不等式中的百变

重要不等式的变形与引申
吴家华（四川省遂宁中学）
在不等式中，有如下重要不等式： 若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (*)
当且仅当b a =时，等号成立.
说明 不等式(*)中b a ,代表的实数既可以是具体数字，又可以是比较复杂的变量式，因此，应用范围十分广泛.
重要不等式能起两个作用：一是改变不等式的结构形式，将和，积互化；二是在变化的同时将系数放大或缩小成所需形式.
下面我们讨论(*)式的各种变形与引申：
1. 在 (*)中取b a ,分别为b a ,，则可得：
ab b
a ≥+2
)0,0(>>b a ① 这就是基本不等式，也称为均值不等式. 常用于比较代数式的大小，证明不等式和求最值.
在应用均值不等式求最值时，有如下结论：
设+∈R y x ,，S y x =+，P xy =， 则
(1) 如果S 是定值，那么当且仅当y x =时，P 有最大值； （2）如果P 是定值，那么当且仅当y x =时，S 有最小值.
简记为“和定积大，积定和小”.
注意 应用上述结论求最值时，必须满足三个条件：“一正，二定，三相等”. 一正，即y x ,都必须为正数，否则结论不成立；二定，即xy 或y x +为定值，否则无法得出最值；三相等，即y x ,必须能够相等，否则不等式中的“=” 不成立，取不到最值.
将①平方，得：2
)2
(
b a ab +≤（R b a ∈,） ② 将①取倒数，再乘以ab ，可得：
ab b
a ≤+112 ③
将①从字母个数上推广：
3
3
abc c b a ≥++)0,0,0(>>>c b a ④ 一般地，若+∈R a i ，n i ,,2,1 =，则
n
n n a a a n
a a a 2121≥+++. ⑤
2．在 (*)中取b a ,分别为|||,|b a ，则可得： .2||22
2
ab ab b a ±≥≥+（R b a ∈,） ⑥
当且仅当||||b a =时，等号成立.
将⑥两边同除以||ab ，得： 2||≥+b
a
a b ⑦ 或
2≥+b a a b （0>ab ）；2-≤+b
a a
b （0<ab ）. 3．在 (*)式两边同除以2，得：.2
2
2b a ab +≤
⑧ 由⑧可以证明柯西（Cauchy ）不等式：
若R d c b a ∈,,,，则有22222)())((bd ac d c b a +≥++ ⑨ 当且仅当bc ad =时，等号成立.
证明 要证⑨，只需证||))((2
222bd ac d c b a +≥++.
当0<+bd ac 时，显然成立；当0≥+bd ac 时，只需证：
bd ac d c b a +≥++))((2222，即证
.1)
)((2
2
2
2
≤+++d c b a bd ac
)(21)
)((2
222222
22
2
2
2
2
2
d c c b a a d c c b
a a d c
b a a
c +++≤+⋅
+=
++， 同理：).(21))((2222222222d c d b
a b d c b a bd
+++≤++ 相加，得：
.1)(21)
)((222
2222222222222=+++++++≤+++d c d b a b d c c b a a d c b a bd
ac ∴⑨式成立.
注意 柯西（Cauchy ）不等式的证明方法还有：作差比较法，放缩法，判别式法，三角换元法等.
特别地，若+∈R d c b a ,,,，则有2)())((bd ac d c b a +≥++ ⑩ 当且仅当bc ad =时，等号成立.
一般地，若R b a i i ∈,，n i ,,2,1 =，则.)())((
21
1
21
2∑∑∑===≥n
i i i n
i i
n i i b a b
a (11)
当且仅当i i kb a =（n i ,,2,1 =）时，等号成立.
应用柯西（Cauchy ）不等式，可以证明不等式和求最值.
4．在 (*)式两边同加上左边，可得：
2
)(2
2
2
b a b a +≥+（R b a ∈,） (12)
将(12)开平方，可得：)(2
2
2
2b a b a +≥+)0,0(>>b a （13） 应用(13)容易证明：
设0,,>c b a ，则).(2222222c b a a c c b b a ++≥+++++
进一步可得：若+∈R a i ，n i ,,2,1 =，则
).(2212
1223222221n n a a a a a a a a a +++≥++++++
将(12)除以2，再开平方，得：222
2b a b a +≤
+ (14) 由①，③，（14）可得不等式链：
.2
2112
2
2b a b
a a
b b
a +≤+≤≤+ (15) （15）中依次叫做调和平均数，几何平均数，算术平均数和均方平均数，这反映了它们之间的大小关系.
将（12）从字母个数上推广：3
)(2
2
2
2
c b a c b a ++≥++ （16）
进一步有：.)(1
2212
2221n n a a a n
a a a +++≥
+++ （17） 将（12）从次数上推广：2)(3
3
3
b a b a +≥
+)0,0(>>b a （18） 进一步有：2
)(n
n
n
b a b a +≥
+)2,,0,0(≥∈>>n N n b a （19） 5．在 (*)式两边同加上右边，可得： ab b a 4)(2
≥+（R b a ∈,） （20） 将（20）开平方，可得①，即
ab b
a ≥+2
)0,0(>>b a . 将（20）两边同除以)(b a ab +)0,0(>>b a ，可得：
b
a b a +≥+411)0,0(>>b a （21） 即 .4)1
1)((≥++b
a b a )0,0(>>b a （22）
将（22）从字母个数上推广：.9)1
11)((≥++++c
b a
c b a )0,,(>c b a （23）
进一步有：若+∈R a i ，n i ,,2,1 =，则
.)111)(
(22121n a a a a a a n
n ≥++++++ （24） 应用（23）可以证明下面两题：
（1）若0,,>c b a ，则
.2
3
≥+++++b a c a c b c b a （2）已知c b a ,,是三角形的三边长，求证：
.3≥-++-++-+c
b a c
b a
c b a c b a 6．在 (*)式两边同乘以b a +)0(>，可得：
2233ab b a b a +≥+)0,0(>>b a （25）
将（25）从次数上推广：若0,0>>b a ，N n m ∈,，且1≥≥m n ，则
m n m m m n n n b a b a b a --+≥+. (26)
7．在 (*)式两边同除以)0(>b ，可得： b a b a -≥22
)0(>b （27） 应用（27）容易证明：b a a
b b a +≥+2
2)0,0(>>b a 进一步可以证明：若+∈R x i ，n i ,,2,1 =，则
.211
221
32
2221n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 8．将(*)式从字母个数上推广或应用(*)可证得：ca bc ab c b a ++≥++2
22 （28） 由（12），（28）和比较法可得不等式链：
.3
)(22
2
2
ca bc ab c b a c b a ++≥++≥++ (29)
9．将(*)式从字母个数和次数上同时推广，可得：
abc c b a 3333≥++)0,,(>c b a （30）
将（30）中c b a ,,分别取333,,c b a ，则可得③，即
3
3
abc c b a ≥++)0,0,0(>>>c b a 将③平方，得：3
)3
(
c b a abc ++≤ （31） 由②，（31）可推广为：.)(
2121n
n n n
a a a a a a +++≤ （32）。