高中物理物理解题方法：微元法压轴题知识归纳总结

高中物理物理解题方法：微元法压轴题知识归纳总结
一、高中物理解题方法：微元法
1．解放前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用．如图，一个人推磨，其推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，作用点到轴心的距离为r ，磨盘绕轴缓慢转动，则在转动一周的过程中推力F 做的功为
A ．0
B ．2πrF
C ．2Fr
D ．-2πrF
【答案】B
【解析】
【分析】 cos W Fx α=适用于恒力做功，因为推磨的过程中力方向时刻在变化是变力，但由于圆周运动知识可知，力方向时刻与速度方向相同，根据微分原理可知，拉力所做的功等于力与路程的乘积；
【详解】
由题可知：推磨杆的力的大小始终为F ，方向与磨杆始终垂直，即其方向与瞬时速度方向相同，即为圆周切线方向，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，由题意知，磨转动一周，弧长2L r π=，所以拉力所做的功2W FL rF π==，故选项B 正确，选项ACD 错误．
【点睛】
本题关键抓住推磨的过程中力方向与速度方向时刻相同，即拉力方向与作用点的位移方向时刻相同，根据微分思想可以求得力所做的功等于力的大小与路程的乘积，这是解决本题的突破口．
2．为估算雨水对伞面产生的平均撞击力，小明在大雨天将一圆柱形水杯置于露台，测得10分钟内杯中水位上升了45mm ，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s 。

设雨滴撞击伞面后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为33110kg/m ⨯，伞面的面积约为0.8m 2，据此估算当时雨水对伞面的平均撞击力约为（ ）
A ．0.1N
B ．1.0N
C ．10N
D ．100N
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
对雨水由动量定理得
Ft mv Shv ρ=∆=
则
0.72N 1.0N Shv F t ρ=
=≈
所以B 正确，ACD 错误。

故选B 。

3．2019年8月11日超强台风“利奇马”登陆青岛，导致部分高层建筑顶部的广告牌损毁。

台风“利奇马”登陆时的最大风力为11级，最大风速为30m/s 。

某高层建筑顶部广告牌的尺寸为：高5m 、宽20m ，空气密度31.2kg/m ρ=，空气吹到广告牌上后速度瞬间减为0，则该广告牌受到的最大风力约为（ ）
A ．33.610N ⨯
B ．51.110N ⨯
C ．41.010N ⨯
D ．49.010N ⨯
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
广告牌的面积
S =5×20m 2=100m 2
设t 时间内吹到广告牌上的空气质量为m ，则有
m =ρSvt
根据动量定理有
-Ft =0-mv =0-ρSv 2t
得 251.110N F Sv ρ≈⨯=
故选B 。

4．炽热的金属丝可以发射电子。

发射出的电子经过电压U 在真空中加速，形成电子束。

若电子束的平均电流大小为I ，随后进入冷却池并停止运动。

已知电子质量为m ，电荷量为e ，冷却液质量为M ，比热为c ，下列说法正确的是（ ）
A ．单位时间内，冷却液升高的温度为
Ue cM B ．单位时间内，冷却液升高的温度为UI cM
C ．冷却液受到电子的平均撞击力为2Ue I m
D ．冷却液受到电子的平均撞击力为2I Uem
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
AB ．电子加速，则
212
Ue mv =
设单位时间内发射电子个数为N ，则 I Ne =
电子束动能转化成冷却液内能，则单位时间内
212
N mv cM T ⋅=∆ 解得
UI T cM
∆= 选项A 错误，选项B 正确；
CD ．在单位时间内，电子束动量减少，等于撞击力冲量，则
N m v F ⋅=
解得
2Um
F I e =
选项C 、D 错误。

故选B 。

5．我们一般认为，飞船在远离星球的宇宙深处航行时，其它星体对飞船的万有引力作用很微弱，可忽略不计．此时飞船将不受外力作用而做匀速直线运动．
设想有一质量为M 的宇宙飞船，正以速度0v 在宇宙中飞行．飞船可视为横截面积为S 的圆柱体（如图所示）．某时刻飞船监测到前面有一片尘埃云．
(1)已知在开始进入尘埃云的一段很短的时间t ∆内，飞船的速度减小了v ∆，求这段时间内飞船受到的阻力大小．
(2)已知尘埃云公布均匀，密度为ρ．
a ．假设尘埃碰到飞船时，立即吸附在飞船表面．若不采取任何措施，飞船将不断减速．通
过监测得到飞船速度的倒数“1/v ”与飞行距离“x ”的关系如图所示．求飞船的速度由0v 减小1%的过程中发生的位移及所用的时间．
b ．假设尘埃与飞船发生的是弹性碰撞，且不考虑尘埃间的相互作用．为了保证飞船能以速度0v 匀速穿过尘埃云，在刚进入尘埃云时，飞船立即开启内置的离子加速器．已知该离子加速器是利用电场加速带电粒子，形成向外发射的高速（远远大于飞船速度）粒子流，从而对飞行器产生推力的．若发射的是一价阳离子，每个阳离子的质量为m ，加速电压为U ，元电荷为e ．在加速过程中飞行器质量的变化可忽略．求单位时间内射出的阳离子数．
【答案】（1）v M
t ∆∆（2）a ．019919602M v S ρ b 202Sv eum ρ 【解析】
(1)飞船的加速度∆=∆v a t
，根据牛顿第二定律有：=f Ma 则飞船受到的阻力v f M t
∆=∆ (2)a ．对飞船和尘埃，设飞船的方向为正方向，根据动量守恒定律有：
0099()
100Mv M Sx v ρ=+，解得99M x S ρ= 由1x v -图象可得：0011100299t x v v ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
解得：019919602M t v S ρ=
； b ．设在很短时间t ∆内，与飞船碰撞的尘埃的质量为m '，所受飞船的作用力为f '，飞船与尘埃发生弹性碰撞，
由动量守恒定律可知：012Mv Mv m v =+' 由机械能守恒定律可知：
222012111222Mv Mv m v '=+ 解得202M v v M m '
=+ 由于M m >'，所以碰撞后尘埃的速度202v v =
对尘埃，根据动量定理可得：2f t m v ∆=''，其中0m Sv t ρ'=∆
则飞船所受到的阻力202f Sv ρ'=
设一个离子在电场中加速后获得的速度为v
根据动能定理可能得：e 212
mv = 设单位时间内射出的离子数为n ，在很短的时间t ∆内，
根据动量定理可得：F t n tmv ∆=∆
则飞船所受动车=F nmv ，飞船做匀速运动，F f '=，
解得：20n Sv =
6．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知，一定的质量m 与一定的能量E 相对应：2E mc =，其中c 为真空中光速．
（1）已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量E h ν=，其中h 为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量h
p λ=．
（2）光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示．
一台发光功率为P 0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S ．当该激光束垂照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式．
【答案】（1）见解析（2）
0P cS 【解析】
试题分析：（1）根据能量与质量的关系，结合光子能量与频率的关系以及动量的表达式推导单色光光子的动量h
p λ=；（2）根据一小段时间t ∆内激光器发射的光子数，结合动量
定理求出其在物体表面引起的光压的表达式．
（1）光子的能量2E mc =，c
E h h νλ==
光子的动量 p mc =，可得E h p c λ
== （2）一小段时间t ∆内激光器发射的光子数0P t
n c h λ
∆= 光照射物体表面，由动量定理
F t np ∆=
产生的光压F I S =解得：0P I cS
=
7．如图所示，一质量为 2.0kg m =的物体从半径为0.5m R =的圆弧轨道的A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B 端（圆弧AB 在竖直平面内）。

拉力F 的大小始终为15N ，方向始终与物体所在处的切线成37︒角。

圆弧轨道所对应的圆心角为45︒，BO 边沿竖直方向。

求这一过程中：（g 取210m /s ，sin 370.6︒=，cos370.8︒=）
(1)拉力F 做的功；
(2)重力G 做的功； (3)圆弧面对物体的支持力N 做的功。

【答案】(1)47.1J(2)－29.3J(3)0
【解析】
【详解】
(1)将圆弧AB 分成很多小段1l ，2l ，…，n l ，物体在这些小段上近似做直线运动，则拉力在每小段上做的功为12,W W ，…，n W ，因拉力F 大小不变，方向始终与物体所在点的切线成37︒角，所以
11cos37W Fl ︒=
22cos37W Fl ︒=
…
cos37n n W Fl ︒=
()1212πcos37cos3747.1J 4
F n n R W W W W F l l l F ︒︒=++
+=+++=⋅≈ (2)重力G 做的功 ()1cos 4529.3J G W mgR ︒=--≈-
(3)物体受到的支持力N 始终与物体的运动方向垂直，所以
0N W =
8．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者
表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知，一定的质量m 与一定的能量E 相对应：2E mc =，其中c 为真空中光速．
(1)已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量E h ν=，其中h 为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量h P λ=．
(2)光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I 表示．一台发光功率为P 0的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S ，当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式．
(3)设想利用太阳光的“光压”为探测器提供动力，将太阳系中的探测器送到太阳系以外，这就需要为探测器制作一个很大的光帆，以使太阳光对光帆的压力超过太阳对探测器的引力，不考虑行星对探测器的引力．一个质量为m 的探测器，正在朝远离太阳的方向运动．已知引力常量为G ，太阳的质量为M ，太阳辐射的总功率为P 0，设帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光全部吸收．试估算该探测器光帆的面积应满足的条件．
【答案】（1）见解析 （2）0P I cS =
（3） 【解析】
试题分析：（1）光子的能量2E mc =c E h h
νλ==（2分） 光子的动量p mc =（2分）
可得E h p c λ
==（2分） （2）一小段时间Δt 内激光器发射的光子数
0P t
n c h λ∆=（1分） 光照射物体表面，由动量定理
F t np ∆=（2分）
产生的光压F I S =
（1分） 解得0P I cS
=（2分） （3）由（2）同理可知，当光一半被反射一半被吸收时，产生的光压
32P I cS
=（2分） 距太阳为r 处光帆受到的光压 2324P I c r π=
⋅（2分） 太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力
2'Mm IS G
r >（2分） 解得（2分）
考点：光子 压强 万有引力
9．如图所示，有一条长为L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，斜面倾角为θ。

当链条由静止开始释放后，链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度。

1(3sin )2
gL θ-【解析】
【分析】
【详解】
设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面，链条的总质量为m 。

开始时斜面上的那部分链条的重力势能为
p1sin 24
mg L E θ=-
⋅ 竖直下垂的那部分链条的重力势能为 p224mg L E =-
⋅ 则开始时链条的机械能为 1p1p2sin (1sin )24248mg L mg L mgL E E E θθ⎛⎫=+=-⋅+-⋅=-+ ⎪⎝⎭
当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为 p 2L E mg =-⋅
动能为
2k 12
E mv =
则机械能为 22k p 1122E E E mv mgL =+=
-
因为链条滑动过程中只有重力做功，所以其机械能守恒，则由机械能守恒定律得21E E = 即
211(1sin )228
mgL mv mgL θ-=-+ 解得
1(3sin )2
v gL θ=-
10．如图所示，一个粗细均匀、内部横截面积均为S 的U 形管内，装有密度为ρ、总长度为4h 的液体，开始时左右两端液面的高度差为h 。

现打开阀门C ，待液体运动到左右液面高度相等时，液体重力势能改变量为________，此时左侧液面下降的速度为________。

（重力加速度为g ）
【答案】
24gsh ρ8
gh 【解析】
【分析】
【详解】 [1][2]当两液面高度相等时，右侧高为h 液柱重心下降了4
h ，液柱的重力势能减少为： 2444
P h h Sh g E mg Shg ρρ∆=∆=⨯= 根据机械能守恒定律得：
21442
h Shg hSv ρρ⨯=
解得： 8gh v =。