椭圆及其标准方程(一)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
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a 2 b2 4
解得a 2 10,b2 6.
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
练习（第49页）
1．如果椭圆
+
= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，则点 P 到另一
个焦点的距离为
.
【详解】解：根据椭圆的定义
又椭圆
∴
+
+
+
= ，
是
回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
建立适当的平面直角坐标系
设点
列式
设曲线上任意一点M的坐标为(x, y)
类比这个方法，
我们开始求椭圆
找出限制条件P(M)，并列出几何等式
的标准方程
代换
把坐标代入限制条件P(M) 列出方程
化简
化简方程
新知探究
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单?
2
a
b
2
2
•F
2
O
x
•F
1
椭圆的标准方程:
标准方程
x2
y2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y
y
不
同
点
图
形
•
F1
O
M
•
F2
•F2
O
x
x
•F1
焦点坐标
相
同
点
M
F1 (c,0), F2 (c,0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
=
>
F1
<
F2
不存在
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.
是
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.
不是
(3)到F1(-2,0)、F2(0，2)的距离之和为3的点的轨迹.
y y
y
y
M
y
F2
M
F1
O
O O
OF2
x
方案一
xx x
O
x
F1
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
问题2：如何求椭圆的方程呢？
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建
y
建系
立平面直角坐标系(如图).
M
设点
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的
焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和
= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，
= ，故 = ，故答案： .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.
练习（第49页）
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1） = ， = ，焦点在 x 轴上；（2） = ， = ，焦点在 y 轴上；
（3） + = ， = ．
定 义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
| MF1 | | MF2 | 2a 2c | F1F2 |
a、b、c 的关系
a b 0,且 a 2 b2 c 2 .
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
即时训练
下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？写出焦点坐标.
x2
y2
(1)
1
(4)9x 2 25y 2 225 0
什么是圆锥曲线，圆锥曲线是怎么产生的？
用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角
不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.
我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections).
圆
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳
F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2.
问题5 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的
y
意义同上, 那么椭圆的方程是什么?
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
由于
得方程
| MF1 | x ( y c) , | MF2 | x ( y c)
a
b
由椭圆的定义知c 2,则
5
3 2
5
3 2
2
2
2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10,
2
2
2
2
∴a 10,b2 a2 c2 6.
2
2
x
y
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
你还能用其他方法求
它的标准方程吗?试
比较不同方法的特点.
同特征。
卫星飞行轨迹
鸟巢
新知探究
探究 取一条定长的细绳,把它
的两端都固定在图板的同一点
,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔
尖,这时笔尖(动点）画出的轨
迹是一个圆．如果把细绳的两
端拉开一段距离,分别固定在
图板的两点
，套上铅笔,拉紧绳子,移动
笔尖,画出的轨迹是什么曲线？
思考： 在这一过程中，移动
的笔尖（动点）满足的几何条
2
2
2
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
x ( y c ) x ( y c ) 2a
2
2
2
M
2
2
（问题：下面怎样化简？）
焦点在 x轴 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
x,y交换位置
x
y
2 1(a b 0).
例题讲解
5 3
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是( 2, 0),(2, 0), 并且经过点( , ), 求它的标准方程.
2 2
解2: (待定系数法)
x2 y2
由于椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆方程为 2 2 1 (a b 0).
a
b
9
25
2 2 1
∴ 4a
,
4b
F1 0
等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐
F2
标分别是(c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得: | MF1 | | MF2 | 2a
根据两点间距离公式 | MF1 | ( x c) y , | MF2 | ( x c) y
2
2
2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
= ；
= ；
运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、
卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面....为什么圆锥曲
线有如此广泛的应用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案.
第三章 圆锥曲线的方程
§3.1.1 椭圆及其标准方程（一）
情景引入
观察下面图片，请同学们思考并观察并这些轨迹和物体的共
16
16
2
2
x2
y2
(
5
)
3
x
2
y
1
( 2)
1
25 16
x2
y2
(3) 2 2
1
m
m 1
例题讲解
5 3
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是( 2, 0),(2, 0), 并且经过点( , ), 求它的标准方程.
2 2
解1: (定义法)
x2 y2
由于椭圆的焦点在x轴上,所以可设椭圆方程为 2 2 1(a b 0).
两边再平方，得 a 4 2a 2cx c2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c2 a 2 y 2
整理得
(a c ) x a y a (a c )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
两边除以 a (a c ) 得 22 22
1.
2
2
a
a c
2
2
2
件是什么？
定义：我们把平面内与两个定点1 ，2 的距离的和等于常数(大于|1 2 |)
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两交点间的距离叫做椭
圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
注：1. 是椭圆上任意一点，且|1| + |2| = 常数；
2. 将常数记为2，焦距记为2c，且常数大于焦距，即2 > 2；
2
列式
x
移项
平方
( x c ) y 2a ( x c ) y
2
2
2
化简
2
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
整理得 a 2 cx a ( x c ) 2 y 2
思考：观察图，你能从中找出表示， ， 2 − 2 的线段吗？
|1 | = |2 | = ，|1 | = |2 | = ，|| = 2 − 2 .
令 = || = 2 − 2 ，
a
b
那么方程就是
2 2
+ 2 = 1( > > 0). ⑥
2
【详解】（1） = ， = ，焦点在 x 轴上的椭圆方程为
（2）由 = ， = 可得
+ =
（3 ）联立 =
，解得 = ,
= +
所以标准方程为
+
= − = ，
又焦点在 y 轴上，所以标准方程为
+ = 或
+
= ，
+ = .
(-c,0)
c
(c,0)
我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示
焦点在轴上，两个焦点分别是F1 (c, 0)，F2 (−c, 0)的椭圆，这里 2 = 2 +
2 .
x2 y2
2 1(a b 0)
2
a
b
这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0),
解得a 2 10,b2 6.
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
练习（第49页）
1．如果椭圆
+
= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，则点 P 到另一
个焦点的距离为
.
【详解】解：根据椭圆的定义
又椭圆
∴
+
+
+
= ，
是
回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
建立适当的平面直角坐标系
设点
列式
设曲线上任意一点M的坐标为(x, y)
类比这个方法，
我们开始求椭圆
找出限制条件P(M)，并列出几何等式
的标准方程
代换
把坐标代入限制条件P(M) 列出方程
化简
化简方程
新知探究
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单?
2
a
b
2
2
•F
2
O
x
•F
1
椭圆的标准方程:
标准方程
x2
y2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y
y
不
同
点
图
形
•
F1
O
M
•
F2
•F2
O
x
x
•F1
焦点坐标
相
同
点
M
F1 (c,0), F2 (c,0)
F1 (0, c), F2 (0, c)
=
>
F1
<
F2
不存在
用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆.
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹.
是
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹.
不是
(3)到F1(-2,0)、F2(0，2)的距离之和为3的点的轨迹.
y y
y
y
M
y
F2
M
F1
O
O O
OF2
x
方案一
xx x
O
x
F1
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”
问题2：如何求椭圆的方程呢？
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建
y
建系
立平面直角坐标系(如图).
M
设点
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的
焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和
= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，
= ，故 = ，故答案： .
【点睛】本题主要考查椭圆的定义及简单性质，相对简单.
练习（第49页）
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
（1） = ， = ，焦点在 x 轴上；（2） = ， = ，焦点在 y 轴上；
（3） + = ， = ．
定 义
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
| MF1 | | MF2 | 2a 2c | F1F2 |
a、b、c 的关系
a b 0,且 a 2 b2 c 2 .
焦点位置的判断
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
即时训练
下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？写出焦点坐标.
x2
y2
(1)
1
(4)9x 2 25y 2 225 0
什么是圆锥曲线，圆锥曲线是怎么产生的？
用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角
不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线.
我们通常把圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(conic sections).
圆
椭圆
抛物线
双曲线
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的关系.如行星绕太阳
F2(c,0)的椭圆，这里c2=a2-b2.
问题5 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的
y
意义同上, 那么椭圆的方程是什么?
由椭圆的定义得，限制条件：| MF1 | | MF2 | 2a
由于
得方程
| MF1 | x ( y c) , | MF2 | x ( y c)
a
b
由椭圆的定义知c 2,则
5
3 2
5
3 2
2
2
2a ( 2) ( ) ( 2) ( ) 2 10,
2
2
2
2
∴a 10,b2 a2 c2 6.
2
2
x
y
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
你还能用其他方法求
它的标准方程吗?试
比较不同方法的特点.
同特征。
卫星飞行轨迹
鸟巢
新知探究
探究 取一条定长的细绳,把它
的两端都固定在图板的同一点
,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔
尖,这时笔尖(动点）画出的轨
迹是一个圆．如果把细绳的两
端拉开一段距离,分别固定在
图板的两点
，套上铅笔,拉紧绳子,移动
笔尖,画出的轨迹是什么曲线？
思考： 在这一过程中，移动
的笔尖（动点）满足的几何条
2
2
2
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
x ( y c ) x ( y c ) 2a
2
2
2
M
2
2
（问题：下面怎样化简？）
焦点在 x轴 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
x,y交换位置
x
y
2 1(a b 0).
例题讲解
5 3
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是( 2, 0),(2, 0), 并且经过点( , ), 求它的标准方程.
2 2
解2: (待定系数法)
x2 y2
由于椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆方程为 2 2 1 (a b 0).
a
b
9
25
2 2 1
∴ 4a
,
4b
F1 0
等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐
F2
标分别是(c,0)、(c,0) .
由椭圆的定义得: | MF1 | | MF2 | 2a
根据两点间距离公式 | MF1 | ( x c) y , | MF2 | ( x c) y
2
2
2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
= ；
= ；
运行的轨道是椭圆，发电厂冷却塔的外形线是双曲线，探照灯反射镜面、
卫星接收天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面....为什么圆锥曲
线有如此广泛的应用呢?我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案.
第三章 圆锥曲线的方程
§3.1.1 椭圆及其标准方程（一）
情景引入
观察下面图片，请同学们思考并观察并这些轨迹和物体的共
16
16
2
2
x2
y2
(
5
)
3
x
2
y
1
( 2)
1
25 16
x2
y2
(3) 2 2
1
m
m 1
例题讲解
5 3
例1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是( 2, 0),(2, 0), 并且经过点( , ), 求它的标准方程.
2 2
解1: (定义法)
x2 y2
由于椭圆的焦点在x轴上,所以可设椭圆方程为 2 2 1(a b 0).
两边再平方，得 a 4 2a 2cx c2 x 2 a 2 x2 2a 2cx a 2c2 a 2 y 2
整理得
(a c ) x a y a (a c )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
两边除以 a (a c ) 得 22 22
1.
2
2
a
a c
2
2
2
件是什么？
定义：我们把平面内与两个定点1 ，2 的距离的和等于常数(大于|1 2 |)
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两交点间的距离叫做椭
圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
注：1. 是椭圆上任意一点，且|1| + |2| = 常数；
2. 将常数记为2，焦距记为2c，且常数大于焦距，即2 > 2；
2
列式
x
移项
平方
( x c ) y 2a ( x c ) y
2
2
2
化简
2
( x c ) 2 y 2 4a 2 4a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
整理得 a 2 cx a ( x c ) 2 y 2
思考：观察图，你能从中找出表示， ， 2 − 2 的线段吗？
|1 | = |2 | = ，|1 | = |2 | = ，|| = 2 − 2 .
令 = || = 2 − 2 ，
a
b
那么方程就是
2 2
+ 2 = 1( > > 0). ⑥
2
【详解】（1） = ， = ，焦点在 x 轴上的椭圆方程为
（2）由 = ， = 可得
+ =
（3 ）联立 =
，解得 = ,
= +
所以标准方程为
+
= − = ，
又焦点在 y 轴上，所以标准方程为
+ = 或
+
= ，
+ = .
(-c,0)
c
(c,0)
我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示
焦点在轴上，两个焦点分别是F1 (c, 0)，F2 (−c, 0)的椭圆，这里 2 = 2 +
2 .
x2 y2
2 1(a b 0)
2
a
b
这个方程叫做椭圆的标准方程，它表示焦点在x轴上，两个焦点分别是F1(-c, 0),