准直角三角形例题

准直角三角形例题
例题 1
在准直角三角形 ABC 中，∠A = 45°，∠C = 30°，BC = 6，求 AB 的长。

解析：
因为在准直角三角形中，一个角为 45°，一个角为 30°，所以另一个角为105°。

根据正弦定理：(BC)/(sinA) = (AB)/(sinC)
即：(6)/(sin45°) = (AB)/(sin30°)
AB = (6×sin30°)/(sin45°) = (6×frac{1)/(2)}{(√(2))/(2)} = 3√(2)
例题 2
已知准直角三角形的一个锐角为 60°，斜边为 8，求这个准直角三角形的面积。

解析：
设 60°角所对的直角边为x，则另一条直角边为√(3)x。

根据勾股定理：x^2 + (√(3)x)^2 = 8^2
x^2 + 3x^2 = 64
4x^2 = 64
x = 4
所以面积为：(1)/(2)×4×4√(3) = 8√(3)
例题 3
在准直角三角形 ABC 中，∠A = 30°，∠C = 45°，AC = 4，求 AB 的长。

解析：
根据正弦定理：(AC)/(sinB) = (AB)/(sinC)
因为∠B = 105°，sin105° = sin(60° + 45°) = sin60°cos45° + cos60°sin45° = (√(6) + √(2))/(4)
所以：(4)/(sin105°) = (AB)/(sin45°)
AB = (4×sin45°)/(sin105°) = (4×frac{√(2))/(2)}{(√(6) + √(2))/(4)} = 4√(3) 4
例题 4
若准直角三角形的两条直角边分别为 3 和 4，求斜边的长度。

解析：
设斜边为c，根据勾股定理：c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
所以c = 5
准直角三角形的一个锐角为 45°，一条直角边为 5，求另一条直角边的长度。

解析：
因为一个锐角为 45°，所以这个准直角三角形是等腰直角三角形，另一条直角边也为 5。

例题 6
在准直角三角形 ABC 中，∠A = 60°，AB = 5，求 BC 的长。

解析：
根据正弦定理：(BC)/(sinA) = (AB)/(sinC)
因为∠C = 30°，所以：
(BC)/(sin60°) = (5)/(sin30°)
BC = (5×sin60°)/(sin30°) = 5√(3)
例题 7
已知准直角三角形的面积为 6，一条直角边为 3，求另一条直角边的长度。

解析：
设另一条直角边为x，则：
(1)/(2)×3×x = 6
例题 8
准直角三角形的斜边为 10，一条直角边为 6，求这个三角形的周长。

解析：
根据勾股定理，另一条直角边为：√(10^2 6^2) = 8
周长为：10 + 6 + 8 = 24
例题 9
在准直角三角形 ABC 中，∠A = 30°，BC = 2，求 AC 的长。

解析：
根据正弦定理：(BC)/(sinA) = (AC)/(sinB)
因为∠B = 105°，sin105° = sin(60° + 45°) = sin60°cos45° + cos60°sin45° = (√(6) + √(2))/(4)
所以：(2)/(sin30°) = (AC)/(sin105°)
AC = (2×sin105°)/(sin30°) = 2(√(6) + √(2))
例题 10
若准直角三角形的周长为 12，斜边为 5，求两条直角边的长度。

解析：
设两条直角边分别为x和y，则：
x + y + 5 = 12，即x + y = 7
根据勾股定理：x^2 + y^2 = 5^2 = 25
由x + y = 7得y = 7 x，代入x^2 + y^2 = 25得：
x^2 + (7 x)^2 = 25
x^2 + 49 14x + x^2 = 25
2x^2 14x + 24 = 0
x^2 7x + 12 = 0
(x 3)(x 4) = 0
解得x = 3，y = 4或x = 4，y = 3
例题 11
准直角三角形的面积为 12，一个锐角为 60°，求两条直角边的长度。

解析：
设 60°角所对的直角边为x，则另一条直角边为(x)/(√(3))。

(1)/(2)×x×(x)/(√(3)) = 12
x^2 = 24√(3)
x = 2√(6)√(sqrt{3)} = 2√(6)√((sqrt{3)×√(3))/(√(3))} = 2√(6)×√(3) = 6√(2)
则另一条直角边为(6√(2))/(√(3)) = 2√(6)
例题 12
在准直角三角形 ABC 中，∠A = 45°，∠B = 105°，AC = 2，求 AB 的长。

解析：
根据正弦定理：(AC)/(sinB) = (AB)/(sinC)
因为∠C = 30°，所以：
(2)/(sin105°) = (AB)/(sin30°)
AB = (2×sin30°)/(sin105°) = √(6) √(2)
例题 13
已知准直角三角形的两条直角边分别为√(5)和√(15)，求斜边的长度。

解析：
斜边c = √((sqrt{5))^2 + (√(15))^2} = √(5 + 15) = √(20) = 2√(5)
例题 14
准直角三角形的斜边为 2√(2)，一个锐角为 30°，求两条直角边的长度。

解析：
30°角所对的直角边为斜边的一半，即√(2)。

另一条直角边为：√((2sqrt{2))^2 (√(2))^2} = √(8 2) = √(6)
例题 15
在准直角三角形 ABC 中，∠A = 60°，∠C = 30°，AB = 4，求 BC 的长。

解析：
根据正弦定理：(BC)/(sinA) = (AB)/(sinC)
即：(BC)/(sin60°) = (4)/(sin30°)
BC = (4×sin60°)/(sin30°) = 4√(3)。