八年级下册初中数学华师八下第19章测试卷

单元测试卷
一、选择题
1．矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A ．两组对边分别平行 B ．对角线相等
C ．对角线互相平分
D ．两组对角分别相等
2．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB ，CD 于E ，F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的( ) A.15 B.14 C.13 D.310
第2题图 第3题图
3．如图，在菱形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，若∠BAC ＝50°，则∠ABC 等于( ) A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°
4．正方形ABCD 的面积为36，则对角线AC 的长为( )
A ．6
B ．6 2
C ．9
D ．9 2 5．下列命题中，真命题是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6．四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，AC ⊥BD ，分别过A ，B ，C ，D 作对角线的平行线，所成的四边形EFMN 是( ) A ．正方形 B ．菱形
C ．矩形
D ．任意四边形
7．如图，菱形ABCD 中，∠A ＝60°，周长是16，则菱形的面积是( ) A ．16 B ．16 2 C ．16 3 D ．8 3
第7题图 第9题图 第10题图
8．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，当▱ABCD 的面积最大时，下列结论正确的有( ) ①AC ＝5；②∠A ＋∠C ＝180°；③AC ⊥BD ；④AC ＝BD . A ．①②③ B ．①②④ C ．②③④ D ．①③④
9．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，若AC ＝4，则四边形CODE 的周长为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10
10．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB .下
列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形．其中，正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
二、填空题
11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．
12．如图，延长正方形ABCD 的边BC 至E ，使CE ＝AC ，则∠AFC ＝________．
第12题图 第14题图
13．已知▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件____________使其成为一个菱形(只添加一个即可)．
14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________度时，两条对角线长度相等．
15．如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝45°，则点D 的坐标为____________．
第15题图 第16题图 16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 为斜边AB 上一点，以CD ，CB 为边作平行四边形CDEB ，当AD ＝________时，平行四边形CDEB 为菱形．
17．如图，已知双曲线y ＝k
x (x ＞0)经过矩形OABC 边AB 的中点F ，交BC 于点E ，且四边
形OEBF 的面积为6，则k ＝________．
第17题图 第18题图
18．如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于点F .若AB ＝6，BC ＝10，则FD 的长为________．
三、解答题
19．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AM ⊥BC ，垂足为M ，AN ⊥DC ，垂足为N ，若∠BAD ＝∠BCD ，AM ＝AN ，求证：四边形ABCD 是菱形．
20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．
(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．
21．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.
(1)求证：△ABF≌△CBE；
(2)判断△CEF的形状，并说明理由．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)求证：四边形ADCE为矩形；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．
23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BC的中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求∠CHA的度数．
24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半)
(1)试判断线段BD与CD的大小关系；
(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；
(3)若△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由.
参考答案
一、选择题
1．B 2.B 3.C 4.B 5.C 6.A 7.D 8.B 9.C
10．D 解析：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，故①正确；若∠BAC ＝90°，则平行四边形AEDF 为矩形，故②正确；若AD 平分∠BAC ，
∴∠EAD ＝∠F AD .∵DE ∥CA ，∴∠EDA ＝∠F AD ，∴∠EAD ＝∠EDA ，∴AE ＝DE ，∴平行四边形AEDF 为菱形，故③正确；若AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ，同理可得平行四边形AEDF 为菱形，故④正确，则其中正确的个数有4个．故选D. 二、填空题
11．菱形 12.112.5° 13.AC ⊥BD (答案不唯一) 14．90 15.(2＋2，2) 16.75
17．6 解析：设F ⎝⎛⎭⎫a ，k a ，则B ⎝⎛⎭⎫a ，2k
a ，因为S 矩形ABCO ＝S △OCE ＋S △AOF ＋S 四边形OEBF ， 所以12k ＋12k ＋6＝a ·2k
a
，解得k ＝6.
18.25
6 解析：连接EF ，∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . ∵△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ， ∴AE ＝EG ，BG ＝AB ＝6，∴ED ＝EG . ∵在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EGF ＝90°.
在Rt △EDF 和Rt △EGF 中，⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝EG ，EF ＝EF ，
∴Rt △EDF ≌Rt △EGF (HL)，∴DF ＝FG .设DF ＝x ，则BF ＝BG ＋GF ＝6＋x ，CF ＝CD －DF
＝6－x .
在Rt △BCF 中，BC 2＋CF 2＝BF 2，即102＋(6－x )2＝(6＋x )2，解得x ＝256.即DF ＝25
6.
三、解答题
19．证明：∵AD ∥BC ，∴∠BAD ＋∠B ＝180°.
∵∠BAD ＝∠BCD ，∴∠B ＋∠BCD ＝180°，∴AB ∥CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴∠B ＝∠D .
∵AM ⊥BC ，AN ⊥CD ，∴∠AMB ＝∠AND ＝90°. 在△ABM 与△ADN 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AMB ＝∠AND ，∠B ＝∠D ，AM ＝AN ，
∴△ABM ≌△ADN ，
∴AB ＝AD ，∴四边形ABCD 是菱形． 20．解：(1)如图所示，EF 为所求直线． (2)四边形BEDF 为菱形．理由如下：
∵EF 垂直平分BD ，∴BF ＝DF ，BE ＝DE ，∠DEF ＝∠BEF .
∵四边形ABCD 为矩形，∴AD ∥BC ，∴∠DEF ＝∠BFE ，∴∠BEF ＝∠BFE ，∴BE ＝BF . ∵BF ＝DF ，∴BE ＝ED ＝DF ＝BF ，∴四边形BEDF 为菱形．
21.(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝90°. ∵△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，∴BE ＝BF ，∠EBC ＋∠FBC ＝90°. 又∵∠ABF ＋∠FBC ＝90°，∴∠ABF ＝∠CBE . 在△ABF 和△CBE 中，有⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBE ，BF ＝BE ，
∴△ABF ≌△CBE (SAS)．
(2)解：△CEF 是直角三角形．理由如下：
∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE ＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝180°－∠BFE ＝135°. 又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB ＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF ＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．
22．(1)证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝∠DAC .∵AE 平分∠CAM ，
∴∠CAE ＝∠EAM ，∴∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝1
2
(∠BAC ＋∠CAM )＝90°.
∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ，∴∠ADC ＝∠CEA ＝90°，∴四边形ADCE 为矩形． (2)解：当△ABC 满足∠BAC ＝90°时，四边形ADCE 为正方形．证明如下 ∵∠BAC ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCA ＝45°，∴AD ＝CD . 又∵四边形ADCE 为矩形，∴四边形ADCE 为正方形． 23．解：(1)连接AC ，BD ，并且AC 和BD 相交于点O .
∵AE ⊥BC 且E 为BC 的中点，∴AC ＝AB .∵四边形ABCD 为菱形，∴AB ＝BC ＝AD ＝DC ，AC ⊥BD ∴△ABC 和△ADC 都是正三角形，∴AB ＝AC ＝4. ∴AO ＝1
2AC ＝2，∴BO ＝AB 2－AO 2＝23，
∴BD ＝43，∴菱形ABCD 的面积是1
2
AC ·BD ＝8 3.
(2)∵△ADC 是正三角形，AF ⊥CD ，∴∠DAF ＝30°.∵CG ∥AE ，BC ∥AD ，AE ⊥BC ， ∴四边形AECG 为矩形，∴∠AGH ＝90°，∴∠AHC ＝∠DAF ＋∠AGH ＝120°.
24．解：(1)BD ＝CD .∵AF ∥BC ，∴∠F AE ＝∠CDE .∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . 在△AEF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠F AE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∠AEF ＝∠CED ，
∴△AEF ≌△DEC (ASA)，∴AF ＝CD .
∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD .
(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：
∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．(3)四边形AFBD为菱形，理由如下：
∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD.
同(2)可得四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．。