知识讲解 匀变速直线运动的位移与时间的关系基础2

匀变速直线运动的位移与时间的关系
编稿：周军审稿：吴楠楠
【学习目标】
1、掌握v -t图象描述位移的方法
2、掌握位移与时间的关系并能灵活应用
【要点梳理】
要点一、匀变速直线运动的位移公式推导
方法一：用v-t图象推导
在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如
图所示．
如果把每一小段△t内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移，显然小于匀变速直线运动在该段时间内的位移．但时间越小，各匀速直线运动的位移和与匀变速直线运动的位移之间的差值就越小，当△t→0时，各矩形面积之和趋近于v-t图线下面的面积．可以想象，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙中梯形的面积．这一推理及前面讲瞬时速度时，都用到无限分割逐渐逼近的方法，这是微积分原理的基本思想之一，我们要注意领会．
匀变速直线运动的v-t图象与t轴所夹面积表示t时间内的位移．此结论可推至任何直线运动．图线与时间轴间的面积表示位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移，算术和表示路程．由前面的讨论可知，当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线AP，设想的运动就代表了真实的运动，由此可以求出匀变速运动在时间t内的位移，它在数值上等于直线AP下方的梯形OAPQ的面积(如图丙)．这个面积等于
21201122SSSOAOQARRPvtat????????，
即位移2012xvtat??．
这就是匀变速直线运动的位移公式．
方法二：用公式推导
由于位移xvt?，而02t vvv??，
又0t vvat??，
故002vvatxt????，
即2012xvtat??．
要点诠释：
①该式也是匀变速直线运动的基本公式，和0t vvat??综合应用，可以解决所有的匀变
速直线运动问题．
②公式中的x、v0、a、v t都是矢量，应用时必须选取统一的方向为正方向．若选v0为正方向，则在加速运
动中，a取正值，即a＞0，在减速运动中，a取负值，即a＜0．
要点二、位移－时间图象（x-t图象）
要点诠释：
1、位移-时间图象的物理意义
描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况。

2、位移-时间图象的理解
(1)能通过图像得出对应时刻物体所在的位置。

（2）图线的倾斜程度反映了运动的快慢。

斜率越大，说明在相同时间内的位移越大，即运动越快，速度越大。

（3）图线只能描述出对于出发点的位移随时间的变化关系，不是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系，两者不能混淆。

（4）初速度为零的匀变速直线运动的对应的x-t图象为过原点的抛物线的一部分。

要点三、x-t图象与v-t图象的比较
要点诠释：
图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在xt?图象与vt?图象中的比较．
①表示物体做匀速直线运动（斜率表示速①表示物体做匀加速直线运（斜率表示加速
②表示物体静②表示物体做匀速直线运
③表示物体静止在原③表示物体静
④表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置④表示物体做匀减速直线运动，初速度
⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共
同速
时间内物体位移时刻物体速度（图中阴影部分面积表示点时间内的位移
要点四、运用图象要注意问题
要点诠释：
1．首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。

特别是那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。

2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。

（1）点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，
它们往往对应一个特殊状态。

（2）线：表示研究对象的变化过程和规律，如vt?图象中图线若为倾斜直线，则表
示物体做匀变速直线运动。

（3）斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。

用于定量计算对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。

如xt?图象的斜率表示速度大小，vt?图象的斜率表示加速度大小。

（4）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。

如vt?图
象与横轴包围的“面积”大小表示位移大小。

（5）截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。

由此往往能得到一个很有意义的物理量。

【典型例题】
类型一、关于位移图象的理解
例1、某物体的位移图象如图所示，若规定向东为位移的正方向，试求；物体在OA、AB、BC、CD、DE各阶段的速度。

【答案】见解析
【解析】物体在t＝0开始从原点出发向东行做匀速直线运动，历时2s；接着在第3s～5s内静止；第6s内继续向东做匀速直线运动；在第7s～8s内匀速反向西行，至第
8s末回到出发点；在第9s～12s 内从原点向西行做匀速直线运动。

由x－t图得各阶段的速度如下：
OA段：1116/3/2xvmsmst???，向东
AB段：物体静止，速度为0
BC段：333126/6/1xvmsmst????，向东
CD段：444012/6/2xvmsmst?????，负号说明方向向西
DE段：55540/1/4xvmsmst??????，向西
【总结升华】位移图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）。

图象平行于t轴，说明物体的速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动；图象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动。

举一反三
【变式】如图所示，A、B两物体从O点开始运动，从A、B两物体的位移图象可知，下述说法正确的是( )
A、A、B两物体的运动方向相同
B、A物体2s内发生的位移是l0m
C、B物体发生l0m的位移的时间是2s
D、A 物体的速度大小是5m/s，B的速度大小是2.5m/s
【答案】ABD
类型二、位移与时间关系公式的应用中注意问题
例2、（2015 泰安市期末考）以初速度v0=3m/s做匀加速直线运动的物体，3s末运动的位移等于18m，求：
（1）物体的加速度；
（2）2s末的速度；
（3）第3s内的位移．
【答案】见解析
【解析】（1）设加速度为a，由位移时间公式得：前3s内的位移：2303312xvtat??代入数据得：a=2m/s2
（2）由速度公式得：2s末的速度：2023227/vvatms??????
（3）由位移时间公式得：前2s内的位移：2220221132221022xvt at m????????
第3s内的位移：3218108xxxm???﹣﹣
举一反三
【变式1】（2015 西城区期末考）物体沿某方向做匀加速直线运动，某时刻速度大小为5.0m/s，经2.0s速度大小变为11.0m/s，则物体在这2.0s内的位移大小为A. 8m B. 12m C. 16m D. 32m
【答案】C
【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第5页】
【变式2】由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第ls内通过0.4m位移，则不正确的结论是( )
A．第1s末的速度的0.8m/s B．加速度为0.8m/s2
C．第2s内通过位移为1.2m D．2s内通过的位移为1.2m
【答案】D
类型三、位移图象描述相遇问题
例3、（2016 广东普高期末考）如图所示表示甲、乙两运动物体相对同一原点的位移-时间图像，下列说法中错误的是（）
A.甲和乙都做匀速直线运动
B.甲、乙运动的出发点相距x0
C.甲、乙两物体在02x处相遇
D.乙比甲早出发t1的时间
【答案】D
【解析】甲、乙的位移都随时间均匀变化，知甲和乙都做匀速直线运动，故A正确；由位移-时间图像可知，甲乙的出发点相距x0，故B正确；由图线可知，两物体相遇时，纵坐标相等，此时距离原点为02x，故C正确；由图像可知，乙比甲迟出发t1的时间，故D错误。

【总结升华】x-t图象中两图线相交说明两物体相遇，其交点A的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表示相遇处对参考点的位移。

举一反三
【变式1】如图所示，折线a是表示物体甲从A地向B地运动的位移图线，直线b是表示物体乙从B地向A地运动的位移图线，则下述说法中正确的是（）
A、甲、乙两物体是相向运动
B、甲物体是匀速运动，速度大小是7.5m/s
C、甲、乙两物体运动8s后，在距甲的出发点60m处相遇
D、甲在运动中停了4s
【答案】ACD
【解析】由图象知，甲、乙两物体在开始运动时相距100m，后来相距越来越小，甲向乙的出发点运动，乙向甲的出发点运动，因而它们是相向运动，选项A正确。

两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置，即相遇的时刻与位置，故选项C正确。

甲在运动中有一段图线与时间轴平行，这表示甲在4s内位置始终没变，因而是静止的，选项 D正确。

甲在全过程中并不是匀速运动，故选项B是错的。

【变式2】一质点的x-t图象如图甲所示，那么此质点的v-t图象可能是图乙中的()．
【答案】A
【解析】解题关键明白两种图象斜率的物理意义不同．v-t图象的切线斜率表示速度，由图象可知：0～12t时间内图象的斜率为正且越来越小，在12t时刻图象斜率为0，即物体正向速度越来越小，12t时刻减为零；从12t～1t时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项A正确．
类型四、位移公式解决实际问题
例4、某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过40 km/h．一次，一辆汽车在校门前马路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕．交警测量了车痕长度x＝9m，又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间t＝1.5s，立即判断出这辆车违章超速，这是为什么? 【答案】汽车超速
【解析】解法一：(速度判断法)由于x＝9m，t＝1.5 s，据xvt?得平均速度9m/s6m/s1.5v??，又因为02vv?，得初速度02vv??2×6m/s＝12m/s＝
43.2km/h．
由于车速超过40 km/h，可知此车超速．
解法二：(位移判断法)设汽车恰以010040km/hm/s9v??的速度行驶，则刹车后1.5s停下，刹车加速度
22010002009m/sm/s1.51.527vvat?????????．
以此加速度刹车，刹车位移
220110012001.51.5m8.33m9m29227xvt at???????????????????????，故汽车超速．
【总结升华】超速判断涉及科技生活情景，是高考热点，可用速度判断，即根据刹车的运动矢量判断刹车前速度与限速关系；也可用位移判断，即假设以限速行驶，在实际刹车情景中的刹车位移与求得的刹车位移对比，从而判断是否超速．
举一反三
【变式】一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔15 m安置一个路标，如图所示，汽车
通过AB两相邻路标用了2s，通过BC两路标用了3s，求汽车通过A、B、C三个路标时的速度．
【答案】8.5m/s 6.5m/s 3.5m/s
【解析】题目中已知条件是位移、时间，求的是速度，所以可用位移公式求解．汽车从A到C是匀变速直线运动，设汽车通过路标A时速度为v A，通过AB的时间
t1＝2s，通过BC的时间t2＝3s．根据位移公式2012xvtat??，研究AB运动的过
程，有21112AB A xvtat??．
研究AC运动过程，有212ACA xvtat??，
其中t＝t1+t2＝5s，
解得v A＝8.5m/s，a＝-1m/s2．
再根据速度公式
v B＝v A+at1＝6.5m/s，v C＝v A+at＝3.5m/s．
求得a＝-1 m/s2，其中“-”说明a的方向与初速的方向相反，汽车做匀减速直线运动．【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第6页】
【变式2】两物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀加速直线运动，若它们的初速度大小不同，而加速度大小相同，则在运动过程中（）
A．两物体速度之差保持不变
B．两物体的速度之差与时间成正比
C．两物体的位移之差与时间成正比
D．两物体的位移之差与时间的平方成正比
【答案】AC
【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第8页】
【变式3】一物体以5m/s的初速度，－2m/s2的加速度在粗糙水平面上滑行，4s内物体通过的位移为（）
A．4m B．36m
C．6.25m D．以上答案都不对
【答案】C
【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系第10页】
【变式4】矿井里的升降机由静止开始匀加速上升，经过5s速度达到v=4 m/s后，又以这个速度匀速上升20s，然后匀减速上升，再经4s停在井口．求矿井的深度．
【答案】98m。