第六章近独立粒子的最概然分布习题课

第六章-近独立粒子的最概然分布(习题课)
第六章 近独立粒子的最概然分布(习题课)
本章题型
一、基本概念：
1、粒子相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态、系
统微观状态；经典相格与粒子微观状态；系统宏观态与系统微观态。

2、等概率原理（统计物理学的基本假设）：平衡态孤立系统的各个微
观态出现的概率相等。

最概然分布作为平衡态下的分布近似。

3、近独立粒子孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微
观状态数及各分布出现的几率、最概然分布。

,,,,21l τττ∆∆∆
,,,,21l εεε
}{l a
,,,,21l ωωω
,,,,21l a a a
与分布}{l a 对应的微观状态数为()l a Ω分布{}l a 要满足的条件是：
N a
l l
=∑ E =∑l
l
l a ε
系统总的微观状态数()()lm man a l a a l
ΩΩ=Ω∑~总
系统某时刻的微观状态只是其中的一个。

在宏观短，微观长时间内（一瞬间）系统经历了所有的微观状态()()lm man a l a a l
ΩΩ∑~----各态历经假
说。

且各微观态出现的概率相等
()()
lm man a l a a l
Ω≈
Ω=
∑1
1ρ
()l
e a a l lm l βε
αωδ--=⇒=Ω0ln ---玻耳慈曼分布。

此分布（宏观态）的概率为
()()()()()
()1=ΩΩ≈ΩΩ=
Ω=∑lm
man lm man a l lm man lm man lm a a a a a a p l
ρ 即：最概然分布几乎就是孤立系统的平衡态分布。

4、热力学第一定律的统计解释：
Q d W d dU +=
l l
l l l
l l l da d a dU a U ∑∑∑+=⇒=εεε
比较可知：l l
l d a W d ε∑=
l l
l da Q d ∑=ε
即：从统计热力学观点看，
做功：通过改变粒子能级引起内能变化； 传热：通过改变粒子分布引起内能变化。

二、相关公式 1、分布与微观状态数
①、 ()l
a l l
l
l l B M a a ω∏=
Ω∏!N!
..
②、 ()∏--+=Ωl
l l l l
E B a a a )!
1(!)!
1(..ωω ③、 ()∏
-=Ωl
l l l l D F a a a )!
(!!
..ωω ④、 ()l
a r l l l
l l cl h a N a ) ( ! !
ω∆∏∏=
Ω
2、最概然分布
玻耳兹曼分布l
e a l l βεαω--=
玻色-爱因斯坦分布1
-=
+l e a
l
l
βεαω
费米-狄拉克分布1
+=
+l e a
l
l
βεαω
本章题型
※、第一类是求粒子运动状态在μ空间的相轨迹:
关键是由已知条件写出广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系
()0,=p q f 。

※、第二类是求粒子能态密度()εD ；
已知粒子的哈密顿量H 与广义坐标q 和广义动量p 满足的函数关系
()p q H H ,=，求粒子能态密度()εD 。

不同方法有不同步骤，方法有：
方法一：量子力学方法。

第一步，解薛定谔方程()()p q ,p q,H ψ=ψε
，求能量本证值i ε
第二步，求出粒子能量小于ε的量子态数()εω
第三步，求出粒子能量在ε到εεd +范围的量子态数()εεd D 。

方法二：半经典近似法。

该方法的依据是：对自由度为r 的一个粒子，对每一个可能的状态对于μ
空间中大小为r h 的一个相体积元，因此，粒子能量小于ε的量子态数为()()⎰⎰<=εεωp q H r h
dqdp
,
由此求得粒子能量在到范围的量子态数()()εε
εωεεd d d d D =。

计算步骤：
第一步、写出粒子自由度r 和粒子哈密顿()p q H H ,=。

第二步、由()()⎰⎰<=ε
εωp q H r h dqdp
,
求出粒子能量小于的状态数。

第三步、求出粒子态密度()()ε
εωεd d D =。

[例1]、对于二维自由粒子，在长度L 2内，求粒子在ε到εεd +的能量范
围内量子态数()εεd D 。

方法一：解，量子力学方法:
边长为L 的正方形平面内，粒子哈密顿算符的能量本征方程为
()
εϕϕϕ=+=22ˆ21H Y X P P m
设：()()()y Y x X y x =,ϕ 则
22222222222112
εεm dy Y d Y dx X d X XY XY y x m -=+⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂- 2
2
2222
2222;1;1
εm k k k dy Y d Y k dx X d X y x y x =+-=-=其中 解得：()()()()()y p x p i
y k x k i y x y x e e y Y x X y x ++===
A
1A 1,ϕ 利用周期性边界条件：⎪⎭
⎫
⎝
⎛=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-2L ,2L ,;,2
L ,2
L x x y y ϕϕϕϕ得：
2,1,0;,2;2±±===
y x y y x x n n n L
p n L p ππ 由上式可知，量子数y x n n ，完全决定了粒子的量子状态。

以y x n n ，为直角坐标轴，
构成二维量子数空间，每一组数()y x n n ，对应一个点，它代表一个量子态，这种点成为代表点，此空间中边长为1的一个正方形（面积为1）内有1个代表点，即相应于1个量子态。

由()()
2
22
2222221y x y x n n mL
p p m +=+= πε可知，在数空间中能量ε的等能线为半径()
21
222
2122
2R ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=+= πεmL n
n y
x
的圆，它所包围的面积为2222R πεπmL =，而单位面积
对应1个量子态，所以粒子能量小于ε的量子态数为()2
22 πε
εωmL =，所以粒子在ε到εεd +的能量范围内的量子态数()()επεεεωεεmd h L d d d d D 22
2== 其中：()m h
L D 22
2πε=为态密度，显然此情况在数空间态密度是均匀的。

方法二： 解，半经典方法:由()
2
221y
x p p m
+=
ε可知，在二维动量空间中，等能线满足εm p p y x 22
2=+，等能线为半径等于εm 2的圆，由此求
得粒子能量小于ε的量子态数：
()επεωε
m h
L h dp dxdydp A
m p p y
x y x 22
22222
==⎰⎰
≤+
所以粒子在ε到εεd +的能量范围内的量子态数
()()επεεεωεεmd h
L d d d d D 22
2==
※、第三类确定孤立系统的粒子分布和与一个分布相对应的系统的微观状态数及各分布出现的几率或求最概然分布。

[例2]：（1）假设某种类型分子的许可能级为0、ω、ω2、ω3、……，而且都是
非简并的，如果体系含有6个分子，问与总能量ω3相联系的是什么样的分布？并根据公式∏∏=
Ωl
a l l
l l a ω!N!
M.B 计算每种分布的微观态数D Ω,并由此确定各种分布的几率（设各种微观态出现的几率相等）。

（2）、在题（1）中，如0和ω两能级是非简并的，而ω2和ω3两个能级分别是6度和10度简并。

试重复上面的计算。

解：（1）粒子的在各能级的分布可以描述如下：
能 级 ,,,4321εεεε，
能量值 ωωω,32,,0 简并度 ,11,1,1 ， 分布数 ,421,,a a a
分布{}l a 要满足的条件是：
6==∑N a l
l ， ωε3E ==∑l
l l a
满足上述限制条件的分布可以有： {}{} 0,1,0,0,5a :D l 1=
{}{} 0,0,1,1,4a :D l 2=
{}{} 0,0,0,3,3a :D l 3=
则各分布所对应的微观态数为：
615!6!1D =⨯=
Ω 3014!6!2D =⨯=Ω 2013!3!
6!3D =⨯=Ω 所以此种情况下体系的总的微观状态数为56321=Ω+Ω+Ω=Ω总 各分布的几率为：
107.0566
11D D ==
ΩΩ=
总
P 536.0563022D D ==ΩΩ=总P 357.056
2033D D ==ΩΩ=总P （2）粒子的在各能级的分布可以描述如下：
能 级 ,,,4321εεεε， 能量值 ωωω,32,,0
简并度 ,106,1,1 ，
分布数 ,421,,a a a
分布{}l a 要满足的条件是：
6==∑N a l
l ， ωε3E ==∑l
l l a
满足上述限制条件的分布可以有：
{}{} 0,1,0,0,5a :D l 1=
{}{} 0,0,1,1,4a :D l 2=
{}{} 0,0,0,3,3a :D l 3=
则各分布所对应的微观态数为：
60015!6!1D =⨯=
Ω 08164!6!2D =⨯=Ω 2013!3!
6!3D =⨯=Ω 所以此种情况下体系的总的微观状态数为260321=Ω+Ω+Ω=Ω总 各分布的几率为：
230.02606011D D ==
ΩΩ=
总
P 692.026018022D D ==ΩΩ=总P 077.0260
20
33D D ==ΩΩ=总P [例3]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。

假设粒子可分辨，处在一个个体量子态的粒子数不受限制。

试证明，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别为：
l e a l l βεαω--=和'--'
='
l
e a l l βεαω
其中l ε和'l ε是两种粒子的能级，l ω和'l ω是能级简并度。

证： 粒子A 能级，粒子数分布：l ε——{a l }——简并度l ω 粒子B 能级，粒子数分布：'l ε——{a ’l }——简并度'l ω 体系两种粒子分布要满足的条件为： N a l
l =∑，N a l
l '='∑ E =''+∑∑l
l l l
l l a a εε
分布{}l a ，对应的微观状态数为
∏∏=
Ωl
a l l
l l a ω!N!
1
分布{}l a '，对应的微观状态数为
∏∏''''=
Ωl
a l l
l l a ω!!
N 2 则系统的微观态数为21Ω⋅Ω=Ω
上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }
时系统的微观态数。

在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件N a l
l =∑，N a l
l '='∑
E =''+∑∑l
l
l l
l
l a a εε下使21
ln ln Ω⋅Ω
=Ω为极大的分布。

利用斯特林公
式可得：
l l
l l l
l l l
l l l
l a a a N a a a N ωω'
'+''-''++-=Ω⋅Ω=Ω∑∑∑∑ln ln ln N ln ln ln N ln ln 21由
0ln 21=Ω⋅Ωδ，得
0ln ln ln 21='⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛''-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=Ω⋅Ω∑∑l l l l l l
l l a a a a δωδωδ 而由限制条件可得：
0=∑l
l
a
δ，0='∑l
l a δ
0=''+∑∑l
l
l
l
l
l
a a δεδε
引入拉氏不定乘子βαα，，'，得
0ln ln ln 21='⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'+'+''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪⎭⎫
⎝⎛''+-''--Ω⋅Ω∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a δεβαωδβεαωδεδεβδαδαδ根据拉格朗日未定乘子法原理，每个l a δ及l a 'δ的系数都等于零，所以得：
[][]⎩⎨
⎧'-'-'='--=⇒⎪⎪⎭
⎪⎪
⎬⎫
='+'+'
'=++l l l
l l l l l l l l
l
a a a a εβαωβεαωεβαωβεαωexp exp 0ln 0ln
讨论：
（1）、上面的推导表明，两种粒子各自遵从玻耳兹曼分布，两分布的α，
α'不同，但有共同的β，原因在于开始就假设两种粒子的粒子数
和能量具有确定值，这意味着在相互作用中两粒子可以交换能量，但不会相互转化。

从上述结果还可看出，由两个弱相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两子系统有相同的β
（2）、如果把每一种粒子看作是一个子系统，则总系统是由两个子系统
组成，在热平衡时，两子系统的温度相等。

由于在热平衡时，两子系统的温度相等。

从上面打推导中可看出，在热平衡时，两子系统的β是相同的，由此可见，参数β是一个与温度有关的量。

[例4]：设系统含有两种粒子，其粒子数分别为N 和N ’.粒子间的相互作用很弱，可看作是近独立的。

如果粒子玻色子或费米子。

试导出，在平衡态下两种粒子的最概然分布分别。

解： 考虑一般性，系统由N 个玻色子和N ’.个费米子组成，总能量为E ，
体积为V 时，粒子的分布{}l a 和{}l a '必须满足
N a
l
l
=∑，N a l
l '='∑ E =''+∑∑l
l l l
l l a a εε
才有可能实现。

玻粒子A 能级，粒子数分布：l ε——{a l }——简并度l ω 费米粒子B 能级，粒子数分布：'l ε——{a ’l }——简并度'l ω 玻色子处于分布{}l a 时，对应的微观状态数为
()()∏
--+=Ωl
l l l l a a !
1!!
1ωω
费米子处于分布{}l a '时，对应的微观状态数为
()∏
'-'''=Ω'l
l l l l
a a !
!!ωω
则系统的微观态数为()Ω'⋅Ω=Ω0
上式表明：当第一类粒子的分布为{a l }，而同时第二类粒子的分布为{a ’l }
时系统的微观态数。

在平衡下两种粒子的最可几分布是对应于在限制条件N a l
l =∑，N a l
l '='∑
E =''+∑∑l
l
l l
l
l a a εε下使()Ω'⋅Ω=Ωln ln 0
为极大的分布。

利用斯特林公
式可得：
()()()[]()()[]
∑∑''+''-'-''-'+--++=Ω'
⋅Ω=Ωl
l l l l l l l l l
l l l l l l l l a a a a a a a a ωωωωωωωωln ln ln ln ln ln ln ln 0由0ln =Ω'⋅Ωδ，得
()()
0ln ln ln ='''-'++=Ω'⋅Ω∑∑
l l l
l l l l
l l l a a a a a a δωδωδ
而由限制条件可得：
0=∑l
l
a
δ，0='∑l
l a δ 0=''+∑∑l l
l l
l l a a δεδε
引入拉氏不定乘子βαα，，'，得
()()0
ln ln ln ='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡'-'-''-'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎪
⎭
⎫
⎝⎛''+-''--Ω'⋅Ω∑∑∑∑∑∑l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l a a a a a a a a a a δεβαωδβεαωδεδεβδαδαδ
根据拉格朗日未定乘子法原理，每个l a δ及l a 'δ的系数都等于零，所以得：
()
0ln
=--+l l
l l a a βεαω1
-=
⇒+l
e
a l
l βεαω ()
0ln
='-'-'
'-'l l l l a a εβαω1
+'
=
'⇒'+'l e a l l εβαω
拉氏不定乘子βαα，，'由限制条件
N a
l
l
=∑，
N a l
l '='∑
E =''+∑∑l
l
l l
l
l a a εε确定。

上式表明，两种粒子分别遵从玻色分布和费米分布，其中α，α'不同，
但β相等。

《第六章 近独立粒子的最概然分布》习题解答
习题6.1试证明，在体积V 内，在ε到εεd +的能量范围内，三维自由粒
子的量子态数为：()εεπεεd m
h V d D 21233
22)(⋅=
证明：∵m
2P 2
=ε
32h d dPd sin V P ),,P (dn ϕ
θθϕθ= （1）
进行变量代换：21
)m 2(P ε=，εεd 2
1)m 2(dP 21
21
-
⋅=
代入（1）式
()3
2
121
h
m 2d d d 21
sin m 2V ),,(dn ⋅⋅=ϕθεεθεϕθε 对ϕθ,积分
()⎰⎰⋅=
ππϕθθεεε0202
12
13)2(sin m d d d h
mV dn ()εεεεπd )(D d m 2h
V 221233=⋅= 证毕。

习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量
范围内，量子态数为：
εεεεd m h L d D 2
1
22)(⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为
x dP h
L
dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222
+
=⋅+==⇒= 于是。

()εεεεd m
h L d D 2+
= 而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D ε
εε2222=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯= 习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量
范围内，量子态数为
()επεεmd h
L d D 22
2=
证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的粒子数。

ϕPdPd h
S dP dP h S dn y x 22==
(s －面积) 因m
P 22
=ε只与P 有关（P >0）,故对ϕ积分可得：
()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==m P h S PdP h S d D 222222ππεε，επd h mS
m 22= ()2
2h
mS D πε=
⇒ (s=L 2
) 习题6.4在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为cp =ε。

试求在体
积V 内，在ε到εεd +的能量范围内能量范围内三维粒子的量子态数。

解：φθθd dpd p h V dp dp dp h V dn z y x sin 2
3
3==
由于cp =ε只与p 有关，与θ、φ无关，于是
⎰⎰=
==ππ
εππφθθεε200
32
2323)(44sin )(hc V dp p h V d dpd p h V d D
以上已经代入了 cdp d cp =⇒=εε
于是， 3
2
)(4)(hc V D επε=
补充习题
1、求一个一维线性谐振子，在εεεd +→的能量范围内粒子可能的状态数
εεd g )(。

解：方法一、用量子力学方法求
一维谐振子的能量本征值为ωε )2
1(+=n n ，能级非 .21/-=ωε n 故
εεεd +→能量范围粒子可能的状态数 εω
εεd dn d g 1
)(==、 ω
ε 1
)(=∴g ； 方法二，用相空间方法求
由测不准关系有h p x X =∆∆，即一个状态对应相空间面 积元的面积为h 。

一维谐
振子、当能量为ε的相轨道为
2222
1
2X m m P X ωε+=
即
1)
/2()
2(2
2
2
2
2=+
ωεεm X m P X
在相空间中能量小于ε的相面积为ωπεωεεπ/2/222=•m m ，能量小于ε+d ε的面积为ωεεπ/)(2∆+；能量在εεε∆+→的相面积为
ωεπωπεωεεπ/2/2/)(2∆=-∆+，
由此得到εεε∆+→能量范围的状态数为
ω
εεω
εωπεε 1
)(,12)(=
∴∆=∆=
∆g h g 2、设有某种气体分子，其能量和动量的关系是cp =ε，其中c 为常量。

试求这种粒子的能量在εεεd +→范围的状态数。

解 首先计算粒子能量小于某一数值ε的状态数 z y z dp p dxdydzdp h ⎰⎰∑= (1)
)(3ε)/(c p ε<
3
3
23
)(344c
h V dp p h
V C
εππε
=
=⎰
在粒子能量εεεd +→范围内的量子态数为
εεπεεεεd h
c V h
d g 332
34)(1)(=∂∂=∑
例如，对于光子气体，C 为光速，且计及光子自旋有两个投影，则得
εεπεεd h
c V
d g 332
8)(=
若将ωεh =代入，得光子频率在ωωωd +→内的量子态数为 ωωπωωd C
V
d g 23
2)(=。