北京市三十一中学2022-2023学年数学九上期末质量检测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．计算
x y
x y y x
+
--
得（）
A．1 B．﹣1 C．
+
-
x y
x y
D．
x y
x y
-
+
2．下列语句中，正确的是（）
①相等的圆周角所对的弧相等；②同弧或等弧所对的圆周角相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；
④圆内接平行四边形一定是矩形．
A．①②B．②③C．②④D．④
3．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（）
A．（1，﹣3）B．（1，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，﹣3）
4．如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，以点O为位似中心，将ABC放大得到DEF．若AD OA
=，则ABC与DEF的位似比为（）．
A．1:2B．2:1C．1:4D．4:1
6．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点
A所经过的路径长为()
A．10πB．10 3
C．10
3
πD．π
7．若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k≥0B．k＞0且k≠1C．k≤0且k≠﹣1 D．k＞0
8．下列图形中不是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD= ∠BCD，则∠A的度数为（）
A．60°B．70°C．50°D．45°
10．下列事件中必然发生的事件是（）
A．一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等
B．不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式
C．200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品
D．随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数
11．与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（）
A．三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点
D．三边的垂直平分线的交点
12．在平面直角坐标系中，把抛物线y =2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为( )
A ．y =2(x ﹣1)2﹣2
B ．y =2(x +1)2﹣2
C ．y =﹣2(x ﹣1)2﹣2
D ．y =﹣2(x +1)2﹣2 二、填空题（每题4分，共24分）
13．将抛物线2y x 向下平移5个单位，那么所得抛物线的函数关系是________．
14．在函数y ＝42x x --+（x ﹣5）﹣1中，自变量x 的取值范围是_____． 15．如图，点A 是函数8(0)y x x =>图象上的一点，连接AO ，交函数2(0)y x x
=>的图象于点B ，点C 是x 轴上的一点，且AC AO =，则ABC ∆的面积为_________.
16．如图，在边长为1的正方形网格中，()()1,14,4A B ，．线段AB 与线段CD 存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为__________．
17．如图，平面直角坐标系中，等腰Rt ABC ∆的顶点.A B 分别在x 轴、y 轴的正半轴, 90,ABC =∠CA x ⊥轴, 点C 在函数()0k y x x
=>的图象上.若2,AB =则k 的值为_____．
18．抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，双曲线m y x
=经过点()3,1P ，且与直线()20y kx k =-<有两个不同的交点．
（1）求m的值；
（2）求k的取值范围．
20．（8分）如图，▱ABCD中，点E，F分别是BC和AD边上的点，AE垂直平分BF，交BF于点P，连接EF，PD．（1）求证：平行四边形ABEF是菱形；
（2）若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．
21．（8分）如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是9.6 m
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
22．（10分）已知：如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，∠AED=∠B．
（1）求证：△ABE∽△DEA；
（2）若AB=4，求AE•DE的值．
23．（10分）为了解某校九年级学生立定跳远水平，随机抽取该年级50名学生进行测试，并把测试成绩（单位：m）绘制成不完整的频数分布表和频数分布直方图．
学生立定跳远测试成绩的频数分布表 分组 频数 1.2≤x ＜1.6
a 1.6≤x ＜2.0
12 2.0≤x ＜2.4
b 2.4≤x ＜2.8
10
请根据图表中所提供的信息，完成下列问题：
（1）表中a= ，b= ，样本成绩的中位数落在 范围内；
（2）请把频数分布直方图补充完整；
（3）该校九年级共有1000名学生，估计该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x ＜2.8范围内的学生有多少人？
24．（10分）化简：()2111x x ⎛⎫-÷- ⎪+⎝⎭
，并从11x -中取一个合适的整数x 代入求值. 25．（12分）如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD ＝∠B ，AB ＝5，AD ＝3，求AC 的长．
26．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，高为74米，为测量居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．
（1）求∠ACB 的度数；
（2）求小明家所在居民楼与大厦之间的距离．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34
，sin48°≈710，cos48°≈711，tan48°≈1110
）
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】根据题意对原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】解：x y x y y x
+-- x y x y x y
=--- x y x y -=
- =1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查分式的加减法，熟练掌握分式的加减法运算法则是解答本题的关键．
2、C
【分析】根据圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理判断．
【详解】①在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，本说法错误；
②同弧或等弧所对的圆周角相等，本说法正确；
③平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，本说法错误；
④圆内接平行四边形一定是矩形，本说法正确；
故选：C ．
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握圆周角定理、垂径定理、圆内接四边形的性质定理是解题的关键．
3、D
【解析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y ＝﹣（x+1）2﹣3的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
4、B
【分析】根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC 的面积即为阴影部分的面积的3倍.
【详解】∵△ABC 的三条中线AD 、BE ，CF 交于点G ，
∴S △CGE =S △AGE =
13S △ACF ，S △BGF =S △BGD =13
S △BCF ， ∵S △ACF =S △BCF =12S △ABC =12
×12=6， ∴S △CGE =13S △ACF =13×6=2，S △BGF =13S △BCF =13×6=2， ∴S 阴影=S △CGE +S △BGF =1．
故选：B .
【点睛】
此题主要考查根据三角形中线性质求解面积，熟练掌握，即可解题.
5、A
【解析】以点O 为个位中心，将ABC 放大得到DEF ，AD OA =，可得::1:2AB DE OA OD ==，因此ABC 与DEF 的位似比为1:2，故选A.
6、C
【详解】如图所示：
在Rt △ACD 中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：2210AD CD +
又将△ABC 绕点C 顺时针旋转60°，
则顶点A 所经过的路径长为601010π⨯=． 故选C.
7、B
【解析】根据一元二次方程定义，首先要求20ax bx c ++=的二次项系数不为零,再根据已知条件,方程有两个不相等的实数根,令根的判别式大于零即可.
【详解】解:由题意得, 10k -≠
解得, 1k ≠;
且240b ac ∆=->,
即()22410k +->, 解得0k >.
综上所述, 0k >且1k ≠.
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义和根的判别式,理解掌握定义,熟练运用根的判别式是解答关键.
8、B
【分析】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】A 、C 、D 都是中心对称图形；不是中心对称图形的只有B ．
故选B ．
【点睛】
本题属于基础应用题，只需学生熟知中心对称图形的定义，即可完成．
9、A
【分析】根据圆内接四边形的性质，构建方程解决问题即可．
【详解】设∠BAD=x，则∠BOD=2x，
∵∠BCD=∠BOD=2x，∠BAD＋∠BCD=180°，
∴3x=180°，
∴x=60°，
∴∠BAD=60°.
故选：A．
【点睛】
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
10、C
【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案．
【详解】A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故此选项错误；
B、不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误；
C、200件产品中有5件次品，从中任意抽取6件，至少有一件是正品，是必然事件，故此选项正确；
D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误；
故选C．
【点睛】
此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解题关键．
11、D
【分析】可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B 点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得．
【详解】解：如图：
∵OA＝OB，∴O在线段AB的垂直平分线上，
∵OB＝OC，∴O在线段BC的垂直平分线上，
∵OA＝OC，∴O在线段AC的垂直平分线上，
又三个交点相交于一点，
∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是熟知线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等．
12、C
【分析】抛物线y =1x 1绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x ，y ）变为（-x ，-y ），代入可得抛物线方程，然后根据左加右减的规律即可得出结论．
【详解】解：∵把抛物线y =1x 1绕原点旋转180°，
∴新抛物线解析式为：y =﹣1x 1，
∵再向右平移1个单位，向下平移1个单位，
∴平移后抛物线的解析式为y =﹣1(x ﹣1)1﹣1．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、25y x =-
【分析】先确定抛物线y=2x 2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律写出平移后顶点坐标，然后利用顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：2y x 的顶点坐标为(0,0)，把点(0,0)向下平移5个单位得到的对应点的坐标为(0,5)-，所以平移后的抛物线的解析式是25y x =-．
故答案为：25y x =-．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
14、x ≥4且x ≠1
【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x 的取值范围．
【详解】解：由题可得，402050x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪-≠⎩，
解得425x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪≠⎩
，
∴x ≥4且x ≠1，
故答案为：x ≥4且x ≠1．
【点睛】
本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．
15、4
【分析】作AE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D 得出△OBD ∽△OAE ，根据面积比等于相似比的平方结合反比例函数的几何意义求出12OD OE =，再利用条件“AO=AC”得出14OD OC =，进而分别求出OBC S 和OAC S 相减即可得出答案.
【详解】
作AE ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点D
∴△OBD ∽△OAE
∴2OBD OAE S OD OE S ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 根据反比例函数的几何意义可得：4OAE S
=，1OBD S = ∴12
OD OE = ∵AO=AC
∴OE=EC
∴14
OD OC = ∴4OBC S
=，8OAC S = ∴4ABC OAC OBC S S S =-=
故答案为4.
【点睛】
本题考查的是反比例函数与几何的综合，难度系数较大，需要熟练掌握反比例函数的几何意义.
16、()3,5或()5,2
【分析】根据旋转后的对应关系分类讨论，分别画出对应的图形，作出对应点连线的垂直平分线即可找到旋转中心，最后根据点A 的坐标即可求结论．
【详解】解：①若旋转后点A 的对应点是点C ，点B 的对称点是点D ，连接AC 和BD ，分别作AC 和BD 的垂直平分线，两个垂直平分线交于点O ，根据垂直平分线的性质可得OA=OC ，OB=OD ，故点O 即为所求，
∵()1,1A ，
∴由图可知：点O 的坐标为（5,2）；
②若旋转后点A 的对应点是点D ，点B 的对称点是点C ，连接AD 和BC ，分别作AD 和BC 的垂直平分线，两个垂直平分线交于点O ，根据垂直平分线的性质可得OA=OD ，OB=OC ，故点O 即为所求，
∵()1,1A ，
∴由图可知：点O 的坐标为()3,5
综上：这个旋转中心的坐标为()3,5或()5,2
故答案为：()3,5或()5,2．
【点睛】
此题考查的是根据旋转图形找旋转中心，掌握垂直平分线的性质及作法是解决此题的关键．
17、4
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AC 的值，根据等面积法求出OA 的值，OA 和AC 分别是点C 的横纵坐标，又点C 在反比例函数图像上，即可得出答案.
【详解】∵△ABC 为等腰直角三角形，AB=2
∴BC=2，2222AC BC AB =+=1122
BC AB OA AC ⨯⨯=⨯⨯
11
2222
OA ⨯⨯=⨯⨯
解得：
∴点C 的坐标为 又点C 在反比例函数图像上
∴4k ==
故答案为4.
【点睛】
本题考查的是反比例函数，解题关键是根据等面积法求出点C 的横坐标.
18、（﹣2，1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y ＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
三、解答题（共78分）
19、（1）m =3；（2）﹣13
＜k ＜1 【分析】（1）将点P 的坐标代入m y x =
中，即可得出m 的值； （2）联立反比例函数与一次函数的解析式，消去y 得到关于x 的一元二次方程，根据根的判别式大于1列出不等式，进而即可求得k 的取值范围．
【详解】解：（1）∵双曲线y =
m x 经过点P （3，1）， ∴m =3×
1=3； （2）∵双曲线y =
3x 与直线y =kx ﹣2（k ＜1）有两个不同的交点， ∴当3x
=kx ﹣2时，整理为：kx 2﹣2x ﹣3=1， △=（﹣2）2﹣4k •（﹣3）＞1，
∴k ＞﹣13
， ∴k 的取值范围是﹣
13＜k ＜1． 【点睛】
本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，解答本题的关键是理解反比例函数与一次函数由两个交点时，联立解析式消去y得到的关于x的一元二次方程有两个实数根，即 ＞1．
20、（1）详见解析；（2）tan∠ADP＝．
【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质即可得到结论；
（2）作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，得到AB＝AF＝4，∠ABF＝∠ADB＝30°，AP⊥BF，从而得到PH＝，DH＝5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】（1）证明：∵AE垂直平分BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∴∠FAE＝∠AEB，
∴∠AEB＝∠BAE，
∴AB＝BE，
∴AF＝BE．
∵AF∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）解：作PH⊥AD于H，
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝4，
∴AB＝AF＝4，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，
∴AP＝AB＝2，
∴PH＝，DH＝5，
∴tan∠ADP＝＝．
【点睛】
本题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．21、（1）18；（2）3.6
【分析】（1）依题意得到△APM∽△ABD，得到MP AP
BD AB
=再由它可以求出AB；
（2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他在路灯AC的影子长，容易知道△EBF∽△CAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子．
【详解】解：(1)由对称性可知AP＝BQ，设AP＝BQ＝x m，
∵MP∥BD，
∴△APM∽△ABD，
∴MP AP BD AB
=，
∴1.6
9.6
＝
212
x
x+
，
解得x＝3，
∴AB＝2x＋12＝18(m)，即两个路灯之间的距离为18米
(2)设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC下的影子长，
设BF＝y m，
∵BE∥AC，
∴△FEB∽△FCA，
∴BE BF
AC FA
=，即
1.6
9.6
＝
18
y
y+
，
解得y＝3.6，
当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长3.6米．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的应用，两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例．
22、（1）见解析；（2）2
【解析】试题分析：（1）根据菱形的对边平行，可得出∠1=∠2，结合∠AED=∠B即可证明两三角形都得相似．（2）
根据（1）的结论可得出AE AB
DA DE
=，进而代入可得出AE•DE的值．
试题解析：（1）如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC．∴∠1=∠2. 又∵∠B=∠AED，∴△ABE∽△DEA．
（2）∵△ABE∽△DEA，∴AE AB
DA DE
=.∴AE•DE=AB•DA．
∵四边形ABCD是菱形，AB=1，∴AB=DA=1．
∴AE•DE=AB2=2．
考点：1.菱形的性质；2.相似三角形的判定和性质．
23、（1）8，20，2.0≤x＜2.4；（2）补图见解析；（3）该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生有200人．【解析】（1）根据题意和统计图可以求得a、b的值，并得到样本成绩的中位数所在的取值范围；
（2）根据b的值可以将频数分布直方图补充完整；
（3）用1000乘以样本中该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x＜2.8范围内的学生比例即可得.
【详解】（1）由统计图可得，
a=8，b=50﹣8﹣12﹣10=20，
样本成绩的中位数落在：2.0≤x＜2.4范围内，
故答案为：8，20，2.0≤x＜2.4；
（2）由（1）知，b=20，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）1000×1050
=200（人）， 答：该年级学生立定跳远成绩在2.4≤x ＜2.8范围内的学生有200人．
【点睛】本题考查了频数分布表、频数分布直方图、中位数等，读懂统计图与统计表，从中找到必要的信息是解题的关键.
24、-x-1，-1.
【分析】先将原分式化简，然后根据分式有意义的条件代入适当的值即可.
【详解】解：原式()2111x x x --⎛⎫=-÷ ⎪+⎝⎭
()111x x x -⎛⎫=-÷ ⎪+⎝⎭
()111x x x +⎛⎫=-⋅- ⎪-⎝⎭
1x =--
当0x =时（x 不能取－1或1，否则无意义）
原式1=-.
【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解决此题的关键.
2515【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】∵∠ACD ＝∠ABC ，∠A ＝∠A ，
∴△ACD ∽△ABC ， ∴AD AC AC AB
=， ∵AB ＝5，AD ＝3，
∴
3
AC
＝
AC
5
，
∴AC2＝15，
∴AC
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键在于熟记各种判定方法，难点在于找对应边．
26、（1）85°；（2）小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
【分析】（1）结合图形即可得出答案；
（2）利用所给角的三角函数用CD表示出AD、BD；根据AB＝AD+BD＝74米，即可求得居民楼与大厦的距离．【详解】解：（1）由图知∠ACB＝37°+48°＝85°；
（2）设CD＝x米．
在Rt△ACD中，tan37°＝AD CD
，
则3
4
＝
AD
x
，
∴AD＝3
4
x；
在Rt△BCD中，
tan48°＝BD
CD
，则
11
10
＝
BD
x
，
∴BD＝11
10
x．
∵AD+BD＝AB，
∴3
4
x+
11
10
x＝74，
解得：x＝40，
答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度是40米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。