高中数学 章末质量评估3试题 苏教版必修3

章末质量评估(三)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．下列事件：
①物体在重力作用下会自由下落；
②方程x 2
－2x ＋3＝0有两个不相等的实数根； ③下周日会下雨；
④某寻呼台每天某一时段内收到传呼的次数少于10次． 其中随机事件的个数为________．
解析 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义作出判断；由定义可知，①是必然事件，②是不可能事件，③、④是随机事件．
答案 2个
2．给出下列四个命题：
①集合{x ||x |＜0}是空集是必然事件； ②y ＝f (x )是奇函数，则f (x )＝0是随机事件； ③若log a (x －1)＞0，则x ＞2是必然事件； ④对顶角不相等是不可能事件． 其中正确命题的个数是________．
解析 ∵|x |≥0恒成立，∴①正确；奇函数y ＝f (x )只有当x ＝0有意义时，才有f (0)＝0，∴②正确；log a (x －1)＞0当底数a 与真数x －1在相同区间(0,1)或相同区间(1，＋∞)时成立，∴③应是随机事件；对顶角相等是必然事件，所以④正确；故正确命题的个数是3个．
答案 3个 3．下列命题：
(1)掷两枚硬币，可能出现“两个正面”，“两个反面”，“一正一反”3种结果； (2)某袋中装有大小均匀的三个红球，两个黑球，一个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；
(3)从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同；
(4)分别从3名男同学，4名女同学中各选一名作代表，那么每个同学当选的可能性相同．
其中错误命题的个数是________．
解析 (1)应为4种结果，还有一种是“一反一正”；(2)摸到红球的概率为1
2，摸到黑
球的概率为13，摸到白球的概率为16；(3)取到小于0的数字的概率为4
7，取到不小于0的数字
的概率为37；(4)男同学当选的概率为13，女同学当选的概率为1
4
.故四个命题均不正确．
答案 4个
4．李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的学生考试成绩分布：
用已有的信息估计她得90分以上的概率为________(结果保留到小数点后三位)
解析 根据公式可以计算出修李老师的高等数学课的人数考试成绩在各个段上的频率依次为(总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645)
43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8
645≈0.012. 用已有的信息可以估计出王小慧下学期修李老师的高等数学课得90分以上的概率为
P (A )＝0.067.
答案 0.067
5．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出一个球，摸得黑球的概率为________．
解析 摸出一个球的所有可能的结果有5种，即共有5个基本事件，其中摸出的黑球的基本事件有2个，故摸出黑球的概率为25
.
答案 25
6．在区间[0,60]上随机取实数a ，则实数a 在区间[30,55]的概率是________． 解析 [0,60]区间的长度是60，[30,55]的区间长度是25，故所求的概率是P ＝2560＝5
12.
答案
512
7．在区间(1,3)内的所有实数中，随机取一个实数x ，则这个实数是不等式2x －5＜0的解的概率是________．
解析 不等式2x －5＜0的解集为x ＜5
2，∴P ＝322＝34.
答案 3
4
8．“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数(如2 578)，在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是________．
解析 十位是1的“渐升数”有8个；十位是2的“渐升数”有7个；…；十位是8的“渐升数”有1个，所以两位的“渐升数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个；以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4,5,6,7,8为十位数的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的两位“渐升数”共有2＋15＝17个．故在两位的“渐升数”中任取一个比37大的概率是17
36
.
答案
1736
9．从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件A ＝“抽到的一等品”，事件B ＝“抽到的二等品”，事件C ＝“抽到的三等品”，且已知P (A )＝0.7，P (B )＝0.1，P (C )＝0.05，则事件D ＝“抽到的是一等品或二等品”的概率是________．
解析 由题知A 、B 、C 彼此互斥，且D ＝A ＋B ，所以P (D )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.7＋0.1＝0.8.
答案 0.8
10．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，下列各组中两个事件是互斥事件而且是不对立事件的有________．(请将你认为符合条件的序号全写出来)
①至少有1个白球；都是白球．②至少有1个白球；至多有1个白球．③恰有1个白球；恰有2个白球．④至少有1个白球；都是红球．
解析 ①的两个事件可同时发生，不是互斥事件；②的两个事件可同时发生，不是互斥事件；③的两个事件不可同时发生，是互斥事件，且是不对立事件；④的两个事件不可同时发生，是互斥事件，且是对立事件；
∴是互斥事件而且是不对立事件的有：③. 答案 ③
11．甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子(它们的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6)，设甲、乙所抛掷骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则满足x ＞y 的概率是________．
解析 (x ，y )共有36种不同的结果：
(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)， (2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)， (3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6)， (4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)， (5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6)， (6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6)； 其中满足x ＞y 的有15种； ∴所求的概率是P ＝1536＝512.
答案
512
12．已知射手甲射击一次，命中9环(含9环)以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，命中7环的概率为0.12.则甲射击一次，命中不足8环的概率为________．
解析 记“甲射击一次，命中7环以下”为事件A ，“甲射击一次，命中7环”为事件
B ，由于在一次射击中，A 与B 不可能同时发生，故A 与B 是互斥事件，
“甲射击一次，命中不足8环”的事件为A ＋B ， ∵P (A )＝1－0.56－0.22－0.12＝0.1，
∴由互斥事件的概率加法公式得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋0.12＝0.22. ∴甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22. 答案 0.22
13．实践中常采用“捉、放、捉”的方法估计一个鱼塘中鱼的数量．如从一个鱼塘中随机捕捞出100条鱼，将这100条鱼分别作一记号后再放回鱼塘，数天后再从这个鱼塘中随机捕捞出108条鱼，其中有记号的鱼有9条，从而可以估计鱼塘中的鱼有________条．
解析 设鱼塘中的鱼有n 条，则其中有记号的鱼有100条；现随机捕捞出108条鱼，其中有记号的鱼有9条；由概率计算公式得100n ＝9
108
，解得n ＝1 200.
答案 1 200
14．已知集合A ＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为(x ，y )，其中x ∈A ，y ∈A ，且x ≠y ，则点M 不在x 轴上的概率为________；点M 在第二象限的概率为________．
解析 (1)满足x ∈A ，y ∈A ，x ≠y 的点M 的个数有10×9＝90，不在x 轴上的点的个数为9×9＝81个，∴点M 不在x 轴上的概率为：P ＝8190＝9
10；(2)点M 在第二象限的个数有5×4
＝20个，所以要求的概率为P ＝2090＝2
9
.
答案
910 29
二、解答题(本大题共6分，共90分)
15．(本小题满分14分)已知f (x )＝x 2
＋2x ，x ∈[－2,1]，给出事件A ：f (x )≥a . (1)当A 为必然事件时，求a 的取值范围； (2)当A 为不可能事件时，求a 的取值范围． 解 f (x )＝x 2
＋2x ＝(x ＋1)2
－1，x ∈[－2,1]， ∴f min (x )＝－1，此时x ＝－1，
又f (－2)＝0＜f (1)＝3，∴f max (x )＝3，∴f (x )∈[－1,3]．
(1)当A 为必然事件时，即f (x )≥a 恒成立，所以有a ≤f min (x )＝－1，则a 的取值范围是(－∞，－1]；
(2)当A 为不可能事件时，即f (x )≥a 一定不成立，所以有a ＞f max (x )＝3，则a 的取值范围是(3，＋∞)．
16．(本小题满分14分)先后抛掷3枚均匀的硬币； (1)一共可能出现多少种不同结果？
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有多少种？ (3)出现“2枚正面，1枚反面”的概率是多少？
解 (1)∵抛掷3枚均匀的硬币时，各自都会出现正面和反面2种情况，∴一共可能出现的结果有8种．即(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，
正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．
(2)出现“2枚正面，1枚反面”的结果有3种，即(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
(3)∵每种结果出现的可能性相等，∴事件A ：出现“2枚正面，1枚反面”的概率P (A )＝38
. 17．(本小题满分14分)袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：
(1)3只全是红球的概率； (2)3只颜色全相同的概率； (3)3只颜色不全相同的概率； (4)3只颜色全不相同的概率．
解 (1)记“3只全是红球”为事件A .从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，则基本事件总数为27.其中事件A 的基本事件数为1，故事件A 的概率为P (A )＝1
27
.
(2)“3只颜色全相同”包含这样三个基本事件：“3只全是红球”(事件A )；“3只全是黄球”(设为事件B )；“3只全是白球”(设为事件C )，且它们之间是或者关系，故“3只颜色全相同”这个事件可记为A ∪B ∪C ，由于事件A 、B 、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件．又由于红、黄、白球个数一样，故不难得到
P (B )＝P (C )＝P (A )＝127
，
故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝1
9
.
(3)3只颜色不全相同的情况较多，如有两只球同色而与另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色等；或三只球颜色全不相同等．考虑起来比较麻烦，现在记“3只颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3只颜色全相同”，显然事件D 与D 是对立事件．
∴P (D )＝1－P (D )＝1－19＝8
9
.
(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故“3次抽到红、黄、白各一只”包含6个基本事件，故3只颜色全不相同的概率为627＝2
9
.
18．(本小题满分16分)从含有两件正品a ，b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，连续取两次，
(1)每次取出不放回；求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率． (2)每次取出后放回；求取出的两件产品中恰有一件是次品的概率．
解 (1)每次取出不放回的所有结果有(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，
b )，其中左边的字母表示第一次取出的产品，右边的字母表示第二次取出的产品，共有6
个基本事件，其中恰有一件次品的事件有4个，所以每次取出不放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为46＝23
.
(2)每次取出后放回的所有结果：(a ，a )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，a )，(b ，b )，(b ，c )，(c ，a )，(c ，b )，(c ，c )共有9个基本事件，其中恰有一件次品的事件有4个，所以每次取出后放回，取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为4
9
.
19．(本小题满分16分
)
如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心、1为半径作圆弧DE ，在圆弧DE 上任取一点P ，求直线AP 与线段BC 有公共点的概率．
解 如图，连接AC ，记AC 与弧DE 交于点F ；则直线AP 与线段BC 有公共点时，点P 只能在弧
EF 上；∴直线AP 与线段BC 有公共点的概率为P ＝弧EF 的长度
弧DE 的长度；
∵Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝1， ∴AC ＝2，
∴∠BAF ＝π6；∵∠BAD ＝π
2；
∴P ＝弧EF 的长度弧DE 的长度＝π
6×1
π2
×1＝13
.
20．(本小题满分16分)某班50名学生某次测试中的数学、英语成绩采用5分制统计如下表，如：数学5分英语5分的学生1人，若在全班学生中任选一人，且英语成绩记为x ，数学成绩记为y .
(1)求x ＝1的概率； (2)求x ≥3且y ＝3的概率.
解
∴x＝1的概率P1＝5
50＝
1 10
；
(2)由表知，x≥3且y＝3的学生有0＋7＋1＝8名，
∴x≥3且y＝3的概率为P2＝8
50
＝
4
25
.。