新人教版高中数学《余 弦 定 理》导学案

余弦定理
1.了解用向量法证明余弦定理的推导过程.
2.掌握余弦定理及其推论.
3.能够利用余弦定理及其推论解三角形.
如图,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道,需要测算隧道通过这座山的长度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置A,量出A到山脚B、C的距离,其中
AB=km,AC=1 km,再利用经纬仪测出A对山脚BC(即线段BC)的张角∠BAC=150°,
你能通过计算求出山脚的长度BC吗?
问题1:上述问题中,山脚BC长度的求解可用余弦定理,余弦定理的内容是什么?
余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即
a2= ;b2= ;c2= .
问题2:余弦定理的推论:cos A= ;cos B= ;cos
C= .
问题3:余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律,也是解三角形的
重要工具.
(1)在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用的观点,可以知三求一.
(2)利用余弦定理可以完成三种情形的斜三角形,分别是①已
知,解三角形;②已知,解三角形;③已
知,解三角形.
问题4:判断三角形的形状
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,
(1)若cos A=cos B,则;
(2)若cos(A-B)=1,则;
(3)若cos A>0⇔⇔A是锐角;
(4)若cos A=0⇔⇔A是直角;
(5)若cos A<0⇔⇔A是钝角.
已知三角形的三边解三角形
在△ABC中,已知a∶b∶c=2∶∶(+1),求△ABC各角的度数.
已知两边及其中一边的对角解三角形
在△ABC中,a=3,b=3,B=30°,解这个三角形.
利用余弦定理判定三角形形状
已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量
m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),且m·n=.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状.
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为.
参考答案
知识体系梳理
问题1:b2+c2-2bc cos A c2+a2-2ac cos B a2+b2-2ab cos C
问题2:---
问题3:(1)方程(2)三边两边及其夹角两边及其一边的对角
问题4:(1)A=B (2)A=B (3)b2+c2-a2>0(4)b2+c2-a2=0(5)b2+c2-a2<0
重点难点探究
探究一:【解析】∵a∶b∶c=2∶∶(+1),
∴令a=2k,b=k,c=(+1)k(k>0),
由余弦定理,得cos A=-==,∴A=45°;
cos B=-==,∴B=60°;
∴C=180°-45°-60°=75°.
【小结】已知三角形三边求角,可先用余弦定理求一个角,再用正弦定理(也可继续用余弦定理)求另一个角,进而求出第三个角.
探究二:【解析】根据余弦定理,得b2=c2+a2-2ca cos B,
即c2-9c+18=0,解得c=3或c=6.
当c=3时,cos A=-=-,
∴A=120°,故C=180°-120°-30°=30°;
当c=6时,cos A=-=,
∴A=60°,故C=180°-60°-30°=90°.
综上所述,A=60°,C=90°,c=6或A=120°,C=30°,c=3.
【小结】已知三角形的两边与一角求第三边,必须先判断该角是给出两边中一边的对角,还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角,可以由余弦定理求第三边;若是给出两边中一边的对角,可以应用余弦定理建立一元二次方程,解方程求出第三边(此题也可以用正弦定理求解).
探究三:【解析】(1)∵m=(4,-1),n=(cos2,cos 2A),
∴m·n=4cos2-cos 2A=4×-(2cos2A-1)=-2cos2A+2cos A+3.
又∵m·n=,∴-2cos2A+2cos A+3=,解得cos A=.∵0<A<π,∴A=π.
(2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bc cos A,且a=,
∴()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc. ①
又∵b+c=2,与①联立,解得bc=3,
∴∴b=c=,
于是a=b=c=,
即△ABC为等边三角形.
【小结】依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时,主要有如下两种方法:
(1)利用正弦、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状;
(2)利用正弦、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用
A+B+C=π这个结论.
全新视角拓展
【解析】由2sin B=3sin C及正弦定理得2b=3c,
即b=c.
又b-c=a,∴c=a,即a=2c.
∴cos A=-=-=-=-.
【答案】-。