次摆线

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弧形的长度可以由下面的式子计算出：
其它相关联的曲线
一些曲线同摆线紧密相关。当我们弱化定点只能固定在圆边界上时，我们得到了短摆线（curtate cycloid） 和长摆线（prolate cycloid），两者合称为次摆线（trochoid），前面的情形是定点在圆的内部，后者则是在 圆外。次摆线则是上述三种曲线的统称。更进一步，如果我们让圆也沿着一个圆滚动而不是直线的话，我们会得 到外摆线（epicycloid，沿着圆的外部运动，定点在圆的边缘），内摆线（hypocycloid，沿着圆内部滚动，定 点在圆的边缘）以及外旋轮线（epitrochoid）和内旋轮线（hypotrochoid，定点可以在圆内的任一点包括边 界。）
次摆线的参数方程为：
其中基线所在的为x轴，为动圆滚过的角度，a为动圆半径，b为定点与圆心之间的距离。当定点处于圆周上 时（b=a）所得到的即为摆线。当定点位于圆外（b>a）或圆内（b
一个一般的方法将一个次摆线定义为一个点的轨迹围绕位于的轴线以恒定的速率绕轨道运行， 或者一个圆形轨道，
摆线
历史 方程式
面积 弧长
摆线的研究最初开始于库萨的尼古拉，之后马兰·梅森也有针对摆线的研究。1599年伽利略为摆线命名。 1634年吉勒斯·德·罗贝瓦勒指出摆线下方的面积是生成它的圆面积的三倍。1658年克里斯多佛·雷恩也向人们 指出摆线的长度是生成它的圆直径的四倍。在这一时期，伴随着许多发现，也出现了众多有关发现权的争议，甚 至抹杀他人工作的现象，而因此摆线也被人们称作“几何学中的海伦”（The Helen of Geometers）。
次摆线
数学术语
目录
01 定义
03 其它相关联的曲线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
02 摆线
次摆线又称长(短)幅旋轮线，指一个动圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时，动圆外或动圆内一定点的轨迹。
定义
简介
一般说明
次摆线（英语：trochoid），又称为余摆线、变幅摆线，是指当一个圆沿一条给定直线滚动时，固定在圆所 在平面内一定点经过的轨迹。摆线是最常见的一种次摆线。
过原点半径为r的摆线参数方程为： 在这里实参数t是在弧度制下，圆滚动的角度。对每一个给出的t，圆心的坐标为(rt, r)。通过替换解出t可 以求的笛卡尔坐标方程为： 摆线的第一道拱由参数t在(0, 2π)区间内的点组成。 摆线也满足下面的微分方程：
一条由半径为r的圆所生成的拱形面积可以由下面的参数方程界定： 微分： 于是可以求得：