立体几何初步空间几何与点线面三轮复习考前保温专题练习(一)含答案人教版新高考分类汇编

高中数学专题复习
《立体几何初步空间几何与点线面》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人
得分
一、选择题
1．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于 （ ）
A ．
23 B ．
33
C ．
23
D ．
1
3
（2020年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WOR D 版含答案（已校对））
2．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ） （A ）一条直线
（B ）一个圆（C ）一个椭圆
（D ）双曲
线的一支(2020北京理)
3．关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：
①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； 其中正确命题的序号是 .
4．将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A ）
3263+（B ）2+263（C ）4+26
3
（D ）43263+(2020全国2理) 5．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积
最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°(2020湖南
理)
6．如图，在多面体AB CDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且
BCF ADE ∆∆、均为正三角形，EF ∥AB ，EF=2，则该多面体的体积为（ ）
A
B
C
D
E
F
（A ）3
2 （B ）
33 （C ）3
4 （D ）
2
3
(2020全国1文)
7．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线12l l ，与同一平面所成的角相等，则12l l ，互相平行
④若直线12l l ，是异面直线，则与12l l ，都相交的两条直线是异面直线 其中假命题的个数是（D ） Ａ．1 Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4(2020辽宁文)
8．
1．已知平面α与平面βγ、都相交，则这三个平面可能的交线有（ ） (A) 1条或2条 (B ) 2条或3条 (C) 1条或3条 (D) 1条，或2条，或3 9．正方体的两条对角线相交所成角的正弦值等于------（ ） (A)
22 (B)1
3
(C)223 (D)1010
10．过正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的截面面积为S ，max S 和min S 分别
为S 的最大值和最小值，则
max
min
S S 的值为（ ） A ．
32
B ．
62 C ．
23
3
D ．
26
3
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，则下列四个命题：
①m l ⊥⇒βα//；②m l //⇒⊥βα
；③βα⊥⇒m l //；④βα//
⇒⊥m
l
其中正确命题的序号是 ▲
． 12
．设
， 为两不同直线及
平面
，给出下列四个命题：
①若 ， ，则
； ②若
，
，则
；
③
若
，
与
相交，则 与
也相交；④若
与
异面，
，则
．
其中正确命题的序号是__________；
13．设是空间的三条直线，给出以下五个命题： ①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面； ⑤若a ∥b ， b ∥c ，则a ∥c ；
其中正确的命题的个数是______________．
14．如图所示的直观图，其平面图形的面积为---------------（ ）
(A) 3 (B)32
2
(C) 6 (D)32
15．空间四边形的对角线长相等，则各边中
点连线构成的图形是
45︒O '
y '
x '
B '
A '
A
C
C 1
A 1
B 1
F
_____________________
16．一个球与正四面体的六条棱都相切。

若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________ 评卷人
得分
三、解答题
17．（理科做）（本题15分） 如图所示，已知长方体1111D C B A ABCD -中，
,2==BC AB 41=AA ，E 是棱1CC 上的点，且C B BE 1⊥。

（
1）求CE 的长；
（2）求证：⊥C A 1平面BED ；（3）求B A 1与平面BED 所成角的正弦值。

17．（文科做）（本题15分）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C -中，13,5,4,AC AB AA BC ====点D 是AB 的中点. （1）求证：1AC BC ⊥；（2）求证：1//AC 平面1CDB ； （3）求三棱锥11A B CD -的体积.
18．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC AB =，点D 和点F 分别为BC 和
1AC 中点，
（1）求证：平面1ADC ⊥平面11B BCC ；
（2）求证：DF //平面11ABB A . (本小题14分)
19．已知空间四边形ABCD 的对角线AC 、BD ，点E 、F 、
G 、H 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、D A 、AC 、BD 的中点．求证：三线段EG 、FH 、
MN 交于一点且被该点平分．
证明：如图所示，连接EF 、FG 、GH 、HE .∵E 、F 、G 、H 分别为 AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ∥HG ，EH ∥FG ，∴四边形EFGH 是平行四边形．设EG ∩FH ＝O ，则O 平分EG 、FH .同理，四边形 MFNH 是平行四边形，设MN ∩FH ＝O ′，则O ′平分MN 、FH . ∵点O 、O ′都平分线段FH ，∴点O 与点O ′重合，∴MN 过EG 和 FH 的交点，即三线段EG 、FH 、MN 交于一点且被该点平分．
20．（1）如图，对于任一给定的四面体1234A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的1234,,,αααα，使得
(1,2,3,4),i i A i α∈=且其中每相邻两个平面间的距离都相
等；
（2）给定依次排列的四个相互平行的平面1234,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体1234A A A A 的四个顶点满足：(1,2,3,4)i i A i α∈= 求该正四面体1234A A A A 的体积．(2020年高考江西卷理科21)（本小题满分14分）
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评卷人
得分
一、选择题
1．A 2．C
解析：A设l与l'是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，故动点C都在这个平面与平面α的交线上，故选A
3．②③
4．C
5．C
6．A
7．D
解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①、②、③、④均不正确，故选择答案D。

8．
9．
10．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题
11．①③
12．
13．1
14．
15．
16．
评卷人得分
三、解答题
17．（共15分）（理科做）
解答：（1）如图所示，由条件得到：
)0,0,2(),0,0,0(A D ,),0,2,0(),0,2,2(C B )4,2,2(),4,0,2(11B A ,),4,2,0(1C )4,0,0(1D 。

设E 点坐标为),2,0(t ，…………………………2分
则),0,2(t BE -=，)4,0,2(1--=C B
C B BE 1⊥ ∴04041=-+=⋅t C B BE …………………4分
1=∴t ，故1=CE …………………………5分
(2)证明 由（1）得，)1,2,0(E ，)1,0,2(-=BE ,又)0,2,2(),4,2,2(1=--=DB C A
∴,04041=-+=⋅BE C A DB C A ⋅1=0044=++-…………………………8分
DB C A ⊥∴1且BE C A ⊥1,即,1DB C A ⊥BE C A ⊥1,又
DB BE B =,
⊥∴C A 1平面BED ……………………………………………10分
17．（满分15分）（文科做）
（1）证明：在ABC ∆中，3,5,4,AC AB BC === 222,AB AC BC ABC ∴=+∆为Rt ∆，
.AC BC ∴⊥……………………………………2分
又1CC ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，1.AC CC ∴⊥ 1
CC BC C =，1,CC BC ⊂平面11,BB C C
AC ∴⊥平面11BB C C ，………………………4分
而1BC ⊂平面11BB C C ，
1.AC BC ∴⊥………………………………………………5分
（2）设1B C 交1BC 于E 点，连结.DE
直三棱柱111,ABC A B C -∴四边形11BB C C 是矩形，E ∴是1BC 的中点 又D 是AB 的中点，1//,AC DE ∴……………………………8分 而DE ⊂平面1CDB ，1AC ⊄平面1CDB ，
1//AC ∴平面1CDB .……………………………………………10分
（3）连结11,A D AC ，过点C 作CF AB ⊥，垂足为F . 在Rt ABC ∆中，3412
,55
AC BC CF AB ⋅⨯===………………………12分 又
直三棱柱111
,ABC A B C -∴平面ABC ⊥平面11ABB A ， 而平面ABC
平面11,ABB A AB CF =⊂平面,ABC CF AB
⊥ CF ∴⊥平面11ABB A ，即CF 是三棱锥11C A B D -的高
又1111111
5410,22
A B D S A B AA ∆=
⋅=⨯⨯= 1111111112
108.335A B CD C A B D A B D V V S CF --∆∴==⋅=⨯⨯=………………………………15分
18． 证明：(1) 因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以CC 1⊥平面ABC , 而AD ⊂平面ABC , 所以CC 1⊥AD . ………………2分 又AB =AC ,D 为BC 中点,所以AD ⊥BC ,
A
B
C
C 1
A 1
B 1
F
D (第17题图)
因为BC ⋂CC 1=C ,BC ⊂平面BCC 1B 1,CC 1⊂平面BCC 1B 1, 所以AD ⊥平面BCC 1B 1, ………………5分 因为AD ⊂平面ADC 1,
所以平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1. …………………7分 (2) 连结A 1B,A 1C,
因为直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以四边形ACC 1A 1是平行四边形，所以AC 1交A 1C 于中点F
又因为D 为BC 中点，所以DF //A 1B , ………………………11分 而DF ⊄平面ABB 1A 1, A 1B ⊂平面ABB 1A 1, 所以DF //平面ABB 1A 1. ……………………14分 19．
20．如图，将此正四面体补形为正方体1111ABCD A B C D -（如图），分别取AB 、CD 、11A B 、11C D 的中点E 、F 、1E 、1F ，平面11DEE D 与11BFF B 是分别过点2A 、
3A 的两平行平面，若其距离为1，则正四面体1234A A A A 满足条件，右图为正方体
的下底面，设正方体的棱长为a ，若1A M M N ==，因为1
2
A E a =
，52DE a =，在直角三角形ADE 中，A M ⊥DE ，所以51
122a a a ⋅=⋅，所以
5a =，又正四面体的棱长为210a =
，
所以此正四面体的体积为3
3115
45323
V a a =-⋅⋅
=． 本题考查立体几何中的面面关系、正四面体及体积计算．[来源:学科网ZXXK]。