公开课抛物线的简单几何性质

所以抛物线的范围为 x 0
y
2、 对称性
l
(x, y) 关于x轴 (x, y)
对称
OF
x
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
3、 顶点
y
l
定义：抛物线与它 的轴的交点叫做抛物线
标轴，并且经过点M（２，2 2），求它的标准方程.
解题步骤： 1、先定位； 2、设方程； 3、求方程；
例2、斜率为1的直线l 经过抛物线 y2 4x 的
焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，y 求线 段AB的长。
A A`
OF
解这题,你有什么方法呢?
B` B
x
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大); 法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
即直线与抛物线只有一个公共点。
20由 0，即2k 2 k 1 0
解得1 k 1 . 2
即当1 k 1 ,且k 0时，方程组有两个解， 2
即直线与抛物线有两个公共点。
30由 0，即2k 2 k 1 0
解得k 1，或k 1 . 2
即当k 1或k 1 时，方程组没有实数解， 2
的顶点。
y2 = 2px (p>0)中，
令y=0,则x=0.
OF
x
即：抛物线y2 = 2px (p>0)的顶点（0，0）.
4、 离心率
抛物线上的点与焦 点的距离和它到准线的 距离之比，叫做抛物线
的离心率。
y l
OF
x
由定义知， 抛物线y2 = 2px
(p>0)的离心率为e=1.
图y 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
k
(x 4x
2)
P·
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0
O
X
(1)当k 0时，由方程得 y 1.
把y 1代入y2 4x,得x 1 . 4
这时，直线l与抛物线只有一个公共点(1 ,1) 4
例3 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点P(-2,1)， 斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只有一个公 共点；有两个公共点；没有公共点？
即直线与抛物线没有公共点。
四、归纳总结
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、 离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题; 3.注重数形结合、分类讨论思想的应用
2.3.2 抛物线的简单几何性质
目标 理解并掌握抛物线的简单几何性质
重点
抛物线的几何性质与椭圆、双曲线 的比较

难点 能利用抛物线的性质解决有关问题
二、探索新知
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1、 范围
y l
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0
p0
OF
x
x 0
连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物
线的焦半径。
y
P
焦半径公式：
|PF|=x0+p/2
OF
x
7、 焦点弦
通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。
y
A ( x1, y1 )
F
O
x
B ( x2, y2 )
焦点弦公式： p x1 x2
归纳:
(1)、抛物线可以无限延伸； (2)、抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; (3)、抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条 准线；
点，并且经过点M（２，2 2 ），
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
变式：已知抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是坐
l OF
x
y2 = 2px （p>0）
F
(
p 2
,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0,0)
1
F O
x2 = 2py
p
x （p>0） F (0, 2 )
y p 2
y≥0 x∈R
l
y
OF
l x2 = -2pyF (0, p )
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
能力提升： 已知抛物线的方程为y²=4x,直线l过定点 P(-2,1)，斜率为k,k为何值时，直线l与抛物线y²=4x:只 有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
解：由题意，设直线 l的方程为y 1 k(x 2Y).
由方程组
y
1 y2
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
拓展 5、 通径
过焦点而垂直于对称轴的弦 AB，称为抛物线的通径，
|AB|=2p
利用抛物线的顶点、通 径的两个端点可较准确 画出反映抛物线基本特 征的草图.
2p越大，抛物线张口越大.
y
y2=2px
A p , p
2
2p
OF
x
B
p , p 2
6、 焦半径
(4)、抛物线的离心率e是确定的为１, ⑸、抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张 口越大. (6)、抛物线的焦半径为 |PF|=x0+p/2
(7)、抛物线的焦点弦为 p x1 x2
三、典例精析
例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标
原点，并且经过点M（２，2 2），求它的标准方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
解：由题意，设直线 l的方程为y 1 k(x 2).
由方程组
y
1 y2
k
(x 4x
2)
可得ky2 4 y 4(2k 1) 0
(2)当k 0时，方程的判别式为 ＝16(2k 2 k 1).
10由＝0，即2k 2 k 1 0
解得k 1,或k 1 . 2
即当k 1，或k 1 时，方程组只有一个解， 2