射影定理

射影定理
所谓射影，就是正投影。

直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

公式: 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如
下：（1）(BD)²=AD·DC，（2）(AB)²=AD·AC ，（3）(BC)²
=CD·CA。

直角三角形射影定理的证明
一、（主要是从三角形的相似比推算来的）
在△BAD与△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，
∴∠ABD=∠C，
又∵∠BDA=∠BDC=90°
∴△BAD∽△CBD
∴ AD/BD=BD/CD
即BD²=AD·DC。

其余同理可得可证
有射影定理如下：
AB²=AD·AC，BC²=CD·CA
两式相加得：
AB²+BC²=（AD·AC）+（CD·AC） =（AD+CD)·AC=AC² 。

二、用勾股证射影
∵AD²=AB²-BD²=AC²-CD²,
∴2AD²=AB²+AC²-BD²-CD²=BC²-BD²-CD²=(BC+BD)(BC-BD)-CD²=(BC+BD)CD-CD²=( BC+BD-CD)CD=2BD×CD.
故AD²=BD×CD.
运用此结论可得:AB²=BD²+AD²=BD²+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC,
AC² =CD²+AD²=CD²+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.
综上所述得到射影定理。

同样也可以利用三角形面积知识进行证明。

三、用三角函数证明
由等积法可知：AB×BC=BD×AC
在Rt△ABD和Rt△ABC中，tan∠BAD=BD/AD=BC/AB 故AB×BC=BD×AC两边各除以tan∠BAD
得：AB^2=AD×AC 同理可得BC²=CD·CA
在Rt△ABD和Rt△BCD中
tan∠BAD=BD/AD cot∠BCD=CD/BD
又∵tan∠BAD=cot∠BCD
故BD/AD=CD/BD
得BD^2=AD×CD。