春高中数学北师大版必修5同步练习：第2章 解三角形 §1 第2课时含解析

第二章 §1 第2课时
一、选择题
1．(2016·烟台高二检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋
2ac ，则角B 的大小是( )
A ．45°
B ．60°
C ．90°
D ．135°
[答案] A
[解析] ∵a 2＝b 2－c 2＋2ac ，
∴a 2＋c 2－b 2＝
2ac ，
由余弦定理得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac ac ＝22，
又0°<B<180°，所以B ＝45°.
2．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 2
2ab >0，则△ABC( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．是锐角或直角三角形 [答案] C
[解析] 由题意知a 2＋b 2－c 2
2ab <0，即cosC<0，
∴△ABC 为钝角三角形．
3．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cosB ＝( )
A.14
B.34
C.24
D.23
[答案] B
[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 2
2ac ＝
a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝3
4
.
4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)．若p ∥q ，则∠C 的大小为( )
A.π
6 B.π
3 C.π2 D.23
π [答案] B
[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b)，q ＝(b －a ，c －a)且p ∥q ， ∴(a ＋c)(c －a)－b(b －a)＝0，
即a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝1
2.
∴C ＝π
3
.
5．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( )
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰三角形D．等边三角形
[答案] D
[解析] 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB和B＝60°，得ac＝a2＋c2－ac，(a－c)2＝0.所以a＝c.又B＝60°，所以三角形是等边三角形．
6．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则A的取值范围是( )
A．(0，π
6
] B．[
π
6
，π)
C．(0，π
3] D．[
π
3
，π)
[答案] C
[解析] 本题主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，∴由正
弦定理得：a2≤b2＋c2－bc，即b2＋c2－a2≥bc，由余弦定理得：cosA＝b2＋c2－a2
2bc
≥
bc
2bc
＝
1
2
，∴0<A≤
π
3
，故选C.
二、填空题
7．(2015·福建高考)若锐角△ABC的面积为103，且AB＝5，AC＝8，则
BC等于________．[答案] 7
[解析] 由已知得△ABC的面积为1
2
AB·AC·sin A＝20sin A＝103，所以sin A
＝
3
2
，因为A∈
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
0，
π
2，所以A＝
π
3
.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos。