2025届福建省龙海市第二中学高三第一次模拟考试数学试卷含解析

2025届福建省龙海市第二中学高三第一次模拟考试数学试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合U =R （R 为实数集），{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，则U A C B =（ ）
A ．{}1|0x x <<
B ．{}|01x x <≤
C ．{}|1x x ≥
D ．{}|0x x >
2．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知23
C π
=，1c =．当,a b 变化时，若z b a λ=+存在最大值，则正数λ的取值范围为 A ．(0,1)
B ．(0,2)
C ．1(,2)2
D ．(1,3)
3．已知函数()222,0
2,0
x x x f x x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若关于x 的不等式()()20f x af x +<⎡⎤⎣
⎦恰有1个整数解，则实数a 的最大值为（ ） A ．2
B ．3
C ．5
D ．8
4．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．17
7
-
B ．717
- C ．177
D ．
7
17
5．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）
A ．6
2海里
B ．3
C ．2海里
D ．3
6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足
2MA MO
= ，则·OM ON 的取值范围是
（ ） A ．[]0,2
B ．0,22⎡⎤⎣⎦
C ．[]22-,
D ．22,22-⎡⎤⎣⎦
7．已知全集为R ，集合1
2
2(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则()
A B =R （ ）
A ．(0,2)
B ．(1,2]
C ．[0,1]
D ．(0,1]
8．已知集合{}1,2,3,
,M n =（*n N ∈），若集合{}12,A a a M =⊆，且对任意的b M ∈，存在{},1,0,1λμ∈-使
得i j b a a λμ=+，其中,i j a a A ∈，12i j ≤≤≤，则称集合A 为集合M 的基底.下列集合中能作为集合
{}1,2,3,4,5,6M =的基底的是（ ）
A ．{}1,5
B ．{}3,5
C ．{}2,3
D ．{}2,4
9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是
A ．函数()f x 的最小正周期是2π
B ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫
π ⎪⎝⎭
成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36
ππ
-
-单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512
π
后关于原点成中心对称
10．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ）
A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥α
B ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥α
C ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥
D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥
11．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )
A ．1
B ．2 C
D
12．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞
D ．[1,)+∞
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C
的对边，a =
sin A =
，b ，则ABC 的面积为__________. 14．实数x ，y 满足121y y x x y m
≥⎧⎪≤-⎨⎪+≤⎩
，如果目标函数z x y =-的最小值为2-，则y
x 的最小值为_______．
15．在边长为2的正三角形ABC 中，,,0,0,21BD xBA CE yCA x y x y ==>>+=，则CD BE ⋅的取值范围为______. 16．已知关于x 的不等式（ax ﹣a 2﹣4）（x ﹣4）＞0的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为_____．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）若关于x 的方程2
(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数m 的取值范围．
18．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为1,22,x t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数），在以坐标原点O 为极
点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C
的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求线段AB 的长.
19．（12分）在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”. （1）当1
2
p q ==
时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13
p =
，2
3q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，
，的概率.
20．（12分）已知函数()ln 2ln 35f x x x x x =-+-，22()ln x a a
g x x x x
-=+
+. （1）求证：()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个零点0x ，且037,24x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭
； （2）若当1x ≥时，不等式()0g x ≥恒成立，求证：494
a <
. 21．（12分）P 是圆22
4x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足1
2
DM DP =
．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程． 22．（10分）已知二阶矩阵，矩阵属于特征值
的一个特征向量为
，属于特征值
的一个
特征向量为
.求矩阵.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂. 【详解】
集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}
1U C B x x =<
所以{}{}{}
0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<< 故选:A 【点睛】
本题考查了集合交集与补集的混合运算,属于基础题. 2、C 【解析】 因为23C π=
，1c =，所以根据正弦定理可得2sin sin sin 3a b c A B C ===，所以2sin 3a A =，2sin 3b B =，所以222
2sin sin [sin sin()][(1)sin 323333
z b a B A B B B λλ
λλπ=+=
+
=
+-=-+
22
323cos ](1)()sin()2223
B B λλλφ=-++，其中3tan 2λφλ=
-，03B π<<， 因为z b a λ=+存在最大值，所以由2,2B k k φπ+=+π∈Z ，可得22,62
k k k φππ
π+<<π+∈Z ， 所以3tan 3φ>，所以33
23λλ>-，解得122λ<<，所以正数λ的取值范围为1(,2)2
，故选C ． 3、D 【解析】
画出函数()f x 的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出. 【详解】
解：函数()f x ，如图所示
()()()()()2
00f x af x f x f x a +<⇒+<⎡⎤⎣⎦
当0a >时，()0a f x -<<，
由于关于x 的不等式()()2
0f x af x +<⎡⎤⎣⎦恰有1个整数解
因此其整数解为3，又()3963f =-+=- ∴30a -<-<，()48a f -≥=-，则38a <≤ 当0a =时，()2
0f x <⎡⎤⎣⎦，则0a =不满足题意； 当0a <时，()0f x a <<-
当01a <-≤时，()0f x a <<-，没有整数解 当1a ->时，()0f x a <<-，至少有两个整数解 综上，实数a 的最大值为8 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题. 4、B 【解析】
由θ是第二象限角且sin θ =
1213知：2
5cos 1sin 13θθ=--=-，5
t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457
tan()4
1tan tan 4517
π
θθθ+︒+=
=--︒．
5、A 【解析】
先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解. 【详解】
由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°， ∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°
.又AB ＝24×0.5＝12.
在△ABC 中，由正弦定理得
4530AB BC
sin sin =︒︒
，
122
BC
=
，∴BC =故选：A . 【点睛】
本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题. 6、D 【解析】
设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22
(2)8x y +-=，
写出点M 的参数方程，则·22os OM ON θ=，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON 结果. 【详解】 设(,)M x y ，则
∵
MA MO
=()0,2A -
∴2222(2)2()x y x y ++=+
∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程
∴点M
的参数方程为2x y θθ
⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）
则由向量的坐标表达式有：
·22os OM ON θ=
又∵cos [1,1]θ∈-
∴2·2[OM ON θ=∈- 故选：D 【点睛】
考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法
7、D 【解析】
对于集合A ,求得函数()1
2
1y x -=-的定义域,再求得补集；对于集合B ,解得一元二次不等式,
再由交集的定义求解即可. 【详解】
{}1
2(1)|1,{|1}
R A x y x x y x x A x x -⎧⎫⎧
⎫
⎪⎪==-==
=>∴=≤⎨⎬⎨⎪⎪⎩
⎩⎭, 2{|20}{|(2)0}{|02}B x x x x x x x x =-<=-<=<<,()
(0,1]A B ∴=R .
故选:D 【点睛】
本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式. 8、C 【解析】
根据题目中的基底定义求解. 【详解】
因为11213=-⨯+⨯，
21203=⨯+⨯， 30213=⨯+⨯，
41212=⨯+⨯，
51213=⨯+⨯， 61313=⨯+⨯，
所以{}2,3能作为集合{}1,2,3,4,5,6M =的基底， 故选：C 【点睛】
本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9、B 【解析】
根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案．
【详解】
根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为
3π，所以1()2362
T πππ
=--=，解得T π=， 所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=， 又06f π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
， 令2,3
x k k Z π
π+
=∈，解得,26k x k Z ππ=
-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x 的一个对称中心为4,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
，即函数()f x 的图象关于点4
,03
π⎛⎫ ⎪⎝⎭
成中心对称．故选B ． 【点睛】
本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 10、C 【解析】
根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可. 【详解】
A ：当a α⊂时，也可以满足a ∥b ，b ∥α，故本命题不正确；
B ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥，b α⊥，故本命题不正确；
C ：根据平行线的性质可知：当a ∥b ，b α⊥，时，能得到a α⊥，故本命题是正确的；
D ：当a α⊂时，也可以满足a b ⊥，b ∥α，故本命题不正确. 故选：C 【点睛】
本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力. 11、D 【解析】
设等比数列的公比为q ，q 0>，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q ． 【详解】
由题意，正项等比数列{}n a 中，153759a a 2a a a a 16++=，
可得222
337737a 2a a a (a a )16++=+=，即37a a 4+=，
5a 与9a 的等差中项为4，即59a a 8+=，
设公比为q ，则()2
237q a a 4q 8+==，
则q =
负的舍去)，
故选D ． 【点睛】
本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题． 12、B 【解析】
方法一：令()tan g x ax x =-，则(())f x x g x =⋅，21
()cos g'x a x
=-， 当1a ≤，(,)22
x ππ
∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减， ∴(,0)2
x π
∈-
时，()(0)0g x g >=，()()0f x x g x =⋅<，且()()()>0f x xg'x g x '=+，
∴()0f 'x >，即()f x 在(,0)2
π
-
上单调递增，
(0,)2
x π
∈时，()(0)0g x g <=，()()0f x x g x =⋅<，且()()+()<0f 'x =xg'x g x ，
∴()0f 'x <，即()f x 在(0,
)2
π
上单调递减，∴0x =是函数()f x 的极大值点，∴1a ≤满足题意；
当1a >时，存在(0,)
2
t π
∈使得cos t =，即'()0g t =，
又21
()cos g'x a x =-
在
(0,)2
π上单调递减，∴,()0x t ∈时，()(0)0g x g >=，所以()()0f x x g x =⋅>， 这与0x =是函数()f x 的极大值点矛盾． 综上，1a ≤．故选B ．
方法二：依据极值的定义，要使0x =是函数()f x 的极大值点，须在0x =的左侧附近，()0f x <，即tan 0ax x ->；在0x =的右侧附近，()0f x <，即tan 0ax x -<．易知，1a =时，y ax =与tan y x =相切于原点，所以根据y ax =与tan y x =的图象关系，可得1a ≤，故选B ．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 【解析】
根据题意，利用余弦定理求得2c =，再运用三角形的面积公式即可求得结果. 【详解】 解：由于2a =
，3
sin 3
A =
，6b =， ∵a b <，∴A B <，6cos 3
A =
， 由余弦定理得222
632b c a bc
+-=
，解得2c =， ∴ABC 的面积13
26223
S =⨯⨯⨯=. 故答案为：2. 【点睛】
本题考查余弦定理的应用和三角形的面积公式，考查计算能力. 14、
1
7
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z x y =-的最小值为2-，确定出m 的值，进而确定出C 点坐标，结合目标函数y
x
几何意义，从而求得结果. 【详解】
先做121y y x ≥⎧⎨≤-⎩
的区域如图可知在三角形ABC 区域内，
由z x y =-得y x z =-可知，直线的截距最大时，z 取得最小值， 此时直线为()22y x x =--=+，
作出直线2y x =+，交21y x =-于A 点，
由图象可知，目标函数在该点取得最小值，所以直线x y m +=也过A 点，
由212y x y x =-⎧⎨=+⎩，得35
x y =⎧⎨=⎩，代入x y m +=，得358m =+=， 所以点C 的坐标为()7,1．
y
x
等价于点(,)x y 与原点连线的斜率， 所以当点为点C 时，y x 取得最小值，最小值为1
7
，
故答案为：1
7
.
【点睛】
该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，注意正确画出约束条件对应的可行域，根据最值求出参数，结合分式型目标函数的意义求得最优解，属于中档题目. 15、3(2,]2
-- 【解析】
建立直角坐标系，依题意可求得2224CD BE xy x y ⋅=++-，而0x >，0y >，1x y +=，故可得1y x =-，且
(0,1)x ∈，由此构造函数2()222f x x x =-+-，01x <<，利用二次函数的性质即可求得取值范围．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，
则(1,0)A -，(1,0)B ，C ，设1(D x ，0)，2(E x ，2)y ， 根据BD xBA =，即1(1x -，0)(2x =-，0)，则112x x =-，
CE yCA =，即2(x ，2(1y y =-，，则2x y =-，2y =，
所以122((1,,)CD BE x x y ⋅=⋅-，
122(1)(12)(1)3(1)2224x x x y y xy x y =-=-----+=++-，
0x ，0y >，1x y +=，
1y x ∴=-，且(0,1)x ∈，
故22(1)22(1)4222CD BE x x x x x x ⋅=-++--=-+-，
设2
()222f x x x =-+-，01x <<，易知二次函数()f x 的对称轴为12
x =
， 故函数()f x 在[0，1]上的最大值为13
()22
f =-
，最小值为(0)(1)2f f ==-，
故CD BE ⋅的取值范围为3(2,]2
--． 故答案为：3(2,]2
--．
【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题． 16、-1 【解析】
讨论0,0,0a a a <=>三种情况，a ＜0时,根据均值不等式得到a 4a +=-（﹣a 4
a
-）≤﹣()4a a ⎛⎫
--
=- ⎪⎝⎭
4，计算等号成立的条件得到答案. 【详解】
已知关于x 的不等式（ax ﹣a 1﹣4）（x ﹣4）＞0， ①a ＜0时，[x ﹣（a 4a +）]（x ﹣4）＜0，其中a 4
a
+＜0， 故解集为（a 4
a
+，4）， 由于a 4a +
=-（﹣a 4
a
-）≤﹣()4a a ⎛⎫
--
=- ⎪⎝⎭
4， 当且仅当﹣a 4
a
=-
，即a ＝﹣1时取等号， ∴a 4a +的最大值为﹣4，当且仅当a 4
a
+=-4时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为﹣1；
②a ＝0时，﹣4（x ﹣4）＞0，解集为（﹣∞，4），整数解有无穷多，故a ＝0不符合条件；
③a ＞0时，[x ﹣（a 4a +
）]（x ﹣4）＞0，其中a 4
a
+≥4， ∴故解集为（﹣∞，4）∪（a 4
a
+，+∞），整数解有无穷多，故a ＞0不符合条件；
综上所述，a ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】
本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(5,4]-- 【解析】
先令2
()(2)5f x x m x m =+-+-，根据题中条件得到(2)02220
f m >⎧⎪-⎪-≥⎨⎪∆≥⎪⎩，求解，即可得出结果. 【详解】
因为关于x 的方程2
(2)50x m x m +-+-=的两根都大于2，
令2
()(2)5f x x m x m =+-+-
所以有2(2)42450
222(2)2040f m m m m m =+-+->⎧⎪-⎪
-≥⎨⎪∆=--+≥⎪⎩
， 解得5244m m m m >-⎧⎪
≤-⎨⎪≥≤-⎩
或，所以54m -<≤-.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的分布问题，熟记二次函数的特征即可，属于常考题型. 18、（1）l
20y -+=，C ：()()2
2
228x y -+-=；（2
）【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换；
（2）由（1）可得曲线C 是圆，求出圆心坐标及半径，再求得圆心到直线的距离，即可求得AB 的长. 【详解】
（1）由题意可得直线l
20y -+=
，由4πρθ⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
，得24cos 4sin ρρθρθ=+，即2244x y x y +=+，所以曲线C ：()()22
228x y -+-=.
（2）由（1）知，圆()2,2C ，半径r =
∴圆心到直线l
的距离为：d =
=.
∴AB ===【点睛】
本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法、运算求解能力，是中档题． 19、（1）见解析，0（2）80
2187
【解析】
（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；
（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解. 【详解】
解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为1
2
p q ==
, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,3
11(3)28
P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 2
23
113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,2
23113
(1)228
P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭,
所以ξ的分布列为：
所以()(3)(1)308888
E ξ=-⨯
+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题, 又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,
若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；
若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，
此时的概率为(
)
5
3
3365
8712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
（或
802187）. 【点睛】
本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想. 20、（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
（1）利用求导数，判断()f x 在区间(1,)+∞上的单调性，然后再证3
7(),()24
f f 异号，即可证明结论；
（2）当1x ≥时，不等式()0g x ≥恒成立，分离参数只需1x >时，2(ln 2)
1
x x a x +≤-恒成立，
设2(ln 2)
()1
x x h x x +=-（1x >），需min 49()4a h x ≤<，根据（1）中的结论先求出min ()h x ，再构造函数结合导数法，
证明min 49
()4
h x <即可. 【详解】
（1）22
()1ln 3ln 4f x x x x x
'=+-
+=-+， 令()()f x m x '=，则2
12
()0m x x x '=
+>， 所以()()m x f x '=在区间(1,)+∞上是增函数，
则()(1)2f x f ''>=，所以()f x 在区间(1,)+∞上是增函数.
又因为3131ln 02222f ⎛⎫
=--< ⎪
⎝⎭， 717117ln 1ln 0444444f ⎛⎫
⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭，
所以()f x 在区间(1,)+∞上有且仅有一个零点0x ，且037,24x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
. （2）由题意，22()ln 0x a a
g x x x x
-=+
+≥在区间[)1,+∞上恒成立， 即2
(1)(ln 2)x a x x -≤+在区间[
)1,+∞上恒成立， 当1x =时，a ∈R ；
当1x >时，2(ln 2)
1x x a x +≤-恒成立，
设2(ln 2)
()1
x x h x x +=-（1x >），
所以22
[(2)ln 35]()
()(1)(1)x x x x x f x h x x x -+-⋅'=
=--.
由（1）可知，37,24m ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，使()0f m =，
所以，当(1,)x m ∈时，()0h x '<，当(,)x m ∈+∞时，()0h x '>， 由此()h x 在区间(1,)m 上单调递减，在区间(,)m +∞上单调递增，
所以2min
(ln 2)
()()1
m m h x h m m +==
-. 又因为()(2)ln 350f m m m m =-+-=，
所以53ln 2m m m -=-，从而2
min ()()2m h x h m m
==-，
所以22m a m ≤-.令2
()2m h m m
=-，37,24m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
则22
4()0(2)m m
h m m -+'=
>-， 所以()h m 在区间37,24⎛⎫
⎪⎝⎭
上是增函数， 所以749
()44h m h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭
，故49()4a h m ≤<. 【点睛】
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、函数的零点、极值最值、不等式的证明，分离参数是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
21、（1）点M 的轨迹C 的方程为2
214
x y +=，轨迹C 是以(，为焦点，长轴长为4的椭圆（2）
22846003x y x x ⎛
⎫+-=<< ⎪⎝
⎭
【解析】
（1）设(),M x y ，根据1
2
DM DP =可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是
以(
)
，
)
为焦点，长轴长为4的椭圆；
（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用>0∆求得2
1
5
k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE ，消去k 后得到轨迹方程；根据2
15
k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果.
【详解】
（1）设(),M x y ，则(),0D x 由1
2
DM DP =
知：(),2P x y 点P 在圆2
2
4x y +=上 2
2
44x y ∴+=
∴点M 的轨迹C 的方程为：2214
x y += 轨迹C
是以(
)
，
)
为焦点，长轴长为4的椭圆
（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在
设():3l y k x =-，代入2214
x y +=得：()2222
14243640k x k x k +-+-=
则()
()()2
2
22244143640k k k ∆=--+->，解得：21
5
k <
设()11,A x y ，()22,B x y ，则2
122
2414k x x k +=
+ ∴()()()312121222
24633661414k k
y y k x k x k x x k k k k
-+=-+-=+-=-=++ 四边形OAEB 为平行四边形
∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫
-=+=++= ⎪++⎝⎭
又(),OE x y = ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，消去k 得：22
460x y x +-=
2
15k < ()2
22226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭
∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛
⎫+-=<< ⎪⎝
⎭
【点睛】
本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围. 22、
【解析】
运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】
由特征值、特征向量定义可知，，
即，得 同理可得解得
，
，
，
.因此矩阵
【点睛】
本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单。