所以2144n n n a a a +++=，因为()2121111111114242212142422222n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭即1141122n n n n a a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n n a ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()111422122n n n a n n -⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列{}n a 的通项公式是()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34±=k ．【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x . （3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线. 结合图形，49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x 表示的是一段关于X 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在X 轴对称下方的圆弧.设P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ,而当直线L 与轨迹C 相切时，.2314232=+-k k k ，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <结合图形，可得对于X 轴对称下方的圆弧，当0752≤≤-k 或34=k 时，直线L 与X 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知752752≤≤-k 或34±=k . 综上所述：当752752≤≤-k 或34±=k 时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系；3、圆锥曲线与圆的位置关系.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．（1）若()01f ≤，求a 的取值范围；（2）讨论()f x 的单调性；（3）当2a ≥时，讨论()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数．【答案】（1）21≤a ；（2）)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减；（3）当2=a 时，()4f x x+有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点．【解析】试题分析：（1）先由()01f <可得1≤+a a ，再对a 的取值范围进行讨论可得1≤+a a 的解，进而可得a 的取值范围；（2）先写函数()f x 的解析式，再对a 的取值范围进行讨论确定函数()f x 的单调性；（3）先由（2）得函数()f x 的最小值，再对a 的取值范围进行讨论确定()4f x x +在区间()0,+∞内的零点个数．试题解析：（1）22(0)f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1≤+a a当0≤a 时，10≤，显然成立；当0>a ，则有12≤a ，所以21≤a .所以210≤<a综上所述，a 的取值范围是21≤a . （2）()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=ax a x a x a x x a x x f ,2)12(,12)(22 对于()x a x u 1221--=，其对称轴为a a a x <-=-=21212，开口向上，所以)(x f 在),(+∞a 上单调递增；对于()a x a x u 21221++-=，其对称轴为a a a x >+=+=21212，开口向上，所以)(x f 在),(a -∞上单调递减. 综上，)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),(a -∞上单调递减.（3）由（2）得)(x f 在),(+∞a 上单调递增，在),0(a 上单调递减，所以2min )()(a a a f x f -==. (i)当2=a 时，2)2()(min-==f x f ，⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=2,452,3)(22x x x x x x x f 令()4f x x +=0，即xx f 4)(-=（x>0）. 因为)(x f 在)2,0(上单调递减，所以2)2()(-=>f x f 而x y 4-=在)2,0(上单调递增，2)2(-=<f y ，所以)(x f y =与xy 4-=在)2,0(无交点. 当2≥x 时，xx x x f 43)(2-=-=，即04323=+-x x ，所以042223=+--x x x ，所以()0)1(22=+-x x ，因为2≥x ，所以2=x ，即当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2. (ii)当2>a 时，2min )()(a a a f x f -==，当),0(a x ∈时，42)0(>=a f ，2)(a a a f -=，而xy 4-=在),0(a x ∈上单调递增，当a x =时，a y 4-=.下面比较2)(a a a f -=与a4-的大小因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---a a a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=结合图像不难得当2>a ，)(x f y =与x y 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点x=2；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点. 考点：1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.。

【解析版】广东省湛江市2015届高三上学期调研测试数学文试题 Word版含解析

广东省湛江市2015届高三上学期调研测试数学文试题（解析版）.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,3,1,3,5A B =-=，则AB =A.{}1,1,35-，B.{}1,3C.{}1,5-D.{}1,1,1-,3,3,5【答案解析】A 由{}{}1,1,3,1,3,5A B =-=则A B ={}1,1,35-，故选A. 2.已知复数z 满足(1)1i z i -=+，则复数=zA.1i +B.1i -D.i -【答案解析】C 由(1)1i z i -=+得C 。

3.某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取取n 名同学，其中高一的同学有30名，则=n4.A.x R ∈B.(0,3)x ∈C.(1,3)x ∈D.(][)13x ∈-∞+∞，，【答案解析】D 要使函数有意义2430x x -+≥则(][)13x ∈-∞+∞，，故选D 。

【思路点拨】先表示有意义的式子，再解出结果。

【题文】5.下列函数是增函数的是,2ππ⎫⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭C.()()cos 0,y xx π=∈D.2xy -=【知识点】函数的单调性B3【答案解析】B y=tanx 在给定的两个区间上式增函数，但在整个上不是增函数。

()()cos 0,y x x π=∈为减函数，2x y -=为减函数，故选B【思路点拨】分别确定各个区间上的单调性，找出答案。

【题文】6.“sin cos 0θθ>”是“θ是第一象限角”的 A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】C 由sinθ•cosθ＞0⇒θ在第一象限或第三象限， θ在第一象限⇒sinθ•cosθ＞0，∴“sinθ•cosθ＞0”是“θ在第一象限”的必要不充分条件，故选：C ．【思路点拨】由sinθ•cosθ＞0推不出θ在第一象限，由θ在第一象限能推出sinθ•cosθ＞0，从而得出结论．【题文】7.在ABC △，边a b 、所对的角分别为A B 、，若b=1，则a【知识点】解三角形C8【题文】8.若一个几何体的主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是D.不能确定【思路点拨】几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式做出结果．【题文】9.抛物线216y x =的焦点到双曲线A.2B.4【知识点】抛物线及其几何性质H7【思路点拨】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论．【题文】10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量OA =a ,OB =b ,其中a =（3,1），b =（1,3），若OC OA OB =+λμ，且01λμ≤≤≤，则点C 所有可能的位置区域用阴影表示正确的是【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2时，OC =λa +μb = a + b =（4，4）时，OC =λa +μb = a + b =（0，0）时，OC =λa +μb =11a b +=（113,【思路点拨】在解答动点表示的平面区域时，我们可以使用特殊点代入排除法，即取值，然后计算满足条件点的位置，然后排除到一定错误的答案．【题文】二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）【题文】11.为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm ）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于100cm 的株数是__________.【知识点】用样本估计总体I2【答案解析】7000 由图可知：底部周长小于100cm 段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，则底部周长大于100cm 的段的频率为1-0.3=0.7那么在这片树木中底部周长大于100cm 的株树大约10000×0.7=7000人．故答案为7000．【思路点拨】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm 的矩形的面积求和乘以样本容量即可．【题文】12.等差数列{}n a 中，51210,31,a a ==则该数列的通项公式=n a _________.（*n N ∈）【知识点】等差数列及等差数列前n 项和D2【答案解析】=n a 3n-5 ∵等差数列{a n }中，a 5=10，a 12=31，∴114101131a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得a 1=-2，d=3，∴a n =-2+3（n-1）=3n-5．故答案为：3n-5．【思路点拨】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式．【题文】13.设函数lg |2|,2()1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩，()()g x a a R =∈，若这两个函数的图象有3个交点，则=a _________.【知识点】函数与方程B9【答案解析】a=1 作出lg |2|,2()1,2x x f x x -≠⎧=⎨=⎩的图像，根据图像找出()()g x a a R =∈只有在a=1处有三个交点，故答案为a=1.【思路点拨】作出图像观察交点个数确定a 的值。

【名师解析】广东省湛江市第一中学2015届高三8月月考数学文试题 Word版含解析

广东省湛江市第一中学2015届高三8月月考数学（文）试题【试卷综评】本试卷试题主要注重基本知识、基本能力、基本方法等当面的考察，覆盖面广，注重数学思想方法的简单应用，试题有新意，符合课改和教改方向，能有效地测评学生，有利于学生自我评价，有利于指导学生的学习，既重视双基能力培养，侧重学生自主探究能力，分析问题和解决问题的能力，突出应用，同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。

第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【题文】1. 若集合A ＝{0，1，2，4}，B ＝{1，2，3}，则A ∩B ＝( ) A ．{0，1，2，3，4} B ．{0，4} C ．{1，2} D ．{3} 【知识点】集合运算.A1【答案解析】C 解析：由两集合交集的定义得：A ∩B ＝{1，2}，故选C. 【思路点拨】利用交集定义得结论.【题文】2．已知复数z ＝1＋3i1－i ，则z 的实部为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－1 【知识点】复数运算.L4 【答案解析】D 解析：()()()()1312412112i i i z i i i ++-+===-+-+ 故选D.【思路点拨】把已知复数化成(),a bi a b R +∈形式，从而得结论. 【题文】3．已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45 【知识点】三角函数的定义.C1【答案解析】D 解析：由余弦函数定义得：4cos 5xrα===-，故选 D.【思路点拨】根据余弦函数定义求解.【题文】4．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x2 B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x3 D ．f (x )＝2－x【知识点】函数奇偶性；单调性的判断.B3 B4【答案解析】A 解析：易知选项A,B 中函数是偶函数，而B 中函数是区间(－∞，0)上单调递减函数，故选A.【思路点拨】利用排除法的正确选项. 【题文】5. 0sin 300等于（）A.－23 B.－21 C.21 D.23 【知识点】诱导公式的应用.C2【答案解析】A 解析：()3sin 300sin 36060sin 60=-=-=-，故选A. 【思路点拨】利用诱导公式将所求化为锐角的三角函数求解. 【题文】6．以下有关命题的说法错误的是（）A.命题“若23201-=x x x +=，则”的逆否命题为“若21320-x x x ≠+≠则 B.“1x =”是“2320-=x x +”的充分不必要条件 C.若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D.对于命题p ： 22,10,:,10x R x x p x R x x ∃∈++<⌝∀∈++≥使得则则【知识点】四种命题的意义；充分、必要条件的意义；判断复合命题真假的真值表；含量词的命题的否定方法.A2 A3【答案解析】C 解析：对于选项C ：,p q 可以一真一假，故C 说法错误；其它选项显然正确.【思路点拨】利用四种命题的意义，充分、必要条件的意义，判断复合命题真假的真值表，含量词的命题的否定方法，判断各命题的真假.【题文】7．函数f （x ）＝12x －x 3在区间［－3，3］上的最小值是（）A.－9B.－16C.－12D.－11【知识点】导数的应用.B12【答案解析】B 解析：由()21230f x x '=-=得：2x =±()()()()39,216,216,39f f f f -=--=-==，∴最小值是-16，故选B.【思路点拨】根据利用导数求闭区间上连续函数的最值的方法求解.【题文】8. 函数()f x =xxln 的单调递减区间是（） A.(,)e +∞B. (1,)+∞C. (0,]eD. (0,1]【知识点】导数法求函数的单调区间.B12【答案解析】A 解析：函数的定义域为()0,+∞，由()21ln 0xf x x -'=<得：x e >，所以函数的单调递减区间是(),e +∞，故选A.【思路点拨】先求定义域，然后求导函数小于零的解集. 【题文】9. 函数cos y x x =-的部分图象是（）【知识点】函数的奇偶性；函数的图像.B4 B8【答案解析】D 解析：显然函数cos y x x =-是奇函数，所以排除选项A,C,又3x π=时06y π=-<，故选D.【思路点拨】利用排除法及特殊值法确定选项.【题文】10. 定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x '>恒成立，若12x x <，则12()xe f x 与21()xe f x 的大小关系为（）A ． 1221()()x x e f x e f x > B. 1221()()x xe f x e f x <C. 1221()()x x e f x e f x =D. 1221()()x xe f x e f x 与的大小关系不确定【知识点】导数的应用.B12【答案解析】A 解析：设()(),x f x g x e =则g '()()()()()()2x x x x e f x e f x f x f x x e e ''--== ()()f x f x '>，()g x ∴时R 上的增函数，()()1212,x x g x g x <∴<，即()()()()12121221x x x x f x f x e f x e f x e e<⇒>，故选A. 【思路点拨】构造函数()(),x f x g x e =则g '()()()()()()2x x x x e f x e f x f x f x x e e ''--== ()()f x f x '>，()g x ∴时R 上的增函数，()()1212,x x g x g x <∴<，即()()()()12121221x x x x f x f x e f x e f x e e<⇒>. 第二部分非选择题 (共 100 分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题. （一）必做题：第11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．【题文】11.曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的方程是 . 【知识点】导数的几何意义；直线方程的点斜式.B11 H1【答案解析】20x y -+= 解析：因为232y x '=-，所以1|1x y ='=，所以切线方程为：31y x -=-，即20x y -+=【思路点拨】曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的斜率，是324y x x =-+在1x =时的导数，由此求得斜率后，再用点斜式写出直线方程. 【题文】12.已知函数21()ln 2f x x b x =-+在区间)+∞上是减函数，则b 的取值范围是________．【知识点】导数的应用；恒成立问题.B12【答案解析】(],2-∞ 解析：因为函数21()ln 2f x x b x =-+在区间)+∞上是减函数，所以()0b f x x x'=-+≤在区间)+∞恒成立，即2b x ≤在区间)+∞恒成立，而2x在区间)+∞上的最小值是2，所以2b ≤.【思路点拨】由函数21()ln 2f x x b x =-+在区间)+∞上是减函数，可知()0b f x x x'=-+≤在区间)+∞恒成立，即2b x ≤在区间)+∞恒成立，而2x在区间)+∞上的最小值是2，所以2b ≤.【题文】13.如图1所示是函数y ＝2sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2ω＞0的一段图象，则ω= φ= .图1【知识点】()sin y A x ωϕ=+的图像.C4 【答案解析】2,6πωϕ==解析：11221212T Tππππω⎛⎫=--=⇒== ⎪⎝⎭，由此得：()1122,12k k Z πϕπ⨯+=∈，112,6k k Z πϕπ∴=-∈ ,12k πϕ≤∴=，所以6πϕ=.【思路点拨】利用函数的图像得到函数的周期，从而求得2ω=，再由图像过点11,012π⎛⎫⎪⎝⎭得：()1122,12k k Z πϕπ⨯+=∈，112,6k k Z πϕπ∴=-∈ ,12k πϕ≤∴=，所以6πϕ=.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能做1题，2题全答的，只计算前1题的得分．【题文】14．（几何证明选讲选做题）如图2，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为．【知识点】相交弦定理的应用.N1【答案解析】1 解析：由已知得:2BM=, 1,1,CM AM ==根据相交弦定理得：MNBM CM AM ⋅=⋅,)1112CMAMMN BM⋅∴===【思路点拨】先有已知条件求得线段,,BM CM AM 的长，再根据相交弦定理得：MN BM CM AM ⋅=⋅,)1112CM AMMN BM⋅∴===.【题文】15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是【知识点】参数方程与普通方程的互化；判别式法.N3【答案解析】⎡⎢⎣⎦解析：曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）化为普通方程是圆：()2221x y ++=，设t=y x，则y tx =，代入圆方程得：()221430t x x +++= 由()2161210t ∆=-+≥得t ≤≤，所以yx的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 【思路点拨】先将参数方程化为普通方程得圆：()2221x y ++=，设t=yx，则y tx =，代入圆方程得：()221430t x x +++=由()2161210t ∆=-+≥得t ≤≤，所以yx的取值范围是⎡⎢⎣⎦. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【题文】16．（12分）已知3(,),sin 25παπα∈=（1）求cos()6πα+的值；（2）求3sin(2)4πα+的值.【知识点】已知三角函数值，求三角函数式的值.C2 C5 C7 【答案解析】（1） ;(2) 50解析：（1）34,,sin cos 255παπαα⎛⎫∈=∴==- ⎪⎝⎭----3分413cos cos cos sin sin 666525πππααα⎛⎫⎫∴+=-=--⋅=⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ----7分（2）由（1）知4cos ,5α=- 24sin 22sin cos 25ααα∴==-----9分27cos 22cos 125αα=-=----10分 333sin 2sin cos 2cos sin 2444πππααα⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭7242525⎛⎛⎫=+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭---12分【思路点拨】利用同角三角函数关系及两角和与差的三角函数求解.【题文】17.（12分）某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图3，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83. （1）求x 和y 的值；（2）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.【知识点】茎叶图的意义；概率.I2 K2【答案解析】(1) 5,3x y ==;(2)710解析：（1）因为甲班学生的平均分是85，所以92968080857978857x +++++++=，所以 5.x = ----2分因为乙班学生成绩的中位数是83，所以 3.y = ------3分（2）甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B -------4分乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E ----5分从这五名学生中任意抽取两名共有10种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) (C,D) (C,E) (D,E) ------8分其中甲班至少一名学生共有7种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) –------10分记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710p M =-----11分答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生的概率为710--12分【思路点拨】（1）根据茎叶图的意义、平均数、中位数的意义求出,x y 的值.（2）由茎叶图可知：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A,B. 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C,D,E. 从这五名学生中任意抽取两名共有10种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) (C,D) (C,E) (D,E) . 其中甲班至少一名学生共有7种情况：(A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E)记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事件M ，则()710p M =. 【题文】18.（14分）设函数()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)2f =. （1）求a 的值及()f x 的定义域；（2）求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【知识点】函数定义域、值域求法.B1【答案解析】(1)2,a = ()f x 的定义域为()1,3-;(2) []2log 3,2.解析：（1）由()1log 2log 22log 22a a a f =+==得log 21a =，2a ∴= ---2分()()()22log 1log 3f x x x ∴=++- ----3分要使得()f x 有意义则有101330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩----6分所以()f x 的定义域为()1,3-. ----7分(2)由（1）知()()()22log 1log 3f x x x =++-()()2log 13x x =+-， -----8分令()31(3),0,2u x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，则()[]2314,0,,3,42u x x u ⎡⎤=--+∈∈⎢⎥⎣⎦----11分2log y u =在[]3,4上单调递减 --------12分()()()2log 13f x x x ∴=+-的值域为[]2log 3,2. 14分【思路点拨】（1）由()12f =得2a =；要使得()f x 有意义则有101330x x x +>⎧⇒-<<⎨->⎩所以()f x 的定义域为()1,3-.（2）由（1）得()f x ()()2log 13x x =+-令()31(3),0,2u x x x ⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，则()[]2314,0,,3,42u x x u ⎡⎤=--+∈∈⎢⎥⎣⎦2log y u =在[]3,4上单调递减，()()()2log 13f x x x ∴=+-的值域为[]2log 3,2【题文】19.（14分）将函数3sin(2),2y x πϕϕ=+<的图像向左平移3π个得到偶函数()y f x =的图像。

广东省湛江第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题word版含答案

湛江一中2014---2015学年度第二学期期中考试高二级数学文科试卷考试时间：120分钟满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{1,3,4},{1235}A B ==，，，，则A B 中元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7 2．设i 为虚数单位，则复数34ii-在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.已知向量a =(2,-1), b=(x-2,-2),若a ∥b ，则a -b 等于（） A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(2，-1) D.(2，1) 4．下列函数为偶函数的是( )A. y=lnx B．)lny x = C ．x y =2 D．ln y =5.若,x y 满足约束条件280306x y x y +≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩,则z x y =+的最小值为( )A ．5B ．6C ．7D ．96.下面是一商场某一个时间制定销售计划的局部结构图,则“计划”受影响的主要因()A.4个B.3个C.2个 D7个 7、命题“2000,40x R x x ∃∈++>” 的否定是( )A.2,40x R x x ∀∈++≥B. 2000,40x R x x ∃∈++> C. 2000,40x R x x ∃∈++<. D. 2,40x R x x ∀∈++≤8.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两个品牌的彩电都齐全的概率是（）1.5A2.5B 3.5C 4.5D9．已知抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(4,4)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．24y x = B. 24y x =－ C. 24x y = D. 28y x =10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝78，则n ＝( )．A ．20B ．19C ．10D ．9二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11、函数2ln 1y x =+在点（1,1）处的切线方程为 .12．执行如图的程序框图，则输出S 的值为．13.满足方程x 2－3x －4+(y 2－6y +9)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是14．如图，P 是圆O 外一点，PA ，PB 是圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，PA 中点为M ，过M 作圆O 的一条割线交圆O 于C ，D 两点，若PB=8,MC=2，则CD=三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15.(本小题满分12分)已知曲线C 的极坐标方程是2COS ρθ=，直线l 的参数方程是22,3253x t y t ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设直线l 与y 轴的交点是M ,N 是曲线C 上一动点,求MN 的最小值.16．.(本小题满分12分)在研究色盲与性别的关系调查中，调查了男性400人，其中有30人患色盲，调查的600名女性中有20人患色盲．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表； (2)有多大把握认为“性别与患色盲有关系”？参考公式及数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )附临界值参考表：17．（本小题满分14分）已知在等差数列{}n a 中，14a =，825a =， 11n n n b a a += （1）求n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：112n T <18．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，BC ⊥平面ABE ，且4,BC AE EB ==，F 为CE 的中点，且BF ⊥平面ACE ，.BDAC G =（1）求证：//AE 平面BFD ；（2）求证：AE ⊥平面BCE ；（3）求三棱锥E ADC -的体积.19．（本小题满分14分）在直角坐标系0x y 中，椭圆的离心率为，焦点在y 轴上，椭圆与x 轴交点坐标为（-1，0），（1，0），直线l:1y kx =+与椭圆交于A 、B 两点。

广东省湛江市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第一次月考试题文

湛江一中2015-2016学年度第二学期第一次大考考试高二级文科数学试卷考试时间：120分钟满分：150分参考公式：．用最小二乘法求线性回归方程系数公式，∑∑==-⋅-=ni ini i i xn xy x n yx b 1221，x b y a-=一、选择题（本题共12小题，每小题5分，总分60分；每个小题仅有一个最恰当的选项，请将你的答案填涂在答题卡上） 1．复数（）A. 1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i 2．已知0x >，函数4y x x=+的最小值是（） A ．5 B ．4 C ．8 D ．63．在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（） A..14 B.23 C. 23- D. 14- 4．已知数列{}n a 满足()11n n a a n N ++=-∈，且24618a a a ++=，则5a 的值为（） A. 8 B. 7 C. 5 D. 65．下列说法正确的是（）A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．命题“∀x ≥0，x 2＋x －1＜0”的否定是“∃x 0＜0，x 20＋x 0－1≥0” C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为假命题 D ．若“q p ∨”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题 6．“12x -<成立”是x(3-x)﹥0“成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 7.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则31323l o g l o g ...l o ga a a +++= A ．12 B ．10 C ．31log 5+ D ．32log 5+8．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同渐近线的是（） A ．2213x y -=与22193x y -= B ．2213x y -=与2213x y -=C ．2213x y -=与2213y x -= D ．2213x y -=与22139y x -= 9．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图，则导函数()y f x '=的图象可能为下图中的（）10．由不等式组22024010x y x y x --≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩确定的平面区域记为M ，若直线320x y a -+=与M 有公共点，则a 的最大值为（）A ．3-B ．4C ．2D ．111．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为（）A. 1∶4 B . 1∶6 C. 1∶ 8 D. 1∶9 12．函数axx x f 1)(+=在)1,(--∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A . (－∞，-1]∪[1，+∞) B .(－∞，0)∪（0,1] C.]1,0( D. (－∞,0)∪[1，+∞) 二、填空题 (每空5分，共20分)13．已知x 与y 之间的几组数据如右表：则由表数据所得线性回归直线必过点__________________．14．抛物线y = 4x 2的焦点坐标为____________．15．将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 67 8 9 1011 12 13 14 15 …根据以上规律,数阵中第n(n≥3)行的从左至右的第3个数是__________．16．如图，已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点恰好是椭圆(a ＞b ＞0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知 (1)求sinA ；(2)若，△ABC 的面积S＝22，且b>c ，求b ，c ．18.（本小题满分12分）在数列{}n a 中，c c a a a n n (,111+==+为常数，)*∈N n ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）设11+=n n n a a b ，求证：若数列{}n b 的前n 项和为n S ，则19．（本小题满分12分）某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩，若单科成绩在85分以上(含85分)，则该科成绩为优秀． 2131n s ≤bca cb 23)(3222+=+23=a(2)根据(1)中表格的数据计算,是否有99%的把握,认为学生的数学成绩与物理之间有关系? 参考公式:20．（本小题满分12分）如图，椭圆C :22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点P (2,3)，离心率e =12，直线l 的方程为y =4．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过(0,3)的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得？若存在，求λ的值．21．（本小题满分12分）已知函数21()ln ,()2f x xg x ax bx ==-，设()()()h x f x g x =-．（1）求函数F(x)=f(x)-x 的极值；（2）若g （2）＝2，若0<a ，讨论函数h （x ）的单调性；（3）若函数g （x ）是关于x 的一次函数，且函数h （x ）有两个不同的零点12,x x ，求b 的取值范围．32111k k k λ=+请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．（本小题满分10分）22．选修4－1：几何证明选讲如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是∠ACB的平分线并交AE于点F，交AB于D点，（1）求∠ADF的度数；（2）若AB=AC，求AC:BC．23．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，过点p（1，-2）的直线 L倾斜角为45.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线L和曲线C 的交点为A,B.(1)求直线L的参数方程；(2)求|PA||PB|．24．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=︱2x+1︳+︱2x-3︳（1）求不等式f(x)≤6 的解集；（2）若关于x的不等式︱a-1︳﹤f(x)的解集为R，求实数a的取值范围．.2015-2016学年度第二学期第一次大考考试文科数学答案一、选择题1-12 ABDCD BBADC CD二、填空题13．（4.5，3.5） 14．15． 16．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．解：(1) ∵ ，∴∴ cosA＝13又 ∴ ∠A 是三角形内角∴ sinA＝ 223 . ………………………（6分）(2)∵S＝22，∴12bcsinA ＝22，∴bc＝32， ① ∵ ，∴由余弦定理可得 ∴ + 1 , ②∵b>c>0，∴联立①②可得b ＝3/2，c ＝1. ………………………………（12分） 18. 解：（Ⅰ）∵1,1,n n a a c a c +=+=为常数，∴1(1)n a n c =+- ∴251,14a c a c =+=+.又125,,a a a 成等比数列，∴2(1)14c c +=+，解得0c =或2c =当0c =时，1n n a a +=不合题意，舍去. ∴2c = ………………………（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21n a n =- ∴111111()(21)(21)22121n n n b a a n n n n +===--+-+ 12-bc a c b 23)(3222+=+312222=-+bc a c b 23=a 31222⨯-+=bc a b 2)23(222)23(=+c b∴12111111(1)()()23352121n n S b b b n n ⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦11(1)22121nn n =-=++ ∴ ＞0, n S 11(1)22121nn n =-=++＜21 由单调性可知，当n=1是时n S 有最小值31∴ ≤Sn＜ ………………………………（12分） 19、解：(1)绩优秀………………………（4分） (2)根据列联表可以求得:,所以,我们有的把握认为:学生的数学成绩与物理成绩之间有关系 ………………………（12分）20.解:(Ⅰ)由已知得22222491,1,2a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a=4，b ．所以椭圆C 的方程为216x +212y =1．…………………（4分）2131121+n(Ⅱ)当直线AB 不存在斜率时，A，B，M (0,4)，此时k，k 1k 3=4302--=-12， 11k +21k =-4，可得λ=2．----------------（6分）当直线AB 存在斜率时，可设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y =kx+3．设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得221,16123,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，化简整理得，(4k 2+3)x 2+24kx -12=0，所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=21243k -+，而11k +21k =1123x y --+2223x y --=112x kx -+222x kx -=12121222()x x x x kx x -+=24k k-．又M 点坐标为(1k ,4)，所以31k =1243k --=12kk-．故可得λ=2．因此，存在常数2，使得11k +21k =3k λ恒成立．------------------------（12分）21. 解：（1）∵)(x F '=x1-1,令)(x F '=0,即x=1，又1)1()(1,0)(),1(,0)()1,0(-==∴'+∞∈'∈F x F x x F x x F x 有极大值时 ………… 2分（2）()()()h x f x g x =-∴ x a ax x ln x h )1(21)(2-+-=，其定义域为（0，+∞）.21(1)1(1)(1)()(1)=ax a x ax x h x ax a x x x-+-+-+-'=-+-=，又0<a ,令()0h x '=,得121,1x x a=-=. .1 .当1-<a 时，则101a<-<，所以函数)(x h 在区间（ 0,1a -）和（1,+∞）上单调递增；在区间（1a-,1）上单调递减..2 当1-=a 时，0)(/>x h ,数)(x h 在区间（0，+∞）单调递增 .3 当01<<-a 时，则11a ->，所以函数)(x h 在区间（0,1）和（1a-,+∞）上单调递增；在区间（1,1a-）上单调递减. （综上所述略） ……7分（3）∵函数)(x g 是关于x 的一次函数，∴ bx x x h +=ln )(，其定义域为（0，+∞）. ∵h(x) 有两个不同的零点12,x x ,∴b＜0)1(,)1(1,0)(,),1(,0)()1,0(1,0)(,11)( b h b h b x x h b x x h b x b x x h x bx b x x h -∴-∴-=∴'+∞-∈'-∈∴-=='+=+='是最大值是极大值点，时时令 ∴b 的取值范围是（e1-，0）. ……12分请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

湛江市第二十一中学2015届高三数学月考试卷(文科) 2014年--10月答案

湛江市第二十一中学 2015 届高三月考试卷答案（10 月）
李志锋
一、
编
选择题:(本大题共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分.在每小题给出的四个
1 C 2 D 3 C 4 C 5 D 6 A 7 C 8 B 9 C 10 A
选项中，只有一项是符合题目要求的.) 题号答案
二、填空题：（本大题共 5 小题，考生作答 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.）
1 。若函数 f（x）在区间[1，2]上为单调函数， x 1 1 或 3a 4 x 0 0， x x
则 f ( x ) 0, 或 f ( x ) 0 在区间[1， 2]上恒成立。 ∴ 3a 4 x 在区间[1，2]上恒成立。即 3a 4 x 又 h（x）= 4 x 即 3a
x2 8 0 ＝＋ 2＋4 (0＜x2 0≤4)． 2 x0 x2 8 0 2 2 因为＋ 2≥4(0＜x2 0≤4)，当 x0＝4 时等号成立，所以|AB| ≥8. 2 x0 故线段 AB 长度的最小值为 2 2.……………14 分
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[来
19.解：（1）∵ {an } 是首项 a1 1 ，公差 d 2 的等差数列， ∴ an a1 (n 1)d 2n 1 ………………………………………３分故 S n 1 3 ... (2n 1)
n(a1 an ) n(1 2n 1) n 2 …………６分 2 2
………………………………………7分
PA AC A
∴ BC 平面 PAC ………………………………………………………………9分
（3）∵ M 是 PC 中点， ∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半. ………………………11分

2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】1D：并集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

2015年高考文科数学全国卷1(含详细答案)

数学试卷第1页（共30页）数学试卷第2页（共30页）数学试卷第3页（共30页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)数学（文科）使用地区：河南、山西、河北、江西本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{|}32,A x x n n ==+∈N ,{6,8,10,12,14}B =,则集合A B 中元素的个数为（）A ．5B ．4C ．3D ．22．已知点0,1A （），3,2B （），向量AC =43--（，），则向量BC =（）A （-7，-4）B ．（7，4）C ．（-1，4）D ．（1，4） 3．已知复数z 满足（z -1）i=1+i ，则z=（）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数.从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．310B ．15C ．110D ．1205．已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线28C y x =：的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=（）A ．3B ．6C ．9D ．126．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为n {}a 的前n 项和.若844S S =，则10a = （）A ．172B ．192C ．10D ．128．函数=cos(+)x f x ωϕ（）的部分图象如图所示，则f x （）的单调递减区间为（）A ．13π,π+44k k k -∈Z （）,B ．132π,2π+44k k k -∈Z （）, C ．13,+44k k k -∈Z （）,D ．132,2+44k k k -∈Z （）,9．执行如图所示的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n = （）A ．5B ．6C ．7D ．810．已知函数1222, 1,()log (1), 1,x x f x x x -⎧-=⎨-+⎩≤＞且()3f a =-，则(6)f a -= （）A ．74-B ．54-C ．34-D ．14-11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16π20＋，则r = （）A ．1B ．2C ．4D ．812．设函数()y f x =的图象与2x a y +=的图象关于直线y x =-对称，且(2)(4)f f -+-1=，则a =（）A ．1-B ．1C ．2D ．4--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷第4页（共30页）数学试卷第5页（共30页）数学试卷第6页（共30页）第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上. 13．在数列{}n a 中12a =，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n =_____.14．已知函数31f x ax x =++（）的图象在点1,1f (())处的切线过点(2,7)，则a =_____. 15．若x ，y 满足约束条件20,210,220,x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩≤≤≥则z 3x y =+的最大值为_____.16．已知F 是双曲线2218yC x -=：的右焦点，P 是C 的左支上一点，0,66A （）.当APF △周长最小时，该三角形的面积为_____.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知a ，b ，c 分别是ABC △内角A ，B ，C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos B ；（Ⅱ）若B =90°，且2a =，求ABC △的面积. 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面. （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（Ⅱ）若ABC ∠=120°，AE EC ⊥，三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积.19．（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyω28i=1()ixx -∑28i=1()iωω∑-8i=1()()iiy x x y-∑-8i=1()()ii y y ωω--∑46.65636.8289.8 1.6 1 469108.8表中i ω=i x ，ω=188ii=1ω∑（Ⅰ）根据散点图判断，y a bx =＋与y c d x =＋哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利率z 与x ，y 的关系为z=0.2y －x .根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i ）年宣传费x =49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11()u v ,，22(,)u v ，…，(,)n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()(),()nii i nii uu v v v u uu βαβ==--==--∑∑.20．（本小题满分12分）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆22 ()2(3)1C x y -+-=：交于M ，N 两点. （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN . 21．（本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（Ⅰ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（Ⅱ）证明：当0a >时，()22ln f x a a a+≥.请考生在第22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC 交⊙O 于点E . （Ⅰ）若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若OA =3CE ，求∠ACB 的大小.23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C ：x =－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为()π4θρ=∈R ，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求2C MN △的面积.24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数12f x =|||x |x a --+（），0a >. （Ⅰ）当=1a 时，求不等式1f x >（）的解集；（Ⅱ）若f x （）的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围.3 / 102015年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷1）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷{8,14A B =【答案】A 【解析】(3,1)AB OB OA =-=(7,BC AC AB ∴=-=-，故选A.【考点】向量运算【答案】C【解析】(1)i 1i z -∴=+，22i (12i)(i)2i i z +-==--∴=【解析】抛物线，1e 2c a ==的方程解得(2,3)A -数学试卷第10页（共试卷第11页（共30页）数学试卷第12页（共30页）【解析】()f a =-5 / 10第Ⅱ卷【解析】12a =，64，6n ∴=【考点】等比数列定义与前【答案】1【解析】()3f x '=又(1)f a =切线过(2,7)，∴【考点】利用导数的几何意义求函数的切线，常见函数的导数【答案】4平移直线l ，当直线数学试卷第16页（共30页）数学试卷第17页（共30页）数学试卷第18页（共30页）(0,66)A ∴直线AF 66y =或22APF S ∴=△22ac .，由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac； 22ac .因为90B ，由勾股定理得222a c b ，故222a c ac ，得2c a ，所以先由正弦定理将22sin B A =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边B 22ac ，根据勾股定理即可求出7 / 10ACBD ，因为BE平面ABCD AC BE ，故AC 平面BED AEC平面BED （Ⅱ）设AB x ，在菱形中，由120ABC ，可得32AG GC x ，2x GB GD . 因为AE EC ⊥，所以在可得32EG x ，由BE 平面ABCD EBG △为直角三角形，22BEx ，由已知得，E ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BE x，故2x ，从而AE EC ==EAC 的面积为3，EAD △的面积与ECD △的面积均为5. 故三棱锥EACD 的侧面积为5.（Ⅰ）由四边形AC BD ，由BE平面ABCD 知ACBE ，由线面垂直判定定AC平面BED ，由面面垂直判定定理知AEC 平面BED ；AB x ，通过解直角三角形将，GC ，GB ，GD 用x 表示出来，AEC △中，根据条件三菱锥EACD 的体积为x ，即可求出三菱锥E ACD 的侧面积. 【考点】线面垂直的判定与性质，面面垂直的判定，三棱锥的体积与表面积的计算（Ⅰ）由散点图可判断，关于年宣传费用c y dw ∴=-（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当576.60.2z =⨯（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润的预报值0.2(100.6z =13.62x =时，z 取得最大值，故宣传费用为【提示】（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；关于w 的线性回归方程，即可的回归方程先求出年销售量数学试卷第22页（共30页）数学试卷第23页（共30页）数学试卷第24页（共30页）1ykx ，因为l 231|11k k，474733k，所以k 的取值范围是4747,33.（Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1ykx 代入方程22(2)(3)1x y ，22(1)4(1)70k xk x ，所以1224(1)1k x x k ，12271x x k . 21212121224(1)y (1)()181k k OM ONx x y k x x k x x k ，由题设可得24(1)8=121k k k ，解得所以l 的方程为1y kx ，故圆心在直线l 上，所以||2MN =.【提示】（Ⅰ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于的不等式，即可求出值范围；（Ⅱ）设()M x (,)N x y 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON =列出关于(0,)，2()=2(0)xaf x e x x. 0a 时，()0f x ，()f x 没有零点，当0a 时，因为2e x 单调递增，ax单调递增，()f x 在(0,)单调递增，又()0f a ，当b 满足04a b 且14b 时，(b)0f ，故当0a 时，()f x 存在唯一零点；（Ⅱ）由（Ⅰ），可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，当0(0,)x x 时，()0f x ，当0(,)x x 时，()0f x ，)单调递减，在0(,)x 单调递增，所以当0xx 时，()f x 取得最小值，最小值为(f 0=0a x ，所以0022()=2ln2ln2a f x ax a a a x aa ，故当0a 时，2()2ln f x a a a. 【提示】（Ⅰ）先求出导函数，分0a 与0a 考虑()f x 的单调性及性质，即可判断出零点个数；（Ⅱ）由（Ⅰ）可设()f x 在(0,)的唯一零点为0x ，根据()f x 的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a，即证明了所证不等式，90ACB∠+，90∴∠，90，DE∴1=，12BE=-，由射影定理可得，CE BE，2x，解得60.90，即90∠，所以，设AE=，由勾股定理得CE BE，列出关于的方程，解出x，即可求出ACB∠【考点】圆的切线判定与性质，圆周角定理，直角三角形射影定理cosxρθ=40+=；（Ⅱ）将2=，|MN1452=.（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得π代入9/ 10数学试卷第28页（共30页）数学试卷第29页（共30页）数学试卷第30页（共30页）。

2015-2016学年广东省湛江市第一中学高二上学期第二次月考文科数学试卷 word版

2015-2016学年广东省湛江市第一中学高二上学期第二次月考文科数学试卷一、选择题（共12题，每道题5分，共60分）1．设集合{}{}=⋂≤≤=<-+=N M ,3x 1x N ,0)2x )(3x (x M 则( )A ．[)2,1B ．[]2,1 C. (]3,2 D ．[]3,2 2．====∆AC ,23BC ,45B ,60A ABC 则中，若在 ( )A ．34B ．32 C.3 D.233. 数列，，，95,7453,321…的一个通项公式n a ＝( ) A.1n 2n + B.1n 2n - C.3n 2n - D.3n 2n+ 4.设R x ∈，则命题:1q x >-是命题:0p x >的（）.A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5．命题“存在0m x 2x ,Z x 2≤++∈使”的否定是( )A ．存在0m x 2x ,Z x 2>++∈使B ．不存在0m x 2x ,Z x 2>++∈使C ．对于任意0m x 2x ,Z x 2≤++∈都有D ．对于任意0m x 2x ,Z x 2>++∈都有6．已知等差数列{}n a 的公差为)0d (d ≠,且32a a a a 131063=+++,若8a m =, 则=m ( )A.8B.4C.6D.127．在23S ABC 2AB ,60A ABC ABC =∆==∆∆的面积，且中，，则边BC 的边长为( ) A. 3 B ．3 C.7 D ．78. 已知公比为2的等比数列{}n a 中，3a a a 642=++，则=++975a a a ( )A ．12B ．18C ．24D ．69. 已知命题p:01x x ,R x :q ;45x cos ,R x 2>+-∈∀=∈∃命题, 则下列结论正确的是( )(A)命题p ∧q 是真命题 (B)命题q p ⌝∧是真命题 (C)命题q p ∧⌝是真命题 (D)命题q p ⌝∨⌝是假命题 10．不等式02x 7x 32<+-的解集为( )A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2x 31xB ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧><2x 31x x 或C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<-31x 21x D ．{}2x x >11．已知数列{}n a 满足4,0a 311==++a a n n ，则{}n a 的前10项和等于( )A. ）（10-3-16-B.）（10-3-191C ．）（10-3-13 D ．）（10-313+12．设21F F ，分别为双曲线)0b ,0a (1by a x 2222>>=-的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得ab 49PF PF ,b 3PF PF 2121=⨯=+，则该双曲线的离心率为( ) A.43 B.53 C.94 D ．3二、填空题（共4题，每道题5分，共20分）13. 已知y ,x 都是正数，如果15xy =，则y x +的最小值是________；14. 在ABC ∆中，若222b a c +>，则ABC ∆必是______(填锐角，钝角，直角)三角形．15．设变量y ,x 满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥,2x ,2y 2x ,x y 则y 3x z -=的最小值为____________.16．给定下列命题：①“若0k x 2x ,0k 2=-+>则方程有实数根”的逆否命题； ②“若B sin A sin ,B A ==则”的逆命题； ③“若b ab ,0b1a 1<<<则2”的逆否命题； ④“若0xy =，则y ,x 中至少有一个为零”的否命题． ⑤“若0b a ,baa b <<>则”的逆命题。

广东省湛江第一中学2015届高三“临门一脚”数学(文)试卷 Word版含答案

2015年湛江第一中学高三数学（文科）仿真模拟本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分.考试用时120分钟. 注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上. 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上. 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整. 参考公式：锥体体积第Ⅰ卷选择题（共50分）一．选择题：本大题共小题，每小题5分，满分0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．，，则等于（） A． B． C． D． 2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是函数的是 A. B. C. D. 3.已知为虚数单位,复数的值是 A． B． C． D． }中，已知＝25，则等于（）A.5B.25C.－25D.－5或5 5.若幂函数的图象经过点，则它在点A处的切线方程是( )[学|科|网] B. C. D. 6.由直线，和围成的三角形区域(包括边界)用不等式组可表示 A. B. C. D. 7.设函数，则下列结论正确的是 ( ) ①的图象关于直线对称; ②的图象关于点对称; ③的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象; ④的最小正周期为，且在上为增函数．A. ①③B. ②④C. ①③④D. ③ 8. 函数的图象大致是 A B C D 9. 某几何体的三视图如图所示，且正视图、侧视图都是矩形，则该几何体的体积是( ) A．16 B．12 C．8 D．6 ．称为两个向量、间的“距离”若向量、满足:①②；③对任意的恒有则 A． B． C． D．（一）必做题（－13题）的解集为． 12.圆心在轴上，半径长是，且与直线相切的圆的方程是． 13. 书架上有语文、数学、英语书若干本，它们的数量比依次是2：4：5，现用分层抽样的方法从书架上抽取一个样本，若抽出的语文书为10本，则应抽出的英语书本．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14的倾斜角为． 15．（几何证明选讲选做题）是半圆的圆心，直径，是圆的一条切线，割线与半圆交于点，，则．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. ( 本小题满分12分) 在中，内角的对边分别为,且.已知,, 求（1）的值；（2）的值. 17．空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现出足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0~50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50~100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100~150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150~200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200~300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2015年1月某日某省x 个监测点数据统计如下：空气污染指数（单位：μg/m3）监测点个数15 40 y 10 （1）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（2）若A市共有5个监测点，其中有3个监测点为轻度污染，2个监测点为良．从中任意选取2个监测点，事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是多少？ 18.如右图，已知中，，，⊥平面，、分别是、的（1）求证：平面⊥平面；（2）设平面平面，求证；（3）求四棱锥B-CDFE的体积V． 19．（本小题满分14分）设为数列的前项和，对任意的，都有为常数．（1）求证：数列等比数列；数列满足，求数列的通项公式（3）在满足（2）的条件下，求数列的前项和 20. 已知抛物线，抛物线上一点Q到焦点的距离为1 （Ⅰ）求抛物线C的方程（Ⅱ）设过点M（0,2）的直线与抛物线C交于A,B两点，且A点的横坐标为（ⅰ）记△AOB的面积为，求的表达式（ⅱ）探究是否存在不同的点A，使对应不同的△AOB的面积相等？若存在，求点A点的坐标；若不存在，请说明理由 21. （本小题满分14分）已知函数（1）若，求的单调区间；（2）若由两个极值点，记过点的直线的斜率，问是否存在，使，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由2015年湛江第一中学高三数学（文科）仿真模拟答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B AC AD A B C 二、填空题：共小题， 12. 和 13. 25 14. 15. 三、解答题 17．解：（1） ……2分 ……5分（2）设A市空气质量状况属于轻度污染3个监测点为1，2，3，空气质量状况属于良的2个监测点为4,5,从中任取2个的基本事件分别为 (1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种， ……8分其中事件A“其中至少有一个为良”包含的基本事件为 (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共7种， ……10分所以事件A“其中至少有一个为良”发生的概率是. ……12分 AB⊥平面BCD，平面，-----------1分又，，平面，-----------------2分又E、F分别是AC、AD的中点，∴----------------3分 ∴EF⊥平面ABCM,又平面BEF，平面BEF⊥平面ABC ---------4分（2） CD // EF，平面，平面 ∴平面------6分又平面BCD，且平面平面 ∴--------8分（3）解法1：由（1）知EFCD ∴------9分, ∴-------11分 ------14分 [解法2：取BD中点G，连结FC和FG，则FG//AB，-----9分 ∵AB⊥平面BCD，∴FG ⊥平面BCD，-----------------10分由（1）知EF⊥平面ABC， ∴------12分 .----------------14分] 19．（1）当时，，解得．当时，即．又为常数，且，． ∴数列是首项为1，公比为的等比数列．（2）． ∵，，即． ∴是首项为，公差为1的等差数列 ∴，即．（3）解：由（2）知，则．， …10分即，① ……11分则，②……12分 ②－①得，………………………………13分故． 21. 解：（Ⅰ）的定义域为，当时，当或，时，，........................2分当时，.......... 的单调递增区间为，单调递减区间为..........4分（Ⅱ）令，则，当，即时，，在上单调递增，此时无极值； ..............5分当，即时，，在上单调递增，此时无极值.............6分当，即或时，方程有两个实数根若，两个根，此时，则当时，，在上单调递增，此时无极值.................7分若，的两个根，不妨设，则当和时，，在区间和单调递增，当时，，在区间上单调递减，则在处取得极大值，在处取得极小值，且即（*）......10分即,令，则上式等价于：令,则,令 ,在区间上单调递减，且，即在区间恒成立,在区间上单调递增，且对，函数没有零点，即方程在上没有实根....13分即（*）式无解，不存在实数，使得. ..............14分组距频率 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 200 150 100 50 0 空气污染指数（μg/m3）组距频率 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 第9题图空气污染指数（） 0 50 100 150 200。

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2015 湛江一模文科数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、函数()()2log 1f x x =-的定义域是（）
A ．{}R 1x x ∈>
B ．{}R 1x x ∈<
C ．{}R 1x x ∈≥
D ．{}R 1x x ∈≤
2、已知()212bi i +=（R b ∈，i 是虚数单位），则b =（）
A ．2
B ．1
C ．1±
D ．1或2
3、“2a >”是“函数x y a =是增函数”的（）
A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
4、已知向量(),2a x =，()1,1b =，若()
a b b +⊥，则x =（）
A ．2
B ．4
C ．4-
D ．2-
5、将一根长为3米的绳子拉直后在任意位置剪断，分为两段，那么这两段绳子的长都不小于1米的概率是（）
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
6、已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且公比1q ≠，若2a 、312a 、1a 成等差数列，则公比q =（）
A B C D 7、一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积
为（）
A ．24π
B ．15π
C ．15
D ．24
8、抛物线280y x -=的焦点F 到直线:l 10x y --=的距离是
（）
9、若()f x 是奇函数，且0x 是()x y f x e =+的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数
的零点（）
A ．()1x y f x e =--
B ．()1x y f x e -=+
C ．()1x y e f x =-
D ．()1x y e f x =+
10、由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量i a （1i =，
2，3，⋅⋅⋅，n ，⋅⋅⋅），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于n *∀∈N ，第n 行共有21n -个向量，若第n 行第k 个
向量为m a ，则()()(
)(),0,221m k n k n a n n k n k n <≤⎧⎪=⎨-<≤-⎪⎩，例如()11,1a =，()21,2a =，()32,2a =，()42,1a =，⋅⋅⋅，依次类推，则2015a =（）
A ．()44,11
B ．()44,10
C ．()45,11
D ．()45,10
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，共20分．）
（一）必做题（11~13题）
11、已知全集{}U 1,2,3,4,5=，集合{}2,4A =，则=A C U ．
12、运行如图的程序框图，输出的S = ．
13、已知实数x ，y 满足条件203200
x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数z ax by
=+（0a >，0b >）的最大值为6，则ab 的最大值是
．
（二）选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）
14、（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为
cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为．
15、（几何证明选讲选做题）如图，从圆O 外一点P 作圆
O 的割线PAB 、CD P ．AB 是圆O 的直径，若4PA =，
C 5P =，C
D 3=，则C D ∠B = ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16、（本小题满分12分）设函数()()sin 24cos sin 26f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭． ()1求()0f 的值；
()2求()f x 的值域．
17、（本小题满分12分）在某地区的招聘考试中，一批毕业生全部参加了笔试和面试．成绩各记为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，考生的考试成绩数据统计如图所示，其中笔试成绩为B 的考生有10人．
()1求这批考生中面试成绩为A 的人数；
()2已知这批考生中只有甲、乙两人笔试和面试成绩均为A ．在笔试和面试成绩至少一项为A 的考生中随机抽取两人进行访谈，求这两人恰为甲和乙的概率．
18、（本小题满分14分）如图，已知三棱锥C P -AB 中，PA ⊥平面C AB ，C ∆AB 是正三角形，C 22A =PA =，D 、E 分别为棱C A 和C B 的中点．
()1证明：D //E 平面PAB ；
()2证明：平面D PB ⊥平面C PA ；
()3求三棱锥D P -B E 的体积．
19、（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，n *∈N ），且12a =，23a =．
()1求数列{}n a 的通项公式；
()2设()1412n
n a n n b λ-=+-⋅⋅（λ为非零整数，n *∈N ），求λ的值，使得对任意n *∈N ，1n n b b +>恒成立．
20、（本小题满分14分）如图，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率
2e =F 是右焦点，A 是右顶点，B 是椭圆上一点，F x B ⊥轴，F 2
B =． ()1求椭圆
C 的方程；
()
2设直线:l x ty λ=+是椭圆C 的一条切线，点()1y M ，点)
2y N 是切线l 上两个点，证明：当t 、λ变化时，以MN 为直径的圆过x 轴上的定点，并求出定点坐标．
21、（本小题满分14分）已知函数()()2ln f x x a x x =+--（R a ∈）在0x =处取得极值．
()1求实数a 的值；
()2证明：()2ln 1x x x +≤+；
()3若关于x 的方程()5
2f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根，
求实数b 的取值范围．。