高考数学压轴专题人教版备战高考《数列》单元汇编

高考数学《数列》练习题
一、选择题
1．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）
A ．2
12
4
n -- B ．1
12
2
n -- C ．21n - D ．122n +-
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】
由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=， 根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，
所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >
可得214128
a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，
所以数列{}n a 的前n 项和
11(12)
122122
n
n n S --==-
-. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.
2．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的（ ）
条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则
3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
3．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．
34
B ．
23
C ．
12
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】
∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2
S S =， ∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551
2
S S S -=-， ∴()151010551
1 24
S S S S S -=--=， ∴15510513 44
S S S S =+=， ∴1553:4
S S =． 故选A ． 【点睛】
在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
4．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
【答案】C 【解析】 【分析】
由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622
a a a a
S ++=⨯=⨯可得结果. 【详解】
∵等差数列{}n a 中，1510a a +=，∴3210a =，即35a =，
∴1634657
66636222
a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=， 故选C. 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.
5．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
1019892 B ．
10
2019
2
C ．
111989
2
D ．
1120192
【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为
11
21
2m -，
所以第12个括号里的第995项是11
1989
2. 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
6．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】
25251634121
32323222log 62
n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)
011102
n n n S n n +-=
>⇒<⇒= ，故选C.
7．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺
C ．3.5尺
D ．4.5尺
【答案】C 【解析】 【分析】
结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】
解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,
∴()()111913631.598
985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
, 解得113.5a =,1d =-,
∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）. 故选C . 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并
能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
8．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，
(2)(4)(6)(2018)
(1)(3)(5)(2017)
f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2018
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+
++
L 的值即可.
【详解】
在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则
()()12f a f a +=，据此可知： ()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+++
L 2222210092018=++++=⨯=L .
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84
【答案】B 【解析】
由a 1+a 3+a 5=21得24242
1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴
a 3+a 5+a 7=2
135()22142q a a a ++=⨯=，选B.
10．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9
C ．8或9
D ．8.5
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=
． ∴a n ＝2561
1()2
n -⨯=29﹣n ．
T n ＝28•27•……•2
9﹣n
＝2
8+7+…+9﹣n
()217
289[)89242
2
22
n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝
⎦==．
∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．科赫曲线是一种外形像雪花的几何曲线，一段科赫曲线可以通过下列操作步骤构造得到，任画一条线段，然后把它均分成三等分，以中间一段为边向外作正三角形，并把中间一段去掉，这样，原来的一条线段就变成了4条小线段构成的折线，称为“一次构造”；用同样的方法把每条小线段重复上述步骤，得到16条更小的线段构成的折线，称为“二次构造”，…，如此进行“n 次构造”，就可以得到一条科赫曲线.若要在构造过程中使得到的折线的长度达到初始线段的1000倍，则至少需要通过构造的次数是（ ）.（取
lg30.4771≈，lg 20.3010≈）
A ．16
B ．17
C ．24
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由折线长度变化规律可知“n 次构造”后的折线长度为43n
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由此得到410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，利用运算法则可知3
2lg 2lg 3
n ≥⨯-，由此计算得到结果.
【详解】
记初始线段长度为a ，则“一次构造”后的折线长度为
4
3
a ，“二次构造”后的折线长度为2
43a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，以此类推，“n 次构造”后的折线长度为43n
a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 若得到的折线长度为初始线段长度的1000倍，则410003n
a a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭
，即410003n
⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，
()()44lg lg lg 4lg32lg 2lg3lg1000333n
n n n ⎛⎫
∴==-=-≥= ⎪⎝⎭，
即3
24.0220.30100.4771n ≥
≈⨯-，∴至少需要25次构造.
故选：D . 【点睛】
本题考查数列新定义运算的问题，涉及到对数运算法则的应用，关键是能够通过构造原则得到每次构造后所得折线长度成等比数列的特点.
12．已知数列}{
n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为5
4
，则5S =（ ）． A ．35 B ．33
C ．31
D ．29
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，设等比数列的公比为q ，则2
231112a a a q a q a =⋅=，所以42a =，
又3
474452224a a a a q +=+=⨯，解得11,162
q a ==，所以
5
515116(1())
(1)2311112
a q S q --==
=--，故选C ． 考点：等比数列的通项公式及性质．
13．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1
C ．3
D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】
解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B 【点睛】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
14．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，若639S S =，562S =，则1a =（ ）
A B ．2
C D ．3
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意，分析可得等比数列{}n a 的公比1q ≠±，进而由等比数列的通项公式可得
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=⨯--，解可得2q =，又由(
)5
15
1
131621a q S
a
q
-=
==-，解可得
1a 的值，即可得答案．
【详解】
根据题意，等比数列{}n a 中，若639S S =，则1q ≠±， 若639S S =，则
(
)()6
3
11
11911a q a q q
q
--=⨯--，解可得3
8q
=，则2q =，
又由562S =，则有(
)5
151
131621a q S a
q
-===-，解可得12a =；
故选B ． 【点睛】
本题考查等比数列的前n 项和公式的应用，关键是掌握等比数列的前n 项和的性质．
15．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1220a a +=，33
4
S =，且2n a S a ≤≤+，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]
1,0- B ．11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．[]
0,1
【答案】B
【解析】 【分析】
先求得等比数列的首项和公比，得到n S ，分析数列的单调性得到n S 的最值，从而列不等式求解即可. 【详解】
由1220,a a += 33
4S =，得11211,,1232n
n a q S ⎡⎤⎛⎫==-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当1n =时，n S 取最大值1，当2n =时，n S 取最小值
1
2
， 所以12
21a a ⎧
≤
⎪⎨⎪+≥⎩
，112a -≤≤，故选B. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的单调性，结合首项和公比即可判断，属于中档题.
16．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）
A
．4B ．19 C ．20 D ．23
【答案】D 【解析】 【分析】
本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果． 【详解】
设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，
由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，2
12213d q ++=， 解得2d =，2q =，所以3
7813271623a a d q +=++=+=，故选D ．
【点睛】
本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．
17．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）
A ．18
B ．19
C ．20
D ．21
【答案】B 【解析】 【分析】
找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】
由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ， 即()1231153i +++⋯+-=，所以
()11532
i i -=，解得18i =，
故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】
本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.
18．已知数列{}n a 是等比数列，前n 项和为n S ，则“3152a a a >+”是“210n S -<”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
根据等比数列的通项公式与求和公式,即可判断命题间的关系. 【详解】
因为数列{}n a 是等比数列,前n 项和为n S 若3152a a a >+,由等比数列的通项公式可得
111242a a q a q >+,化简后可得()
2
1210q a -<.
因为(
)
2
2
1
0q -≥
所以不等式的解集为10a <
若210n S -<
当公比1q ≠±时, 210n S -<则10a <,可得3152a a a >+
当公比1q =±时, 由210n S -<则10a <,可得3152a a a =+
综上可知, “3152a a a >+”是“210n S -<”的充分不必要条件
故选:B
【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用,在应用等比数列求和公式时,需记得讨论公比是否为1的情况,属于中档题.
19．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（ ）
A ．23岁
B ．32岁
C ．35岁
D ．38岁
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，得到数列{}n a 是等差数列，由9207S =，求得数列的首项1a ，即可得到答案．
【详解】
设这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，
由题可知{}n a 是等差数列，设公差为d ，则3d =-， 又由9207S =，即91989(3)2072
S a ⨯=+
⨯-=，解得135a =， 即这位公公的长儿的年龄为35岁．
故选C ．
【点睛】 本题主要考查了等差数列前n 项和公式的应用，其中解答中认真审题，熟练应用等差数列的前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．数列{}n a 满足11a =，对任意的*n N ∈都有11n n a a n +=++，则
122016
111a a a +++=L （ ） A ．20152016 B ．40322017 C ．40342017 D ．20162017
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据题设条件，由11n n a a n +=++，可得到递推关系为11n n a a n +-=+；
接下来利用累加法可求得()12n n n a +=，从而()1211211n
a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，由此就可求得122016
111a a a +++L 的值. 【详解】
因为111n n n a a a n a n +=++=++，
所以11n n a a n +-=+，
用累加法求数列{}n a 的通项得：
()()1211n n n a a a a a a -=+-+⋯+-
()1122
n n n +=++⋯+=， 所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
， 于是1232016111111111212222320162017a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ +++⋯+=-+-+⋯+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 121201*********⎛⎫==- ⎪⎝⎭
. 故选：B.
【点睛】
本题是一道考查数列的题目，掌握数列的递推关系以及求解前n 项和的方法是解答本题的关键，属于常考题.。