两点间的距离公式课件 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

3x
1 2 , k2
3, b2
1 2.
k1 k2 ，且 b1 b2 ， l1 //l2
（3） l1 : y
3 4
x+
5 4
,
k1
3 4
,
b1
5 4
； l2
:
y
3 4
x+
5 4
,
k2
3 4
,
b2
5 4
k1 k2 , b1 b2 ， l1 与 l2 重合.
如果不要求求交点坐标，用斜率更简单
思考一下
如图，已知平面内两点 P1 x1, y1 ， P2 x2 , y2 ，如何求 P1 ， P2 间的距离 P1P2 ？ 如图，由点 P1 x1, y1 ， P2 x2 , y2 ，得 P1P2 x2 x1, y2 y1 .于是，
①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l1 与 l2 重合.
方法二：用斜率判断位置关系
（1） l1 : y x, k1 1, b1 0 ；l2 : y
x
10 3
,
k2
1, b2
10 3
k1 k2 ， l1 与 l2 相交.
（2） l1 : y
3x+4, k1
3, b1
4 ；l2 : y
的解.解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
已知两条直线 l1 : A1x B1 y C1 0 ,l2 : A2 x B2 y C2 0 ,
方程组 A1x B1 y C1
0 ，解的组数与两条直线的位置关系如图所示
A2 x B2 y C2 0
方程组的解 直线 l1 与 l2 的公共点的个数
直线 l1 与 l2 的位置关系
一组 一个 相交
无数组 无数个 重合
无解 零个 平行
例题来了
例 1 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：l1 :3x 4y 2 0 ，l2 : 2x y 2 0 .
解：
解方程组
3x 2x
4y 2 0 y20
得
x y
2 2
，
所以 l1 与 l2 的交点是 M (2，2) .
例 2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点的坐标： （1） l1 : x y 0 ， l2 : 3x 3y 10 0 ； （2） l1 : 3x y 4 0 ， l2 : 6x 2y 1 0 ； （3） l1 : 3x 4y 5 0 ， l2 : 6x 8y 10 0 .
课堂巩固
1.经过直线 x y 4 0 与直线 x y 2 0 的交点，且平行于直线 y 2x 的直线方程
为( B)
A. 2x y 7 0 B. 2x y 7 0 C. x 2y 1 0 D. x 2y 1 0
解析：由
x x
y y
4 2
0 0
，解得
x
y
3 1
0
，解得
k k
1 2
5 2
，所以
5 2
k
1 2
，即实数
k
的取值范围是
5 2
,
1 2
.
3.已知三角形的三个顶点 A2,4 ， B3, 6 ，C 5, 2 ，则 BC 边上中线的长为( A)
A. 2 10
B. 10
C.11 2

D.3 10
解析：设
BC
的中点为
D
x,
y
，由中点坐标公式得
x y
x 2y 3x y
4 9
0 0
，所以
x
y
2 3
，所以交点坐标为 2,
3
，
所以原点 O 到交点的距离为 2 02 3 02 13 ，
故选:C.
5.已知点 M 3,5 ，在直线l : x 2y 2 0 和 y 轴上各找一点 P 和 Q，则△MPQ 的周
长的最小值为( D)
A.3 5
2.3.1 两条直线的交点坐标 2.3.2 两点间的距离公式
人教A版选择性必修一
学习目标
1.能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标 2.探究并掌握两点间的距离公式
学习重点
两条直线的交点坐标、两点间的距离
学习难点
两条直线的交点坐标的求解与应用、坐标法求解几何问题
新课导入
在平面几何中，我们对直线作了定性研究。引入平面直角坐标系后，我们 用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一点的坐标所满足 的一个关系式，这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法 对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关 的距离问题等.
35 2
6 2
2
4
2
，所以
D
4,
2
，
所以 AD 4 22 2 42 40 2 10 .
4.在平面直角坐标系 xOy 中，原点 O 到直线l1 : x 2 y 4 0 与l2 : 3x y 9 0 的交
点的距离为( C)
A. 10
B. 2 3
C. 13
D. 15
解析：因为
新课学习
设这两条直线的交点为 P，则点 P 既在直线l1 上，也在直线l2 上.所以点 P 的坐
标既满足直线 l1 的方程 A1x B1y C1 0 ，也满足直线l2 的方程 A2x B2 y C2 0 ，即点 P 的坐标是方程组
A1x A2 x
B1 y C1 0 B2 y C2 0
即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
利用“坐标法”解决平面几何问题的基本步骤为：
第一步：建立坐标 系，用坐标表示有 关的量
第二步：进行 有关代数运算
第三步：把代数运 算的结果“翻译” 成几何结论
坐标法的几何思路
几何问题
建系
代数问题
几何结论
反推
代数结论
根据例4的条件，你是否还有其他建立坐标系的方法?你能说说建立适当坐标系
所以 DB 2 4b2 ， AC 2 a
2
ac
2
c
4 a2
c2 ，
BC 2 a b 2 c2 ， CD 2 a b 2 c2 .所以 DB 2 AC 2 4 a2 b2 c2 ，
2 BC 2 CD 2 2 a b 2 c2 + a b 2 c2 =4 a2 b2 c2 .所以
DB 2 AC 2 =2 BC 2 CD 2 .又因为 AB CD ， BC AD ，所以结论成立.
即实数 k 的值为 1.
总结一下
1.两条直线的交点公式 2.两点间的距离公式
谢谢观看
由两点间的距离公式，得 AC 2 (a b)2 c2 ， BD 2 (b a)2 c2 ， AB 2 a2 ， AD 2 b2 c2 .
所以 AC 2 BD 2 2 a2 b2 c2 ， AB 2 AD 2 a2 b2 c2 .
所以 AC 2 BD 2 2 AB 2 AD 2 ，
例4 用坐标法证明：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边的平方和的两倍.
分析：首先建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代 数运算，最后把代数运算的结果翻译成几何关系
证明：
如图，四边形 ABCD 是平行四边形.以顶点 A 为原点，边 AB 所在直线为 x 轴，建立 如图所示的平面直角坐标系. 在 ABCD 中，点 A 的坐标是(0，0)，设点 B 的坐标为(a，0)，点 D 的坐标为(b，c)， 由平行四边形的性质，得点 C 的坐标为(a+b，c).
P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 . 由此得到 P1 x1, y1 ， P2 x2 , y2 两点间的距离公式
P1P2 x2 x1 2 y2 y1 2 .
特别地，原点O(0,0) 与任一点 P(x, y) 间的距离 OP x2 y2 .
归纳：
（1）两点间的距离公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成
B. 4 6
C. 3 6
D.4 5
解析：设点 M 3,5 关于直线l : x 2y 2 0 的对称点为 M1 x, y ，
则有
3
5
2
x y
25 2
1 1
y
2
0
M1
5,1
，
3 x 2
点 M 3,5 关于 y 轴的对称点为 M2 3,5 ，如图所示：
当 M2 ，Q，P， M1 四点共线时，△MPQ 的周长的最小，
最小值为 M2M1 5 32 1 52 4 5 .
6.已知直线 x ky 2 0 经过两直线3x 2y 9 0 和 x 1 0 的交点，则 k 的值等于
__-_1___.
解析：联立方程组
3x 2y x 1 0
9
0
，解得
x
1
，
y
3
，即两直线的交点为
(1, 3)
，
将点 (1,3) 代入直线 x ky 2 0 ，可得13k 2 0 ，解得k 1 ，
P1P2 x1 x2 2 y1 y2 2 .
（2）当直线 P1P2 垂直于 y 轴时， P1P2 x2 x1 . 当直线 P1P2 垂直于 x 轴时， P1P2 y2 y1 . （3）由两点间的距离公式，既可以在已知点的坐标时求距离，也可以在已知 距离时求点的坐标.
例 3 已知点 A(1,2) ， B(2, 7) ，在 x 轴上求一点 P，使 PA PB ，并求 PA 的值.
.
所以，
l1
与
l2
相交，交点是
M
(
5 3
,
5) 3
.
（2）解方程组
3x 6x
y 2
40 y 1 0
①
② ， ① 2 ② 得 9=0，矛盾，这个方程组无解，
所以 l1 与 l2 无公共点， l1 l2 .
（3）解方程组
3x 6x
4 8
y y
50 10 0
①
② ，①×2 得 6x 8y 10 0 ，
B.
2 5
,
1 2
C.
5 2
,
1 2
D.
2 5
,
1 2
解析：联立方程组
y y
x
1 2
2k 1 x2
，解得
x
y
2(1 2k 3
2k 5 3
)
，
因为直线 y x 2k 1与直线 y 1 x 2 的交点在第一象限， 2
所以
2(1 2k) 3
2k 5 0 3
，即两直线的交点坐标为
3,1
，
设所求直线 方程为 y 2x b ，
则有1 23 b ，解得b 7 ，
所以所求直线方程为 y 2x 7 ，即 2x y 7 0 .故选：B.
2.若直线
y
x
2k
1 与直线
y
1 2
x
2
的交点在第一象限，则实数
k
的取值范围
是( A)
A.
5 2
,
1 2
对证明的重要性吗?
本题还可以用以对角线的交点为原点证明
证明：
以平面直角坐标系 ABCD 的对角线的交点为原点，
yC
对角线 DB 所在的直线为 x 轴，建立如图所示的
直角坐标系. 设点 C 的坐标为 a, c ，点 B 的坐标为 b, 0
D
O
B
x
（a，b，c 都是正数），有平行四边形的性质，
A
得点 A 的坐标为 a, c ，点 D 的坐标为 b,0 .
分析：解直线 l1，l2 的方程组成的方程组，若方程组有唯一解，则 l1 与 l2 相交， 此解就是交点的坐标；若方程组无解，则l1 //l2 ；若方程组中的两个方程可化为同 一个方程，则 l1 与 l2 重合.
解： 方法一：
（1）解方程组
x y 3x 3y
0 10
0
得
x
y
5 3 5 3
解：
所求点为 P(x,0) ，则 PA (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5 ， PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11 . 由 PA PB ，得 x2 2x 5 x2 4x 11 .解得 x 1 . 所以，所求点为 P(1,0) ，且 PA (11)2 (0 2)2 2 2 .