2019届全国高三原创精准冲刺试卷(三十二)文科数学

2019届全国高三原创精准冲刺试卷（三十二）文科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（每小题5分，共60分）1．若A={y|y =√4−x 2}，B ={x|y =√4−x 2}，则（ ） A ． A=B B ． A ∩B =∅ C ． A ⊆B D ． B ⊆A2．下列()f x 说法错误的是（ ）A ． “函数)(x f 为奇函数”是“()00f =”的充分不必要条件B ． 已知AB C 、、三点不共线，若=++,则点P 是△ABC 的重心C ． 命题“0x R∃∈，0sin 1x ≥”的否定是：“x R ∀∈， sin 1x <”D ． 命题“若3πα=，则1cos 2α=”的逆否命题是：“若1cos 2α≠，则3πα≠”3．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1=1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则a 7=（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 14 D ． 154．已知函数()223log ,0{1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为（ ）A ．[]1,1- B ． (](),20,4-∞-⋃ C ． []2,4- D ． ][(,20,4⎤-∞-⋃⎦5．若平面向量a →=(1,x )和b →=(2x +3,−x )互相平行，其中x ∈R ，则|a →−b →|=（ ） A ． 2√5 B ． 2或2√5 C ． −2或0 D ． 2或106．已知函数y =f(x)的周期为2，当x ∈[0,2]时，f(x)=(x −1)2，如果g(x)=f(x)−log 5|x −1|，则函数g(x)的所有零点之和为（ ）A ． 8B ． 6C ． 4D ． 107．曲线y =alnx −2(a >0)在x =1处的切线与两坐标轴成的三角形的面积为4，则a 的值为 A ． √2 B ． 8 C ． 4 D ． 28．已知非零向量a ⃑ ,b ⃑ ，满足|a ⃑ |=2|b ⃑ |，若函数131)(23+•+=x b a x x f 在R 上存在极值，则a ⃑ 和b ⃑ 夹角的取值范围为（ ）A ． [0， π6)B ． (π3， π]C ． (π3，2π3] D ． [π3,π]9．已知函数)3sin(sin 2)(ϕ+=x x x f 是奇函数，其中φ∈(0,π2) ，则函数)2cos()(ϕ-=x x g 的图象（ ）A ． 可由函数f （x ）的图象向右平移π6 个单位得到 B ． 可由函数f （x ）的图象向左平移π3个单位得到C ． 关于点(π12,0) 对称D ． 关于轴x =−5π12对称10．已知函数))(()(R m m x e x f x∈-=，若对∀x ∈(2,3)，使得0)()(>'+x f x x f ，则实数m 的取值范围为（ ）A ． (−∞,154] B ． (−∞,83] C ． [154,+∞) D ． [83,+∞) 11．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ． 73 B ．83C ．8−π3D ．7−π312．定 义 ： 如 果 函 数()f x 在[],a b 上 存 在1x 、212()x a x x b <<<, 满 足()()()()()()12,f b f a f b f a f x f x b ab a--''==--，则称函数()f x 是[],a b 上的“双中值函数”.已知函数()3213f x x x a =-+是[]0,a 上“双中值函数”，则实数a 的取值范围( ) A ． (1,3) B ． 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭ D ．331,,322⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题（每小题5分，共20分）13．设非零向量a⃑，b⃑ 满足a⃑⊥(a⃑+b⃑ )，且|b⃑ |=√2|a⃑|，则向量a⃑与b⃑ 的夹角为__________．14．数列{a n}的首项a1=2，且a n+1=3a n+2(n∈N∗)，令b n=log3(a n+1)，则b1+b2+⋯+b2018=______．201815．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，AA1=AC=5,AB=3,BC=4，则阳马C1−ABB1A1的外接球的表面积是__________．16．已知定义在R上的偶函数，f(x)在[0，+∞）上递减，若不等式f(−ax+lnx+1)+f(ax−lnx−1)≥2f(1)对x∈[1,3)恒成立，则实数a的取值范围是__________.三、解答题（共70分）17．（本小题12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=3，6，B=2A．（1）求cosA的值；（2）求边c的值.18．（本小题12分）已知A，B，C为锐角△ABC的三个内角，向量m⃑⃑⃑ =(2−2sinA,cosA+sinA)，n⃑=(1+sinA,cosA−sinA)，且m⃑⃑⃑ ⊥n⃑.（1）求A的大小；−2B)取最大值时角B的大小.（2）求y=2sin2B+cos(2π319．（本小题12分）已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，其中a1=b1=1，a2+b3=a4，a3+b4=a7.（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；(a1+a2+⋯+a n)(b1+b2+⋯+b n)，求数列{c n}的前n项和S n.（Ⅱ）记c n=1n20．（本小题12分）已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为菱形，PD=PB,H为PC上的点，过AH的平面分别交PB,PD于点M,N，且BD//平面AMHN．（1）证明：MN⊥PC；（2）当H为PC的中点，PA=PC=√3AB，PA与平面ABCD所成的角为60°，求二面角P−AM−N的余弦值．21．（本小题12分）已知函数()1a lnxf x lnx x x =+++，且曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线与直线40x y -+=平行.(1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性；(3)求证：当1x >时，()1121x x f x e e xe -+>+.22．（本小题10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)0(cos 2sin 2>+=a a θθρ；直线l 的参数方程为{x =−2+√22t,y =√22t（t 为参数），直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为(2,π)，|PM |+|PN |=5√2，求a 的值.数学(参考答案)一、选择题CABCB ADBDB CB二、填空题13.43π 14. 2201915.π50 16.[1e,2+ln33]三、解答题17.解：( 1）由正弦定理可得，即：3sin A =∴3sin A =∴cos A =（2由（1）cos A =，且0180A ︒<<︒∴sin A ===∴sin sin22sin cos 2333B A A A ===⨯=，221cos cos22cos 12133B A A ⎛==-=⨯-= ⎝⎭∴()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦=sin cos cos sin A B A B +=133339+⨯=.由正弦定理可得： sin sin c aC A =，∴3sin 5sin a Cc A===18.解：（1）∵m ⃑⃑⃑ ⊥n ⃑∴(2−2sinA)(1+sinA)+(cosA +sinA)(cosA −sinA)=0即2(1−sin 2A)=sin 2A −cos 2A 即2cos 2A =1−2cos 2A ，即cos 2A =14 ∵△ABC 是锐角三角形 ∴cosA =12即A =π3（2）∵△ABC 是锐角三角形，且A =π3 ∴π6<B <π2 ∴y =2sin 2B +cos(2π3−2B) =1−cos2B −12cos2B +√32sin2B =√32sin2B −32cos2B +1=√3sin(2B −π3)+1当y =2sin 2B +cos(2π3−2B)取最大值时，2B −π3=π2，即B =512π. 19.解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q由a 1=b 1=1，得a n =1+(n −1)d ，b n =q n−1 由a 2+b 3=a 4，a 3+b 4=a 7，得q 2=2d ，q 3=4d∴d =q =2 ∴{a n }的通项公式a n =2n −1，{b n }的通项公式b n =2n−1 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得a 1+a 2+⋯+a n =n 2，b 1+b 2+⋯+b n =2n −1 故c n =1n n 2(2n −1)=n ⋅2n −n则S n =(1×2+2×22+⋯+n ⋅2n )−(1+2+⋯+n ) 令T n =1×2+2×22+3×23+⋯+n ⋅2n ① 则2T n =1×22+2×23+3×24+⋯+n ⋅2n+1②由②-①，得T n =n ⋅2n+1−(2+22+23+⋯+2n ) =(n −1)⋅2n+1+2 ∴S n =(n −1)⋅2n+1+2−(1+2+⋯+n )= (n −1)⋅2n+1−n (n+1)2+220.（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD =PB ，所以PO ⊥BD ，因为AC ∩PO =O 且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC ．因为BD//平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ∩平面PBD =MN ， 所以BD//MN ，所以MN ⊥PC ．（2）由（1）知BD ⊥AC 且PO ⊥BD ，因为PA =PC ，且O 为AC 的中点， 所以PO ⊥AC ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO ，所以，所以AO =12PA, PO =√32PA ，因为PA =√3AB ，所以BO =√36PA ． 分别以OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ， OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ， OP⃑⃑⃑⃑⃑ 为x,y,z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA =2，则O (0,0,0), A (1,0,0), B (0,√33,0), C (−1,0,0), D (0,−√33,0), P(0,0,√3), H (−12,0,√32)， 所以DB⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2√33,0),AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−32,0,√32),AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,√33,0),AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,0,√3)． 记平面AMHN 的法向量为n 1⃑⃑⃑⃑ =(x 1,y 1,z 1)，则{n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2√33y 1=0n 1⃑⃑⃑⃑ ⋅AH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =−32x 1+√32z 1=0 ， 令x 1=0，则y 1=0, z 1=√3，所以n 1⃑⃑⃑⃑ =(1,0,√3)，记平面PAB 的法向量为n 2⃑⃑⃑⃑ =(x 2,y 2,z 2)，则{n 2⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−x 2+√33y 2=0n 2⃑⃑⃑⃑ ⋅AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =−x 2+√3z 2=0，令x 2=1，则y 2=√3,z 2=√33，所以n 2⃑⃑⃑⃑ =(1,√3,√33)， 记二面角P −AM −N 的大小为θ，则cos θ=|cos<n 1⃑⃑⃑⃑ ,n 2⃑⃑⃑⃑ >|=n1⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n 2⃑⃑⃑⃑⃑ |n 1⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n 2⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3913． 所以二面角P −AM −N 的余弦值为√3913 ．21.解：(1)()2211ln a x f x x x x -+'=-+= 21ln a x x x -+-令()11f '=得21a -=，解得1a =.（2）由(1)知， ()f x =1ln 1ln x x x x +++ ()2ln x xf x x -'= 再令)ln x x x ϕ=-（ 则111x x xx ϕ-=-='（）当1x >时,()0x ϕ'>,()x ϕ递增;当01x <<时，()0x ϕ'<,()x ϕ递减;∴()x ϕ在1x =处取得唯一的极小值，即为最小值.即()()110x φφ≥=> ∴,()0f x '>∴()f x 在0+∞（，）上是增函数(3) 要证()1121x x f x e e xe -+>+，即证 ()1211x x f x e e xe ->++ 由(1)知，当1x > 时， ()f x 为增函数故()()12f x f >= 故()211f x e e >++令()h x = 121x x e xe -+，则()()()()()1'11221(1)21211x x x x x x x x e xe xe e e e h x xe xe ---+-+-==+'+ ∵1x >, ∴10x e -< ∴()0h x '< 即()h x 在1+∞（，）上是减函数∴1x >时， ()()211h x h e <=+所以()()211f x h x e e >>++ 即()1211x x f x e e xe ->++ 所以()1121x x f x e e xe -+>+.22.解：（1）由ρ=2sinθ+2acosθ(a >0)，得ρ2=2ρsinθ+2aρcosθ(a >0)， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y +2ax ，即(x −a )2+(y −1)2=a 2+1，直线l 的普通方程为y =x +2.(2)将直线l 的参数方程{x =−2+√22t,y =√22t代入x 2+y 2=2y +2ax 并化简、整理， 得t 2−(3√2+√2a)t +4a +4=0.因为直线l与曲线C交于M，N两点。