8.5.3 平面与平面平行-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)

又因为E，F分别是A1A，C1C的中点，且ACC1A1为正方形，
所以AE∥BM且AE=BM，B1M∥CF且B1M=CF
即四边形AEMB和B1MCF均是平行四边形，
所以MC∥B1F，N是AM的中点，
又D是AC的中点，所以ND∥MC，
所以ND∥B1F，又ND⊂平面BDE，B1F⊄平面BDE，
所以B1F∥平面BDE
C
E
F
C
F
教材P145
13、如图，//// ，直线a与b分别相交 ，，g于点A，B，C和点，E，F，
求证:


=

.

②若a, b异面, 连接AF , AF P.
// g , 面ACF BP, g 面ACF CF ,
AB AP
BP // CF ,
γ
若面α//面β，则两个平面内的两条直线什么时候平行？
设面α内的直线a与面β内的直线b平行，即a//b.
a
α
由推论知：两条平行直线a和b可确定唯一一个平面γ,
则面α∩面γ=a，面β∩面γ=b.
β
当另一个平面γ分别与两平行平面α，β相交时，两条交线互相平行.
b
新知探究
下面，我们来证明这个结论.
如图，平面//，平面分别与平面，相交于直线，.
那么硬纸片和桌面平行吗?
如图(2)，和分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么
三角尺和桌面平行吗?
新知探究
思考：两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面.但为什么可以用
两条相交直线判定两个平面平行，而不能利用两条平行直线呢？你能从向
量的角度解释吗？
平面向量基本定理表明：平面内任意一个向量可以用平面内两个不共
证明：∵ ∩ = ， ∩ = ，
∴ ⊂ ， ⊂ .
又//，∴，没有公共点.
又��，同在平面内，∴//.
新知生成
面面平行的性质定理：
文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两
条交线平行．
符号语言：//， ∩ = ， ∩ = ⇒ //
由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难
直接利用定义判断．那么平面与平面平行的判定，是否有更简便的方法？
新知探究
思考：若平面//，则中任意直线都平行吗？反之，若中任意直线都
平行，则//吗？
平面与平面平行
面面平行
两个平面没有公共点
一个平面内任意一条直线都与另一个平面没有公共点
M
N
习题演练
练习：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，D，E，F分别为棱AC，
AA1，CC1的中点.求证:B1F∥平面BDE.
法二：设A1C1的中点为D1,连接B1D1,D1D,D1F,∵D是AC的中
点,∴DD1∥BB1,且DD1=BB1,∴四边形BDD1B1是平行四边
形,∴BD∥B1D1,
1 ⊂ 平面1
1 //平面1
1 1 //平面1
∴1 //平面1 .
同理，1 1 //平面1 .
∴平面1 1 //平面1 .
习题演练
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中， M, N, E, F分别是棱A1B1, A1D1,
8.5.3 平面与平面平行
高一下学期
学习目标
1、掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用定理解决问题；
2、掌握空间平面与平面平行的性质定理，并能应用定理解决问题；
3、能正确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述平面与平面平行
的判定定理和性质定理，进一步培养表达能力；
4、通过本节学习培养直观现象、逻辑推理等素养.
√
（6）如果一个平面内无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.×
教材P142
2、平面与平面平行的充分条件可以是 （ Ｄ ）．
Ａ.内有无穷多条直线都与平行
Ｂ.直线//，//，且直线不在内，也不在内
Ｃ.直线 ⊂ ，直线 ⊂ ，且∥，∥
Ｄ.内的任何一条直线都与平行
B1D1F,∴B1F∥平面BDE.
归纳总结
新知探究
思考：如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不与这两个平面相交，
以两个平面平行为条件，你还能得出哪些结论？
二、平面与平面平行的性质
①两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.
②面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，
又B1D1⊄平面BDE,BD⊂平面BDE,∴B1D1∥平面BDE.∵E,F分别
是A1A,C1C的中点,且ACC1A1为正方形,∴D1F∥ED.∵D1F⊄平面
BDE,ED⊂平面BDE,∴D1F∥平面BDE,又D1F⊂平面B1D1F,B1D1⊂
平面B1D1F,B1D1∩D1F=D1,∴平面B1D1F∥平面BDE,∵B1F⊂平面
∩ =
//，//
平面与平面平行
转化
图形语言：
⇒ //
找2次线面平行
直线与平面平行 转化
直线与直线平行
生活实例：工人师傅将水平仪在桌面上交叉放至两次，如
果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的
典例精析
例题：如图，已知正方体-1 1 1 1 ，求证：平面1 1 //平面1 .
因为OH∩GH=H，OH，GH⊂平面BDGH，
所以平面BDGH∥平面AEF.
O
新知探究
思考：前面我们得到了平面与平面平行的判定方法，反过来，也就是以平面
与平面平行为条件，可以推出哪些结论.
根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系
平行或异面
.探究1：若面α//面β，则α与β内的直线的位置关系是____________.
②判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线
与此平面平行.
性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，
那么该直线与交线平行.
复习回顾
3、平面与平面的位置关系有哪些？
两个平面平行 ：没有公共点
两个平面相交 ：有无数个公共点(在一条直线上)
4、如何判定平面与平面平行？
证明：∵1 1 1 1 为正方体，
∴1 1 ⋕ 1 1 ， ⋕ 1 1 ，
∴1 1 ⋕ .
∴四边形1 1 为平行四边形. ⊂ 平面
1
1 1
1 //1
1 1 ⊂ 平面1 1
∴ 1 ⊄ 平面1
1 ⋂1 1 = 1
四边形ABEN为平行四边形.
AN // BE , 又BE 平面AMN , AN 平面AMN ,
BE // 平面AMN.
D
A
EF , BE 平面BEFD , EF BE E,平面BEFD // 平面AMN .
C
B
习题演练
练习：如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别
∴平面DEF//平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，
∴NF//CM.
习题演练
练习：在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，D，E，F分别为棱AC，
AA1，CC1的中点.求证:B1F∥平面BDE.
法一：取BB1的中点为M，连接MC，连接MA交BE于点N，连接ND
重点：平面与平面平行的判定定理和性质定理
难点：定理的探究发现即综合应用
复习回顾
1、判断直线与直线平行的方法有哪些？
①平行四边形的对边平行、三角形的中位线、棱柱的侧棱互相平行…
②相似线段成比例
③平行线的传Biblioteka 性④直线与平面平行的性质定理
2、如何判定直线与平面平行？直线与平面平行的性质定理是什么？
①定义法：直线与平面没有公共点
教材P142
1.判断下列命题是否正确，并说明理由．
（1）已知平面α，β和直线m，n，若m⊂α，n⊂β，m//β，n//α，则α// β.
（2）若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一平面β，则α //β.
×
√
（3）平行于同一条直线的两个平面平行. ×
（4）平行于同一个平面的两个平面平行. √
（5）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.


求证:
=

.

证明 : ①若a, b共面(相交或平行), 则a, b确定一个平面 .
// // g , AD, BE, g CF ,
AB DE
a b

.
AD // BE // CF ,
BC EF
A
a
b
D
α
A
α
D
B
β
β
B
E
γ
γ
线的向量来表示.因此两条相交直线可以看成两个不共线向量，可以表示平
面内的任意一条直线；而两条平行直线代表共线向量，不能表示平面上的
任意直线.
新知生成
一、面面平行的判定定理： 直线的条数不是关键，直线相交才是关键.
如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.
①符号语言： ⊂ ， ⊂
是CE和CF的中点.求证:平面BDGH∥平面AEF.
解析：在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，
又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.
设AC∩BD=O，连接OH，
在△ACF中，因为OA=OC，CH=HF，所以OH∥AF，
又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.
图形语言：
平面与平面平行
直线与直线平行
新知探究
平行
探究2：若面α//面β，则α内的直线与β的位置关系是_______.
a
证明：∵//，∴��与没有公共点.

又 ⊂ ，∴与没有公共点.
∴//.

两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 .
平面与平面平行
直线与平面平行
归纳总结
线面平行 一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面
若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行.
新知探究
思考：平面内的直线有无数多条，如何判定一个平面内的任意一条直线都平
行于另一个平面呢？有没有更简便的方法？
能否将“一个平面内任意直线平行另一个平面”中的“任意直线”减少？
典例精析
例题：三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上
一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，
求证：NF∥CM.
证明：∵D，E分别是PA，PB的中点，∴DE//AB.
又DE⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴DE//平面ABC，
同理可得EF//平面ABC，
且DE∩EF＝E，DE, EF⊂平面DEF，
B1C1, C1D1的中点，求证：平面AMN//平面DBEF.
如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是平行四边形,点G和点H分别是
CE和CF的中点.求证:平面BDGH∥平面AEF.
D1
F
C1
N
E
A1
M
B1
D
A
C
B
教材P182
3、如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中， M, N, E, F分别是棱A1B1, A1D1,
如图，//，//，且 ∈ ， ∈ ， ∈ ， ∈ ，求证 = .
证明：过平行线，作平面，与平面和分别相交于和.
∵//，
∴//.
又//，
∴四边形是四边形.
∴ = .
C
A

D
B
教材P145
13、如图，//// ，直线a与b分别相交 ，，g于点A，B，C和点，E，F，
根据基本事实的推论2，3，过两条平行直线或两条相交直线，有且只有一个
平面．由此可以想到，如果一个平面内有两条平行或相交的直线都与另一个
平面平行，是否就能使这两个平面平行？
新知探究
探究：我们可以借助以下两个实例进行观察.
如图(1)， 和 分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，
那么两条交线平行．
③平行于同一平面的两个平面平行.
④若一条直线与两平行平面中的一个平面相交，则该直线与另一平面也相交
⑤过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行.
⑥夹在两个平行平面间的平行线段相等.
⑦两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
习题演练
推论：夹在两个平行平面间的平行线段相等.

.
BC PF
// , 面ADF EP, 面ADF AD,
B1C1, C1D1的中点，求证：平面AMN//平面DBEF.
D1
F
C1
证明 : MN // B1D1 , MN // B1D1 , MN // EF ,
又EF 平面AMN , MN 平面AMN ,
N
E
A1
M
B1
EF // 平面AMN.
NE // A1B1 , AB // A1B1 , NE // AB,