专题2.9 直角三角形斜边的中线五大题型(浙教版)(原卷版)

专题2.9 直角三角形斜边的中线五大题型
【浙教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对直角三角形斜边的中线五大题型的理解！
【题型1直角三角形斜边的中线的证明】
1．（2022春·山东烟台·八年级统考期中）如图，已知△ABC的两条高为BE、CF，M、N分别为BC、EF 的中点．
判断：MN与EF的位置关系并证明．
2．（2023春·湖南·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，CD和CE分别是斜边AB上的中线和高线，F是CD的中点．
(1)求CD的长；
(2)证明：△EDF为等边三角形．
3．（2021秋·浙江温州·八年级校联考期中）证明命题“30°所对直角边等于斜边的一半”是真命题并应用．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
(1)求证：BC=1
AB．
2
(2)点P，Q分别是Rt△ABC边AB，BC上的动点．点P以每秒2个单位的速度从A向B运动，点Q以每秒1个单位的速度从B向C运动．P，Q同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点立即停止运动．连接PQ，若AB＝4，当t为多少秒时，△PQB是直角三角形．
4．（2023春·山西太原·八年级统考期中）我们知道，研究图形性质就是研究其要素以及相关要素之间的关系.按照这一思路，小颖发现了等腰直角三角形有如下性质；等腰直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，请根据图形补全已知、求证中空缺的内容，并证明这一性质．
已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，______ ．
求证：______ ．
5．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题
问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？
丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：
(1)观察发现
①观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．
②根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．
(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ABC面积的最小值等于______．
6．（2023春·四川达州·七年级校考期末）直角三角形有一个非常重要的性质：直角三角形斜边上的中线等
AB．请你利于斜边的一半，比如：如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为斜边AB中点，则CD=AD=BD=1
2
用该定理和以前学过的知识解决下列问题：
如图2，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；
(1)求证：PM=PN；
(2)若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；
(3)如图4，∠BAC=90°，a旋转到与BC垂直的位置，E为AB上一点且AE=AC，EN⊥a于N，连接EC，取EC 中点P，连接PM，PN，求证：PM⊥PN．
7．（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第一中学校考期中）如图，△ABC和△ADE是两个等腰直角三角
形，∠BAC =∠DAE =90°，AB =AC =AD =EA ，BC 与AD 、DE 分别交于点F 、H ，AC 和DE 交于点G ，连接BD ，CE ．
(1)若∠BDA =65°，求∠DAC 的度数；
(2)如图（2）延长BD ，EC 交于点M ，
①证明：A ，M ，H 在同一条直线上；
②若BC =2CM ，证明：BD =HD ．
【题型2 利用直角三角形斜边的中线求线段长度】
1．（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC 交边AC 于点D ，E 是BD 的中点，若AD =4，则CE 的长为（ ）
A
B ．52
C ．2
D ．3
2．（2023春·陕西西安·九年级统考期中）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°，BC =6，点D 为BC 的中点，AE ⊥BC 于点E ，则DE 的长是（ ）
A ．1
B ．32
C ．3
D ．6
3．（2022秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，△ABC 中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．若
AB=11，AC=10，则四边形AEDF的周长为（ ）
A．10.5B．21C．30D．42
4．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜边BC的中点，且
AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE的度数是．
5．（2023春·全国·八年级期中）如图，在△ABC中，过点B作△ABC的角平分线AD的垂线，垂足为F，FG∥AB 交AC于点G，若AB=4，则线段FG的长为．
6．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是AC，BD的中点，EF=7，求AC的长．
7．（2023春·湖南常德·八年级统考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是AC，
BD的中点，EF=7，求AC的长．
8．（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD 相交于点O，M、N分别是边AC、BD的中点．
(1)求证：MN⊥BD；
(2)当∠BCA=15°，AC=10cm，OB=OM时，求MN的长．
【题型3利用直角三角形斜边的中线求角度】
1．（2023春·湖北·八年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，则∠ECD的度数为（）
A．30°B．45°C．22.5°D．60°
2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘,∠ABC=25∘，O为斜边中点，将线段OA绕点O逆时针旋转a(0∘<α<90∘)至OP，若CB=CP，则α的值为（）
A．80∘B．65∘C．50∘D．40∘
3．（2022秋·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知：如图所示，CD是△ABC的中线，∠A=30°，
∠BDC=45°，则∠B=．
4．（2023春·宁夏固原·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是中线，DE⊥AB，DE与CB 交于点E．若∠B=25°，则∠CDE的度数为．
5．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）如图，直线m∥n，Rt△ABC中，∠B=60°，直线m经过斜边AB的中点D和直角顶点C，则∠CEF的度数是．
6．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，点E是Rt△ABC、Rt△BCD的斜边BC的中点，且
AB=AC，∠BCD=20°，分别连接AD，AE，则∠DAE的度数是．
7．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，O是BC中点，∠BAC=∠BDC=90°，
AB=AC，若BC=2AD，则∠DCB=．
8．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P，Q分别为边BC，AC上的点，∠QPC=40°，M为PQ的中点，∠AMC=100°，则∠PCM=°；∠BAM=°．
9．（2022秋·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，已知AE、BD相交于点C，AC=AD，BC=BE，F、G、H 分别是DC、CE、AB的中点．
(1)求证：HF=HG；
(2)∠FHA与∠ABC间有何关系，并说明理由；
(3)∠D=40°，请直接写出∠FHG的度数 ．
【题型4直角三角形斜边的中线与折叠的综合运用】
1．（2023春·全国·八年级专题练习）如图是一张长方形纸片ABCD，点M是对角线AC的中点，点E在BC边上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线AC上的点F处，连接DF，EF．若MF=CD，则∠DAF的度数为（）
A．15°B．16°C．18°D．20°
2．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）如图，△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，点E在AC 边上，将△DCE沿DE折叠至△DFE，AB与FE，FD分别交于G，H两点．若已知AB的长，则可求出下列哪个图形的周长（）
A．△AGE B．△FHG C．四边形DHGE D．四边形BDEG
3．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（ ）
A．60°B．45°C．30°D．25°
4．（2023春·山东威海·九年级校联考期中）在如图所示的Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE．若AE∥DC，∠B=α，则∠EAC等于（）
A．αB．90°−αC．1
αD．90°−2α
2
5．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）如图，直角三角形ABC纸片中，∠ACB=90°，点D是AB边上的中
点，连接CD，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处，此时恰好有CE⊥AB．若CB=1，那么折痕CD的长为．
6．（2021春·北京海淀·八年级北理工附中期中）如图，在四边形ABCD中，AB=12，BD⊥AD．若将△BCD 沿BD折叠，点C与边AB的中点E恰好重合，则四边形BCDE的周长为．
7．（2015春·湖南娄底·八年级统考期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：
（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；
（2）把A折向MN，得Rt△AEB；
（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．
探究：△EBF的形状，并说明理由．
8．（2022春·河南商丘·八年级统考期末）实践与探究题
问题：直角三角形除了三边之间、两个锐角之间有特殊的关系外，斜边上的中线有什么性质呢？
丽丽同学利用直角三角形纸片进行了如下的折叠实验：
(1)观察发现
①观察丽丽同学的折叠实验，你发现线段CD与AB之间有何数量关系？在图（1）所示的Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上中线．请根据图（1）证明你的猜想．
②根据上面的探究，总结直角三角形斜边上的中线性质．
(2)拓展应用：如图（2），CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，若CD＝5，则Rt△ABC面积的最小值等于______．
【题型5利用直角三角形斜边的中线探究线段之间的关系】
1．（2020春·黑龙江鹤岗·八年级校考期中）（1）问题发现：如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，则线段AE、BD的数量关系为_______，AE、BD所在直线的位置关系为________；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A，E，D在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，请判断∠ADB
的度数及线段CM，AD，BD之间的数量关系，并说明理由．
2．（2022秋·重庆·八年级重庆市育才中学校考期末）如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，点M为BC 边上的中点．
(1)如图1，若点D、点E分别为线段AC、AB上的点，且DC=EA，连接MD、ME，求证：ME⊥MD；
(2)如图2，若点D为线段AC上的点，点E为线段AB延长线上的点，且DC=EB，∠AED=30°，连接ED，交BC 于点N，EF是∠AED的角平分线，交AM于点F，连接AN、FD，探究线段AN、FD、AC之间的数量关系，并给出证明．
3．（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）【探究发现】
（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是 ．
【类比应用】
（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．
4．（2019秋·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考期中）已知△ABC与△CEF均为等腰直角三角形，∠ABC ＝∠CFE＝90°，连接AE，点G是AE中点，连接BG和GF．
（1）如图1，当△CEF中E、F落在BC、AC边上时，探究FG与BG的关系；
（2）如图2，当△CEF中F落在BC边上时，探究FG与BG的关系．
5．（2021秋·广东中山·八年级校联考期中）（1）已知，如图1，若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AD=BD，求证：CD=1
AB；
2
（2）由（1）可得出定理：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．试用该定理解决以下问题：
已知：点P是任意△ABC的边AB上一动点（不与A、B重合），点Q是边AB的中点，分别过点A、B向直线CP作垂线垂足分别为E，F．
①如图2，当点P与点Q重合时，探究QE和QF的数量关系；
②如图3，当点P与点Q不重合时，探究QE和QF的数量关系．
6．（2023春·四川达州·七年级统考期末）已知△ABC．
(1)如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出△ABC的中线CD；
②延长CD至E，使DE=CD，连接AE；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）
(2)如图2，若∠ACB=90°,CD是中线．试探究CD与AB之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若∠ACB=45°,AC=BC,CD是△ABC的中线，过点B作BE⊥AC于E，交CD于点F，连接DE．若CF=4，求DE的长．
7．（2023春·江苏苏州·七年级期中）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，点E在直线AB上，ED与直线AC 垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．
(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．
8．（2022春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）（1）【探究发现】如图①，等腰
△ACB，∠ACB =90°，D为AB的中点，∠MDN=90°，将∠MDN绕点D旋转，旋转过程中，∠MDN的两边分别与线段AC、线段BC交于点E、F（点F与点B、C不重合），写出线段CF、CE、BC 之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）【类比应用】如图②，等腰△ACB，∠ACB=120°，D为AB 的中点，∠MDN=60°，将∠MDN 绕点D
旋转，旋转过程中，∠MDN 的两边分别与线段AC、线段BC 交于点E、F（点 F 与点B、C 不重合），直接写出线段CF、CE、BC 之间的数量关系为______；
（3）【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BCD，∠BCD=120°，DAB=60°，过点 A 作AE⊥AC，交CB的延长线于点E，若CB=6，DC=2，则BE 的长为．。