2024届广东省江门一中数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析

2024届广东省江门一中数学高一第二学期期末综合测试模拟试
题
请考生注意：
1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则
A ．140,0a d dS >>
B ．140,0a d dS <<
C ．140,0a d dS ><
D ．140,0a d dS <>
2．某程序框图如图所示，若输出的26S =，则判断框内应填（ ）
A ．3?k >
B ．4?k >
C ．5?k >
D ．6?k >
3．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为（ ） A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
4．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是（ ） A ．4 B ．8
C ．22
D ．42
5．函数y=2的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2
B ．1，－3
C ．1，－1
D ．2，－1
6．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．
52
D ．3
7．已知等差数列{}n a 的前m 项之和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项的和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260 8．函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的部分图象如图所示，为了得到
sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )
A ．向右平移3π
个单位 B ．向右平移
6π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向左平移6
π
个单位
9．不等式的解集是（ )
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在下列结论中，正确的为（ ） A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B ．向量AB 与向量BA 的长度相等 C ．向量就是有向线段 D ．零向量是没有方向的
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．函数arccos(21)y x =-的定义域为________
12． 若直线y ＝x ＋m 与曲线x 21y -则实数m 的取值范围是______.
13．当1x ≤-时，1
()1
f x x x =+
+的最大值为__________. 14．已知向量a 、b 满足1a =，4b =，且2a b ⋅=，则a 与b 的夹角为________. 15．如果奇函数f （x ）在[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f （x ）在[-7,-3]上是_________.
①减函数且最小值是-5； ②减函数且最大值是-5； ③增函数且最小值是-5； ④增函数且最大值是-5
16．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
1461
3
a a a ==，，则S 5=____________． 三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知向量(cos ,sin )a x x =，(1,1)b =-，[0,]x π∈. （1）若a b ⊥，求x 的值；
（2）设()f x a b =⋅，若()0()f x m m R -≤∈恒成立，求m 的取值范围.
18．设数列{}n a 满足12n
n n a ka --=（*n N ∈，2n ≥），且28a =，324a =.
（1）求1a 和k 的值；
（2）求数列 {}n a 的前n 项和n S .
19．单调递增的等差数列{}n a 满足11a =，且123,1,23a a a ++成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20．已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元设公司一年内共生产该款手机万部且并全部销售完，每万部的收入为
万元，且．
写出年利润
万元关于年产量（万部）的函数关系式；
当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
21．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，2AB =，12AA =，点N 为AB 中点，点M 在边AB 上.
（1）当点M 为AB 中点时，求证：1//C N 平面1
ACM ；
（2）试确定点M 的位置，使得1AB ⊥平面1
ACM . 参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、B 【解题分析】 ∵等差数列，
，
，
成等比数列，
∴， ∴，∴
，
，
故选B.
考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念 2、A 【解题分析】
根据程序框图的结构及输出结果,逆向推断即可得判断框中的内容. 【题目详解】
由程序框图可知,1,1S k ==,则
2,2124k S ==⨯+= 3,24311k S ==⨯+= 4,211426k S ==⨯+=
所以此时输出S 的值,因而4k =时退出循环.因而判断框的内容为3?k > 故选:A 【题目点拨】
本题考查了根据程序框图的输出值,确定判断框的内容,属于基础题. 3、B 【解题分析】
根据Y aX b =+，则2()()D Y a D X =即可求解. 【题目详解】
因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，
21(1,2,10)i i y x i =-=
所以1y ，2y ，…，10y 的方差为()(21)4()8D y D x D x =-==，故选B. 【题目点拨】
本题主要考查了方差的概念及求法，属于容易题. 4、B 【解题分析】 试题分析：由，当且仅当242x y ==时，即21
x y ==等号成立，故选B ． 考点：基本不等式. 5、B 【解题分析】
根据余弦函数有界性确定最值. 【题目详解】 因为，所以
，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.
【题目点拨】
本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题. 6、C 【解题分析】
采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值. 【题目详解】
因为不等式210x ax -+≥对一切[)2,x ∈+∞恒成立，
所以对一切[)2,x ∈+∞，2
1ax x ≤+，即21x a x
+≤恒成立．
令()[)()211
2,x g x x x x x
+==+∈+∞．
易知()1
g x x x
=+
在[)2,+∞内为增函数． 所以当2x =时，()min 5
2g x =，所以a 的最大值是52
．故选C ． 【题目点拨】
常见的求解参数范围的方法：
（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）； （2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）. 7、C 【解题分析】
试题分析：由于等差数列{}n a 中232,,m m m m m S S S S S --也成等差数列，即
330,70,100m S -成等差数列，所以33100110,210m m S S -=∴=，故选C.
考点：等差数列前n 项和的性质. 8、B 【解题分析】
试题分析：由图象知1A =，
74123T T πππ=-⇒=，22ππωω
=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3
πϕ=，所以()sin(2)3
f x x π
=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平
移6
π
个长度单位即可，故选D ． 考点：三角函数图象. 9、D
【解题分析】试题分析：且
且
，化
简得解集为
考点：分式不等式解法 10、B 【解题分析】
逐一分析选项，得到答案. 【题目详解】
A.单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，所以选项不正确；
B. 向量AB 与向量BA 是相反向量，方向相反，长度相等，所以选项正确；
C.向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以选项不正确；
D.规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以选项不正确. 故选B. 【题目点拨】
本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、[0,1] 【解题分析】
根据反余弦函数的定义，可得函数arccos(21)y x =-满足1211-≤-≤x ，即可求解. 【题目详解】
由题意，根据反余弦函数的定义，可得函数arccos(21)y x =-满足1211-≤-≤x ， 解得01x ≤≤，即函数arccos(21)y x =-的定义域为[0,1]. 故答案为：[0,1] 【题目点拨】
本题主要考查了反余弦函数的定义的应用，其中解答中熟记反余弦函数的定义，列出不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
12、{m |－1＜m ≤1或m 【解题分析】
由x 2+y 2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m 的取值范围． 【题目详解】
由x 2+y 2=1，注意到x≥0，
所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆， 且其图象只在一、四象限．
画出图象，这样因为直线与其只有一个交点， 从图上看出其三个极端情况分别是：
①直线在第四象限与曲线相切， ②交曲线于（0，﹣1）和另一个点， ③与曲线交于点（0，1）．
直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣2， 当直线y=x+m 经过点（0，1）时，m=1．
当直线y=x+m 经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1． 综上满足只有一个公共点的实数m 的取值范围是： ﹣1＜m≤1或m=﹣2．
故答案为：{m |－1＜m ≤1或m 2． 【题目点拨】
本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 13、-3. 【解题分析】
将函数的表达式改写为：()11
[(1)]111
f x x x x x =+=--+--++利用均值不等式得到答案. 【题目详解】
当1x ≤-时，()11[(1)]111
f x x x x x =+
=--+--++ 1
(1)21x x -+-
≥+ ()11
[(1)]1311
f x x x x x =+=--+--≤-++
故答案为-3 【题目点拨】
本题考查了均值不等式，利用一正二定三相等将函数变形是解题的关键.
14、
3
π 【解题分析】
直接应用数量积的运算，求出a 与b 的夹角． 【题目详解】
设向量a 、b 的夹角为θ；
∵2=a b ，∴1||||cos 4cos 2cos 2
a b a b θθθ===⇒=， ∵0θπ≤≤，∴3
πθ=.
故答案为：
3
π． 【题目点拨】
本题考查向量的夹角计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题. 15、④ 【解题分析】
由题意结合奇函数的对称性和所给函数的性质即可求得最终结果． 【题目详解】
奇函数的函数图象关于坐标原点中心对称，
则若奇函数f （x ）在区间[3，7]上是增函数且最小值为1， 那么f （x ）在区间[﹣7，﹣3]上是增函数且最大值为﹣1． 故答案为：④． 【题目点拨】
本题考查了奇函数的性质，函数的对称性及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 16、
121
3
. 【解题分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【题目详解】
设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠，
所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 【题目点拨】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）4
x π
=
；（2）[1,)m ∈+∞.
【解题分析】
（1）由a b ⊥，转化为0a b ⋅=，利用弦化切的思想得出tan x 的值，从而求出x 的值； （2）由()0f x m -≤，转化为()max m f x ≥，然后利用平面向量数量积的坐标运算律和辅助角公式与函数()y f x =的解析式进行化简，并求出()y f x =在区间[]0,π的最大值，即可得出实数m 的取值范围． 【题目详解】
（1）∵a b ⊥，且(cos ,sin )a x x =，(1,1)b =-，[0,]x π∈， ∴cos sin 0x x -=，即tan 1x =，又∵[0,]x π∈，∴4
x π
=
；
（2
）易知，()cos sin 4f x a b x x x π⎛⎫
=⋅=-=
- ⎪⎝⎭
，
∵[0,]x π∈，∴
3,444x π
ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦
，sin 241,x π⎡
⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣
⎦， 当
4
4
x ππ-=
时，sin 42
x π⎛⎫
-=
⎪⎝⎭，()f x
12=，
又()0()f x m m R -≤∈恒成立，即max (())m f x ≥，故[1,)m ∈+∞． 【题目点拨】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查三角函数的最值，在求解含参函数的不等式恒成立问题，可以利用参变量分离法，转化为函数的最值来求解，考查转化与化归数学思想，考查计算能力，属于中等题．
18、（1）12a =，2k =；（2）1(1)22n n S n +=-⨯+
【解题分析】
（1）由已知求得k ，可得122n n n a a --=，取2n =即可求得1a ；
（2）由122n n n a a --=，得11122n n n n a a ---=，可得数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项，以1为公差的等差数列，由此求得数列{}n a 的通项公式，再由错位相减法求数列{}n a 的前n 项和n S ．
【题目详解】
解：（1）12n n n a ka --=，且28a =，324a =，
∴33228248a ka k -===-，即2k =．
122n n n a a -∴-=，取2n =，得2124a a -=，即12a =；
（2）由122n n n a a --=，得11
122n n n n a a ---=， ∴数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112a =为首项，以1为公差的等差数列， 则1(1)12n n
a n n =+-⨯=． 则2n n a n =⨯．
∴1212222n n S n =⨯+⨯+⋯+⨯，
231212222n n S n +=⨯+⨯+⋯+⨯， 则21112(12)22222(1)2212
n n n n n n S n n n +++--=++⋯+-⨯=-⨯=-⨯--， ∴1(1)22n n S n +=-⨯+．
【题目点拨】
本题考查数列求和，训练了利用错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题．
19、（1）n a n =；（2）1
n n S n =
+. 【解题分析】
（1）设等差数列的公差为d ，0d >，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得公差d ，进而得到所求通项公式；
（2）求得11111(1)1n n n b a a n n n n +=
==-++，再用裂项相消法即可得出结论． 【题目详解】 解：（1）设等差数列的公差为d ，0d >， 可得212a d +=+，32354a d +=+， 由1a ，21a +，323a +成等比数列，
2(2)45d d +=+，
解得1d =或(1-舍去），
则11n a n n =+-=；
（2）11111(1)1
n n n b a a n n n n +===-++， ∴1111112231n S n n =-+-+⋯+-+1111
n n n =-=++． 【题目点拨】
本题主要考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消法求和，考查运算能力，属于中档题．
20、（1）
， ;（2）当时，y 取得最大值57600万元．
【解题分析】
根据题意，即可求解利润关于产量的关系式为
，化简即可求出；
由（1）的关系式，利用基本不等式求得最大值，即可求解最大利润．
【题目详解】
（1）由题意，可得利润关于年产量的函数关系式为
，
. 由可得
，
当且仅当
，即时取等号，所以当时，y 取得最大值57600万元． 【题目点拨】
本题主要考查了函数的实际应用问题，以及利用基本不等式求最值，其中解答中认真审题，得出利润关于年产量的函数关系式，再利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
21、（1）见解析；（2）见解析
【解题分析】
（1）推导出1//C N CM ，由此能证明1//C N 平面1
ACM ． （2）当点M 是AB 中点时，推导出1AA CM ⊥，AB CM ⊥，从而CM ⊥平面11AA B B ，进而1A M CM ⊥，推导出△11AA M BAB ∆∽，从而11AB A M ⊥，由此能证明1AB ⊥平面1
ACM ． 【题目详解】
（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，
点N 为11A B 中点，M 为AB 中点，
1//C N CM ∴，
1C N ⊄平面1ACM ，CM 平面1
ACM ， 1//C N ∴平面1
ACM ． （2）当点M 是AB 中点时，使得1AB ⊥平面1
ACM ． 证明如下：
在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，2AB =，12
AA = 点N 为11A B 中点，点M 是AB 中点，
1AA CM ∴⊥，AB CM ⊥，
1AA B A A ⋂=，CM ∴⊥平面11AA B B ，
1A M ⊂平面11AA B B ，1A M CM ∴⊥，
2211(2)3A M =+=2212(2)6AB =+= ∴111A M AA AB AB
=，∴△11AA M BAB ∆∽， 11AA M BAB ∴∠=∠，11AMA AB B ∠=∠，
11AB A M ∴⊥，
1A M CM M ⋂=，1AB ∴⊥平面1
ACM ． 【题目点拨】
本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。