四川省年上学期阆中中学高三数学理月月考试题

全卷100分
2020年全国
高中月考试卷
四川省2020年上学期阆中中学高三数学理9月月考试题
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中
只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合A ＝{x |y ＝－x 2＋1}，B ＝(0,1)，则A ∩B ＝
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(－1,1)
D ．[－1,1]
2. 已知i 为虚数单位，复数Z ＝i(3－ai)，且|z|＝5，则实数a ＝
A.－4
B.4
C.±4
D.2
3. 已知sin(θ－
)＝
12，且θ∈(0，2π)，则cos(θ－3π
)＝ A.0 B.
12 C.32
D .1 4. f (x )＝x (2019＋ln x )，若0()f x '＝2 020，则x 0等于
A ．e 2
B ．1
C ．ln 2
D ．e
5. 等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n ，若a 3＝4，a 2·a 6＝64，则S 5＝
A.32
B.31
C.64
D.63
6．根据如下样本数据：
x 3 4 5 6 7 8 y
4.0
2.5
0.5
0.5
0.4
0.1
得到的线性回归方程为y ＝b x ＋a ，则
A.a ^>0，b ^>0
B.a ^>0，b ^<0
C.a ^<0，b ^>0
D ．a ^<0，b ^
<0
7．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值(满分为5分，分值高者为 优)，绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的 数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是
A ．乙的逻辑推理能力指标值优于甲的逻辑推理能力指标值
B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 8. 若曲线y ＝e x 在x ＝0处的切线也是曲线y ＝ln x ＋b 的切线，则b ＝
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．e
9. 杨洋爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD 和OPQR 构成 的标靶图形，如果O 点正好是正方形ABCD 的中心，而正方形OPQR 可以绕点O 旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是 A.13 B ．1
4 C.19 D ．17
10.函数f(x)＝(x
x
1212
-+)·sinx 的图像大致为
11.已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝
A.12
B.13
C.1
4
D.1
5
12.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－x 2
－2x ＋3，x ≤1，
ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －1
2恰有4个
不相等的实数根，则实数k 的取值范围是
A ．1,2e e ⎛ ⎝⎭ B. 1,2e e ⎡⎢⎣⎭
C. 12e ⎛ ⎝
D. 12e ⎡⎢⎣ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知sin α＝55，π
2≤α≤π，则tan α＝________.
14.已知平面向量a ＝(2m －1，2)，b ＝(－2，3m －2)，且a ⊥b 。

则|2a －3b |
＝ 。

15.在(2x －1)7的二项展开式中，第四项的系数为 。

16.函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论： ①f (x )的最小正周期为2；
②f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－1
2； ③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z 上是减函数； ④f (x )的最大值为A .
则正确的结论为________(填序号)．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为
必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17．已知函数f (x )＝(2cos 2
x －1)sin 2x ＋1
2cos 4x .
(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3的值．
18．南充市的“名师云课堂”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在推出
的第二季名师云课中，数学学科共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现 给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：
点击量 [0,1 000]
(1 000,3 000]
(3 000，＋∞)
节数
6
18
12
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3 000的 节数；
(2)为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间[0,1 000]内，
则需要花费40分钟进行剪辑，若点击量在区间(1 000,3 000]内，则需要花费 20分钟进行剪辑，点击量超过3 000，则不需要剪辑，现从(1)中选出的6节课 中随机取出2节课进行剪辑，求剪辑时间X 的分布列．
19. 如图，直四棱柱ABCD ­A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，
M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．
(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；
(2)求二面角A ­MA 1­N 的正弦值．
20. 如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2
＝1(a >b >0)的离心率为13，左、右焦点分别为F 1，F 2，A
为椭圆C 上一点，AF 1与y 轴相交于点B ，|AB |＝|F 2B |，|OB |＝4
3. (1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1，A 2，过A 1，A 2分别作x 轴的垂线l 1，l 2，椭圆C 的一条切线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0) 与l 1，l 2分别交于M ，N 两点，求证：∠MF 1N ＝∠MF 2N .
21．已知函数f (x )＝2
(1)2x
x e mx --+，其中m ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)当m ＝1时，求函数f (x )的单调区间；
(2)当常数m ∈(2，＋∞)时，函数f (x )在[0，＋∞)上有两个零点1212,()x x x x <， 证明：21x x ->ln 4
e .
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所
做的第一题计分．
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知直线l 过点 P (1,0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直 线l 的倾斜角α.
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.
设函数f (x )＝x 2
－x －15，且|x －a |<1. (1)解不等式|f (x )|>5；
(2)求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．。