2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校高二(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校高二（上）期末数学
试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x +√3y ﹣2＝0的倾斜角为（ ） A ．π
6
B ．π
4
C ．π
3
D ．
5π6
2．在等差数列{a n }中，a 2+a 6+a 10＝120，则a 6＝（ ） A ．70
B ．60
C ．50
D ．40
3．以点A （1，2）为圆心，两平行线x ﹣y +1＝0与2x ﹣2y +7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（ ） A ．（x +1）²+（y +2）²=92
B ．（x ﹣1）²+（y ﹣2）²=
25
8
C ．（x +1）²+（y +2）²=
25
8 D ．（x ﹣1）²+（y ﹣2）²=9
2
4．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝6，S 9＝15，则S 12＝（ ） A ．16
B ．18
C ．20
D ．22
5．两圆（x ﹣2）2+（y +1）2＝4与（x +2）2+（y ﹣1）2＝16的公切线有（ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
6．已知函数f （x ）的导数为f '（x ），若f （x ）＝x 3+3f '（1）x 2+2x ，则f '（2）＝（ ） A ．26
B ．12
C ．8
D ．2
7．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（ ）
A ．OM →
=2OA →
+13
OB →
−OC →
B ．OM →=3OA →−2OB →−2O
C →
C ．OM →
=12OA →+14OB →+13
OC →
D ．OM →
=23OA →+23OB →−13
OC →
8．若存在k ，b ∈R ，使得直线y ＝kx +b 与y ＝lnx ，y ＝x 2+ax 的图象均相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1]
B ．（﹣∞，1]
C ．[﹣1，+∞）
D ．[1，+∞）
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝32，则{a n }的公比可能为（ ） A ．﹣1
B ．﹣2
C ．2
D ．4
10．关于双曲线
x 24
−
y 26
=1与双曲线x 24+t
−
y 26−t
=1（﹣4＜t ＜6），下列说法不正确的是（ ）
A ．实轴长相等
B ．离心率相等
C ．焦距相等
D ．焦点到渐近线的距离相等
11．已知函数f(x)=
lnx
x
，则（ ） A ．f （x ）的极值点为(e ，1
e )
B ．f （x ）的极大值为1
e
C ．f （x ）的最大值为1
e
D ．f （x ）只有1个零点
12．已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点(√2，1
2
)在抛
物线上．则（ ） A ．p ＝1 B ．当AB ⊥y 轴时，|AB |＝4
C ．
1|AF|
+
1
|BF|
为定值1
D ．若AF →
=2FB →
，则直线AB 的斜率为±
√2
4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a →
=(2，1，0)，b →
=(−1，2，1)，且(ma →
+b →
)⊥(a →
+b →
)，则实数m ＝ ． 14．设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和TT n ，且
S n T n
=
7n 9n+4
，则
a 3
b 3
= ．
15．已知函数f （x ）＝ax 2﹣xlnx ，若f （x ）在[e ，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是 ． 16．如图，已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆左焦点F 1的直线与
椭圆C 相交于P ，Q 两点，|QF 2|＝2|PF 2|，cos ∠PF 2Q =1
4
，则椭圆C 的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（10分）已知点A （﹣2，2），B （6，4），H （5，2），H 是△ABC 的垂心． （1）求点C 的坐标；
（2）求△ABC 的外接圆的方程． 18．（12分）已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）倾斜角为45°的直线l 过椭圆的左焦点并交椭圆于M ，N 两点（O 为坐标原点），求△OMN 的面积．
19．（12分）在数列{a n }中，已知a 1＝1，1a n+1
=
2a n
+1．
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设c n ＝（a n +1）•a n +1，求数列{c n }的前n 项和S n ． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+ax ﹣1．
（1）若f （x ）的图像在点（x 0，f （x 0））处的切线经过点（0，0），求x 0； （2）x 1，x 2为f （x ）的极值点，若f （x 1）+f （x 2）＞﹣2，求实数a 的取值范围．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b
2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，一条渐
近线的倾斜角为π
6
，点A(3，−√2)在双曲线C 上．
（1）求双曲线C 的标准方程；
（2）若点M 在直线x =3
2
上，点N 在双曲线C 上，且焦点F 在以线段MN 为直径的圆上，分别记直线
MN ，ON 的斜率为k 1，k 2，求k 1k 2的值． 22．（12分）已知函数f(x)=1
2
x 2−x −aln(x +1)．
（1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）当a ＞0时，若m 为函数f （x ）的正零点，证明：m ＞2√a +1．
2023-2024学年江苏省盐城市大丰区新丰中学等五校高二（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线x+√3y﹣2＝0的倾斜角为（）
A．π
6
B．
π
4
C．
π
3
D．
5π
6
解：直线x+√3y﹣2＝0，即为y=−√3
3x+
2√3
3
，
所以，tanα=−√3
3，α∈[0，π），所以α=
5π
6
．
故选：D．
2．在等差数列{a n}中，a2+a6+a10＝120，则a6＝（）
A．70B．60C．50D．40
解：在等差数列{a n}中，a2+a6+a10＝120，则3a6＝120，解得a6＝40．
故选：D．
3．以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（）
A．（x+1）²+（y+2）²=9
2
B．（x﹣1）²+（y﹣2）²=258
C．（x+1）²+（y+2）²=25
8
D．（x﹣1）²+（y﹣2）²=92
解：∵两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离，
即两平行线2x﹣2y+2＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为
√4+4=
5√2
4
，
∴以点A（1，2）为圆心，两平行线x﹣y+1＝0与2x﹣2y+7＝0之间的距离为半径的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=25
8
，
故选：B．
4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知S3＝6，S9＝15，则S12＝（）
A．16B．18C．20D．22
解：由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6﹣S3，S9﹣S6，S12﹣S9，…，成等差数列，
∵S3＝6，S9＝15，
∴2（S6﹣6）＝6+15﹣S6，解得S6＝11，
2（S 9﹣S 6）＝8＝5+S 12﹣15＝S 12﹣10，解得S 12＝18． 故选：B ．
5．两圆（x ﹣2）2+（y +1）2＝4与（x +2）2+（y ﹣1）2＝16的公切线有（ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
解：根据题意，圆（x ﹣2）2+（y +1）2＝4的圆心为（2，﹣1），半径为2，
圆（x +2）2+（y ﹣1）2＝16的圆心为（﹣2，1），半径为4，圆心距d =√16+4=2√5， 由于4﹣2＜2√5＜4+2，则两圆相交，两圆的公切线只有2条． 故选：B ．
6．已知函数f （x ）的导数为f '（x ），若f （x ）＝x 3+3f '（1）x 2+2x ，则f '（2）＝（ ） A ．26
B ．12
C ．8
D ．2
解：因为f '（x ）＝3x 2+6f '（1）x +2，所以f '（1）＝3×12+6f '（1）×1+2，解得：f '（1）＝﹣1，所以f '（2）＝3×22+6×（﹣1）×2+2＝2． 故选：D ．
7．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M ，A ，B ，C 共面的是（ ）
A ．OM →=2OA →+13
OB →
−OC →
B ．OM →=3OA →−2OB →−2O
C →
C ．OM →
=12OA →+14OB →+13
OC →
D ．OM →
=23OA →+23OB →−13
OC →
解：当M ，A ，B ，C 共面时，不妨设AM →
=λAB →
+μAC →， 变形得到OM →
−OA →
=λ(OB →
−OA →
)+μ(OC →
−OA →
)， 则OM →
=λOB →
−(λ+μ−1)OA →
+μOC →
，
设OM →
=xOA →
+yOB →
+zOC →
，若点M 与点A ，B ，C 共面， 则x +y +z ＝﹣λ﹣μ+1+λ+μ＝1，
只有选项D 中23+23+(−1
3
)=1符合题意．
故选：D ．
8．若存在k ，b ∈R ，使得直线y ＝kx +b 与y ＝lnx ，y ＝x 2+ax 的图象均相切，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1]
B ．（﹣∞，1]
C ．[﹣1，+∞）
D ．[1，+∞）
解：设y ＝lnx 与y ＝x 2+ax 图象上的切点分别为（x 1，lnx 1），(x 2，x 22
+ax 2)，
则过这两点处的切线方程分别为y=x
x1
+lnx1−1，y=(2x2+a)x−x22，
则1
x1
=2x2+a，lnx1−1=−x22，
∴a=e x22−1−2x2，
设f（x）=e x2−1−2x，则f′(x)=2(xe x2−1−1)，
设g(x)=2(xe x2−1−1)，则g′(x)=2(2x2+1)e x2−1＞0，
∴g(x)=2(xe x2−1−1)为单调递增函数，又g（1）＝0，
可得x＜1时，f′（x）＜0，x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴a≥f（1）＝﹣1，可得实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：C．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在等比数列{a n}中，a2＝2，a6＝32，则{a n}的公比可能为（）
A．﹣1B．﹣2C．2D．4
解：因为在等比数列{a n}中，a2＝2，a6＝32，
设等比数列的公比为q，则q4=a1q5
a1q
=
a6
a2
=16，所以q＝±2．
故选：BC．
10．关于双曲线x2
4
−
y2
6
=1与双曲线
x2
4+t
−
y2
6−t
=1（﹣4＜t＜6），下列说法不正确的是（）
A．实轴长相等B．离心率相等
C．焦距相等D．焦点到渐近线的距离相等
解：已知双曲线x2
4
−
y2
6
=1与双曲线
x2
4+t
−
y2
6−t
=1（﹣4＜t＜6），
对于选项A，2a1＝4，2a2=2√4+t，显然实轴长不相等，即选项A错误；
对于选项B，e1=√10
2，e2=√
4+t+6−t
4+t
=√
10
4+t
，显然离心率不相等，即选项B错误；
对于选项C，2c1=2√10，2c2=2√4+t+6−t=2√10，显然焦距相等，即选项C正确；对于选项D，因为b1=√6，b2=√6−t，
由双曲线的性质可得双曲线x2
4
−
y2
6
=1与双曲线
x2
4+t
−
y2
6−t
=1（﹣4＜t＜6）的焦点到渐近线的距离分
别为b1，b2，
又b 1≠b 2，即焦点到渐近线的距离不相等，即选项D 错误， 故选：ABD ． 11．已知函数f(x)=
lnx
x
，则（ ） A ．f （x ）的极值点为(e ，1
e )
B ．f （x ）的极大值为1
e
C ．f （x ）的最大值为1
e
D ．f （x ）只有1个零点
解：∵函数f(x)=lnx x ，x ＞0，∴f ′(x)=1−lnx
x 2
， 由f ′(x)=
1−lnx
x 2
＞0，得x ∈（0，e ），由f '（x ）＜0，得x ∈（e ，+∞）， ∴函数f （x ）在（0，e ）上单调递增，在（e ，+∞）上单调递减，
∴e 是函数f （x ）的极大值点，函数f （x ）在x ＝e 上取得极大值，f(e)=1
e
，
且为f （x ）函数的最大值，故A 错误，BC 正确； 又因为f （1）＝0，且当0＜x ＜1时，f(x)=lnx
x
＜0， 当x ＞1时，f(x)=lnx
x
＞0，故D 正确． 故选：BCD ．
12．已知抛物线C ：x 2＝2py 的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点(√2，1
2
)在抛
物线上．则（ ） A ．p ＝1 B ．当AB ⊥y 轴时，|AB |＝4
C ．
1|AF|
+
1
|BF|
为定值1
D ．若AF →
=2FB →
，则直线AB 的斜率为±
√2
4
解：对于A ，将点（√2，1
2
）代入抛物线方程，可得p ＝2，故A 错误，
对于B ，∵AB ⊥y 轴，∴令y ＝1，则x ＝2或﹣2，∴|AB |＝2+2＝4，故B 正确， 对于C ，设点A ，B 的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），直线AB 的方程为y ＝kx +1， 联立方程{x 2=4y y =kx +1
，化简整理可得，x 2﹣4kx ﹣4＝0，
由韦达定理可得，x 1+x 2＝4k ，x 1x 2＝﹣4，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2＝4k 2
+2，y 1y 2=x 12x 2216
=1， 由抛物线的定义可得，|AF |＝y 1+1，|BF |＝y 2+1， 故
1|AF|
+
1|BF|
=
1y 1+1
+
1y 2+1
=
y 1+y 2+2y 1y 2+y 1+y 2+1
=
y 1+y 2+1y 1+y 2+1
=1，故C 正确，
对于D ，∵AF →
=2FB →
，
∴（﹣x 1，1﹣y 1）＝2（x 2，y 2﹣1），即2x 2＝﹣x 1， ∴{x 1+x 2=4k
x 1x 2=−42x 2=−x 1，解得k ＝±√2
4
，故D 正确．
故选：BCD ．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量a →
=(2，1，0)，b →
=(−1，2，1)，且(ma →
+b →
)⊥(a →
+b →
)，则实数m ＝ −6
5
．
解：a →
=(2，1，0)，b →
=(−1，2，1)，则a →
+b →
=(2，1，0)+(−1，2，1)=(1，3，1)， ma →
+b →
=m(2，1，0)+(−1，2，1)=(2m −1，m +2，1)，
因为(ma →
+b →
)⊥(a →
+b →
)，所以(ma →
+b →
)⋅(a →
+b →
)=2m −1+3(m +2)+1=0，解得m =−6
5
．
故答案为：−6
5
．
14．设两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和TT n ，且S n T n
=
7n 9n+4
，则
a 3
b 3
=
5
7
． 解：由等差数列的性质和求和公式可得S 5T 5
=
2a 32b 3
=
7×5
9×5+4=57
．
故答案为：5
7
．
15．已知函数f （x ）＝ax 2﹣xlnx ，若f （x ）在[e ，+∞）上单调递增，则实数a 的取值范围是 [1
e
，+∞) ．
解：由题意，f ′（x ）＝2ax ﹣（1+lnx ）≥0在[e ，+∞）上恒成立， 即2a ≥
1+lnx x 在[e ，+∞）上恒成立，令g(x)=1+lnx
x
(x ≥e)， g ′(x)=−
lnx
x 2
＜0在[e ，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[e ，+∞）上单调递减， g(x)max =g(e)=2e ，所以2a ≥2e ，解得a ≥1e ，即实数a 的取值范围是[1
e ，+∞)．
故答案为：[1
e
，+∞)．
16．如图，已知椭圆C ：
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过椭圆左焦点F 1的直线与
椭圆C 相交于P ，Q 两点，|QF 2|＝2|PF 2|，cos ∠PF 2Q =1
4，则椭圆C 的离心率为 √105
．
解：设|PF2|＝m，由椭圆的定义及题意可得|PF1|＝2a﹣m，|QF2|＝2m，|QF1|＝2a﹣2m，|PQ|＝|QF1|+|PF1|＝4a﹣3m，
在△PQF2中，cos∠PF2Q=1 4，
由余弦定理可得：cos∠PF2Q=m2+(2m)2−(4a−3m)2
2⋅m⋅2m
=
1
4
，解得m=
4
5
a，
|PF1|=6a
5
，|PF2|=
4a
5
，
所以|PQ|=8a
5
，|QF2|=
8a
5
，则∠QPF2＝∠PF2Q，
可得cos∠QPF2＝cos∠PF2Q=1 4，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2=(4
5
a)2+(6
5
a)2−(2c)2
2⋅4
5
a⋅6
5
a
=
1
4
，
整理可得：2a2＝5c2，可得e=c
a
=√
10
5
．
故答案为：√10 5
．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．（10分）已知点A（﹣2，2），B（6，4），H（5，2），H是△ABC的垂心．（1）求点C的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程．
解：（1）∵点A（﹣2，2），B（6，4），H（5，2），H是△ABC的垂心，
∴k BH=4−2
6−5
=2，
∴k AC=−1
2
=−
1
2
，
∵直线AC过点A（﹣2，2），
∴直线AC的方程为y−2=−1
2
(x+2)，即x+2y﹣2＝0，
∵k AH＝0，
∴BC所在直线与x轴垂直，∵B（6，4），
∴直线BC的方程为x＝6，
联立{x=6
x+2y−2=0，解得x＝6，y＝﹣2，
故点C的坐标为（6，﹣2）．
（2）设△ABC的外接圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），∵A（﹣2，2），B（6，4），C（6，﹣2），
∴{(−2−a)2+(2−b)2=r2
(6−a)2+(4−b)2=r2
(6−a)2+(−2−b)2=r2
，解得a=
5
2
，b＝1，r2=
85
4
，
故△ABC的外接圆的方程为(x−5
2
)2+(y−1)2=
85
4
．
18．（12分）已知椭圆C：x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求△OMN的面积．
解：（1）由题意得，{2a=4
a+c=3
，解得a＝2，c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，
所以椭圆C的标准方程为x2
4
+
y2
3
=1．
（2）由题意知，直线l的斜率为1，左焦点为（﹣1，0），所以直线l的方程为y＝x+1，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立{y=x+1
x2
4
+
y2
3
=1
，得7x2+8x﹣8＝0，
所以x1+x2=−8
7
，x1x2=−
8
7
，
所以|MN|=√1+12•|x1﹣x2|=√2•√(x1+x2)2−4x1x2=√2•√(−8
7
)2+4×
8
7
=
24
7
，
而O到直线MN的距离为d=1
2
=√
2
2
，
故△OMN的面积S=1
2
×
24
7
×√
2
2
=
6√2
7
．
19．（12分）在数列{a n}中，已知a1＝1，
1
a n+1
=
2
a n
+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设c n＝（a n+1）•a n+1，求数列{c n}的前n项和S n．
解：（1）因为
1
a n+1
=
2
a n
+1，
所以
1
a n+1
+1=2(
2
a n
+1)，又
1
a1
+1=2≠0，所以数列{
1
a n
+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
故
1
a n
=2n−1，
故：a n =12n −1； （2）由（1）可知，c n =(a n +1)a n+1
=(12n −1+1)⋅12n+1−1=2n 2n −1⋅12n+1−1=2n
(2n −1)(2n+1−1)=12n −1−12n+1−1； 所以S n =12−1−122−1+122−1−123−1+...+12n −1−12n+1−1=1−12n+1−1
． 20．（12分）已知函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+ax ﹣1．
（1）若f （x ）的图像在点（x 0，f （x 0））处的切线经过点（0，0），求x 0；
（2）x 1，x 2为f （x ）的极值点，若f （x 1）+f （x 2）＞﹣2，求实数a 的取值范围．
解：（1）函数f （x ）＝x 3﹣3x 2+ax ﹣1，求导得f ′（x ）＝3x 2﹣6x +a ，
于是函数f （x ）的图象在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为y ﹣f （x 0）＝f ′（x 0）（x ﹣x 0），
即y =(3x 02−6x 0+a)(x −x 0)+x 03−3x 02+ax 0−1，而切线过点（0，0），
因此−2x 03+3x 02−1=0，整理得(x 0−1)2(2x 0+1)=0，解得x 0＝1或x 0=−12
， ∴x 0＝1或x 0=−12
． （2）由（1）知，方程f ′（x ）＝0，即3x 2﹣6x +a ＝0有两个不等实根x 1，x 2，则Δ＝36﹣12a ＞0，解得a ＜3，
且{x 1+x 2=2x 1x 2=a 3
，于是f(x 1)+f(x 2)=(x 13−3x 12+ax 1−1)+(x 23−3x 22+ax 2−1) =(x 1+x 2)(x 12−x 1x 2+x 22)−3(x 12+x 22)+a(x 1+x 2)−2
=−(x 12+x 22)−2x 1x 2+2a −2=−(x 1+x 2)2+2a −2=2a −6，
由f （x 1）+f （x 2）＞﹣2，得2a ﹣6＞﹣2，解得a ＞2，因此2＜a ＜3，
∴实数a 的取值范围是（2，3）．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 2a 2−y 2
b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，一条渐近线的倾斜角为π6
，点A(3，−√2)在双曲线C 上． （1）求双曲线C 的标准方程；
（2）若点M 在直线x =32
上，点N 在双曲线C 上，且焦点F 在以线段MN 为直径的圆上，分别记直线MN ，ON 的斜率为k 1，k 2，求k 1k 2的值．
解：（1）易知双曲线C 的渐近线为y =±b a
x ，
根据题意可知{b a =√339a 2−2b 2
=1，解之得a 2＝3，b 2＝1， 故双曲线C 的标准方程为x 23−y 2=1；
（2）由（1）可知F （2，0），设M(32
，t)，N(x 0，y 0)，显然x 02−3y 02−3=0， 由题意可知MF ⊥NF ，则MF →⋅NF →
=(12，−t)⋅(2−x 0，−y 0)=1−12
x 0+ty 0=0， 而k 1=y 0−t x 0−32，k 2=y 0x 0， 所以k 1k 2=y 02−ty 0x 02−32x 0=y 02−12x 0+1
3y 02−32x 0+3=13． 22．（12分）已知函数f(x)=12
x 2−x −aln(x +1)． （1）讨论函数f （x ）的单调性；
（2）当a ＞0时，若m 为函数f （x ）的正零点，证明：m ＞2√a +1．
（1）解：函数f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），f ′(x)=x −1−a x+1=x 2−(1+a)x+1
， ①当a +1≤0即a ≤﹣1时，f ′（x ）≥0，函数f （x ）单调递增，此时增区间为（﹣1，+∞），没有减区间；
②当﹣1＜a ＜0时，由0＜√a +1＜1，−1＜−√a +1＜0可得：
函数f （x ）的减区间为(−√a +1，√a +1)，增区间为(−1，−√a +1)，(√a +1，+∞)； ③当a ≥0时，由√a +1≥1，−√a +1≤−1可得：
函数f （x ）的减区间为(−1，√a +1)，增区间为（√a +1，+∞）；
（2）证明：当a ＞0时，由f （0）＝0及函数f （x ）的减区间为(−1，√a +1)，增区间为(√a +1，+∞)， 可知m ＞2√a +1，等价于f(m)＞f(2√a +1)，
又由f （m ）＝0，等价于证明f(2√a +1)＜0，
又由f(2√a +1)=2(a +1)−2√a +1−aln(2√a +1+1)，
令t =2√a +1(t ＞2)，有a =t 2−44
， 可得f(t)=t 22−t −t 2−44ln(t +1)=t(t−2)2−(t+2)(t−2)4
ln(t +1) =14(t −2)[2t −(t +2)ln(t +1)]=14(t −2)(t +2)[2t t+2
−ln(t +1)]， 令g(x)=2x x+2
−ln(x +1)(x ≥2)，
则g′(x)=
4
(x+2)2
−
1
x+1
=−
x2
(x+1)(x+2)2
＜0，
可得函数g（x）单调递减，则g（x）≤g（2）＝1﹣ln3＜0，
可得当t＞2时，
2t
t+2
−ln(t+1)＜0，
故有f(2√a+1)＜0，即m＞2√a+1得证．。