第二十六章奥赛园地·数学人教版九下-特训班

故 １＋b－c＝a,４＋２b－c＝１０a,
解 得b＝９a－３,c＝８a－２．
{ (１)由c＜b＜８a,知
８a－２＜９a－３, ９a－３＜８a,
解 得 １＜a＜３．
又a 为整数,所以a＝２,b＝９a－３＝１５,c＝
８a－２＝１４． (２)设 m,n 是方程的两个整数根,且 m≤n．
由根与系 数 的 关 系 可 得 m ＋n＝ －b＝３－
９a,mn＝ －c＝２－８a, Nhomakorabea消 去a,得 ９mn－８(m＋n)＝ －６,
两边 同 时 乘 以 ９,得 ８１mn－７２(m ＋n)＝
－５４,分 解 因 式 ,得 (９m－８)(９n－８)＝１０．
{ { 所以 ９m－８＝１,或 ９m－８＝２,或 ９n－８＝１０ ９n－８＝５
{ { ９m－８＝－１０,或 ９m－８＝－５,
的 坐 标 为 (０,２),
所
以
△ABC
的
面积
为
１ ２
×
(２－１)×２＝１．
６������ (１)在 Rt△ABC 中,AC＝３,BC＝４,所 以
AB＝５．
∴ △ABC 的周长为１２． 又 EF 平分△ABC 的周长, ∴ AE＋AF＝６,而 AE＝x．
∴ AF＝６－x．
(第 ６ 题 ) 过点 F 作FD⊥AC 于 点 D,则ADFF＝sinA＝
或b－a＝
２ ３
．④
若a＋b＝０,则 ２(u＋v)＝ (６b－５a２)＋ (６a
＋５b２)＝(a＋b)[６＋５(b－a)]＝０;
( ) 若b－a＝
２ ３
,根 据 ② ④,得 ２
b－
２ ３
＝
３b２,即 (３b－１)２＋３＝０,矛 盾 ．
４������ (１)易求得点C 的坐标为(０,c),设A(x１,０),
【解 答 】 ０． 【说明】 解答本题需利用代入 法 和 配 方 法．解 题 的 难 点 是通过x的取值范围确定w 的最大值．
复赛题
５．(全国初中数学联 合 竞 赛 试 题)已 知 二 次 函 数 y＝x２ ＋bx－c 的 图 象 经 过 两 点 P(１,a),Q(２,１０a)． (１)如 果 a,b,c 都 是 整 数 ,且c＜b＜８a,求 a,b,c 的 值 ; (２)设二次函数y＝x２＋bx－c的图象与x 轴的交点为A、 B,与y 轴的交点为C．如 果 关 于 x 的 方 程x２ ＋bx－c ＝０的两个根都是整数,求△ABC 的面积．
又 AB＝|x１ －x２|＝ (x１＋x２)２－４x１x２
＝ (－b)２－４c＝ b２＋４,
所 以 S△ABC
＝
１ ２
AB������OC＝
１ ２
b２＋４������１
＝２,解得b＝±２ ３． ５������ 点 P(１,a),Q(２,１０a)在 二 次 函 数 y＝x２＋
bx－c 的 图 象 上 ,
c 的值．
６．(全 国 初 中 数 学 竞 赛 海 南 赛 区)如 图,在 Rt△ABC 中,∠C＝ ９０°,AC＝３,BC＝４,点E 在AC 上(点E 与点A、C 都不重 合),点 F 在斜边AB 上(点 F 与点A、B 都不重合)． (１)若 EF 平分 Rt△ABC 的周长,设 AE＝x,△AEF 的面 积为y,写出y 与x 之间的函数关系式,并指出x 的取 值范围; (２)试问:是否存在直线 EF 将 Rt△ABC 的周长和面积同 时平分? 若 存 在,求 出 AE 的 长;若 不 存 在,请 说 明 理由．
９n－８＝ －１
９n－８＝ －２,
{ { { 解得
m＝１, 或
m＝１９０, 或
m＝
－
２ ９
,
n＝２
n＝１９３
n＝
７ ９
{或
m＝
１ ３
,
n＝
２ ３
．
又 m,n 是整数,所以后面三组解舍去, 故 m＝１,n＝２． 因 此b＝ － (m＋n)＝ －３,c＝ －mn＝ －２,二
次 函 数 的 解 析 式 为 y＝x２－３x＋２． 易求得点A、B 的坐标为(１,０)和(２,０),点C
(第 ６ 题 )
得 之 在 俄 倾 ,积 之 在 平 日 . ——— 袁 守 侗
奥赛园地
１������ B
２������ B 提示:由 图 象,知a＜０,c＝０,－２ba＞１, 从而２a＋b＞０,又 (２a＋b)－ (b－a)＝３a＜ ０,即 ２a＋b＜b－a．
３������ C 提示:f１(x)＝ (x＋a)２＋４b－a２≥４b－ a２,f２(x)＝ (x＋２a)２＋２b－４a２≥２b－４a２． 由 ４b－a２＝u＝２b－４a２,得 －２b＝３a２．① f３(x)＝ － (x－b)２＋４a＋b２≤４a＋b２, f４(x)＝ － (x－２b)２＋２a＋４b２≤２a＋４b２． 由 ４a＋b２＝v＝２a＋４b２,得 ２a＝３b２．② ② － ① ,得 ２(a＋b)＝３(b２－a２), 所 以a＋b＝０,③
初赛题
１．已知抛物线y＝x２＋bx＋c的 系 数 满 足 ２b－c＝５,则 这 条
抛 物 线 一 定 经 过 点 ( )．
A．(－１,－２)
B．(－２,－１)
C．(２,－１)
D．(－２,１)
２．(全国初中数学竞赛海南赛区)已 知 二 次 函 数 y＝ax２＋bx＋c (a≠０)的图象如图所示,记 p＝２a＋b,q＝b－a,则 下 列 结 论 正 确 的 是 ( )．
A．必 为 正 数
B．必 为 负 数
C．必 为 ０
D．符 号 不 能 确 定
４．已知二次函数y＝x２＋bx＋c(c)＜０的图象与x 轴的交点
分别为点 A、B,与y 轴的交点为点C．设△ABC 的外 接 圆
的圆心为点P．
(１)证明:☉P 与y 轴的另一个交点为定点;
(２)如 果 AB 恰 好 为 ☉P 的 直 径 且 S△ABC ＝２,求 b 和
EF
平
分
△ABC
的
面
积 ,所
以
－
２ ５
x２
＋
１５２x＝３,
解 得 x１＝６－２６,x２＝６＋２６． ∵ ０＜x＜３,
∴ x２＝６＋２６,不 合 题 意 舍 去 ．
当x１＝６－２６时,６－x＝６＋２６＜５,符 合 题 意,
所以这样的 EF 存在,此时 AE＝６－２６．
B(x２,０),则x１＋x２＝ －b,x１x２＝c．
设☉P 与y 轴的另一个交点为 D,由 于 AB、
CD 是☉P 的两 条 相 交 弦,它 们 的 交 点 为 点
O,所 以 OA × OB ＝ OC × OD,则 OD ＝
OAO×COB＝|x|１cx|２|＝||cc||＝１． 因为c＜０,所 以 点 C 在y 轴 的 负 半 轴 上,从 而点 D 在y 轴 的 正 半 轴 上,所 以 点 D 为 定 点 ,它 的 坐 标 为 (０,１)． (２)因为 AB⊥CD,若 AB 恰 好 为 ☉P 的 直 径,则 C、D 关于点O 对称,所以点 C 的 坐 标 为 (０,－１),即c＝ －１．
A．p＞q＞０
(第 ２ 题 )
B．q＞p＞０
C．p＞０＞q
D．q＞０＞p
３．(全国初中数学联赛江西省初赛试题)设ab≠０,且 函 数 f１(x)
＝x２＋２ax＋４b与f２(x)＝x２＋４ax＋２b有相同的 最 小 值
u;函数f３(x)＝－x２＋２bx＋４a 与f４(x)＝ －x２＋４bx＋
２a 有相同的最大值v,则u＋v 的值( )．
ABBC＝
４ ５
．
∴
６D－Fx＝
４ ５
．
∴
DF＝
４ ５
(６－x)．
∴
y＝
１ ２
AE������DF＝
１ ２x������
４ ５
(６－x)＝
－ ２５x２＋１５２x(０＜x＜３)．
(２)这 样 的 EF 存 在,此 时 AE ＝６－２６．
S△ABC
＝
１２BC������AC＝
１ ２
×４×３＝６．
由
奥赛园地
【例】 (全国初中数学竞赛 海 南 赛 区)实 数 x,y 满 足 ２x２ － ６x＋y２＝０,设 w＝x２＋y２－８x,则 w 的最大值是 ．
【分 析 】 由２x２ －６x＋y２ ＝０,得２x２ ＋y２ ＝６x,知x≥０． 又 y２ ＝ －２x２ ＋６x,w＝x２ －２x２ ＋６x－８x＝ －x２ －２x＝ － (x＋１)２＋１,由此 可 见,当 x≥ －１ 时,w 随 着x 的 增 大 而 减 小,又因为x≥０＞－１,,故当x＝０时,w 的最大值是０．