课件10：2.1.1 向量的概念

点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的
非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终
点一定共线．
A．3
B．2
C．1
D．0
【解析】
起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不
相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同，相等的两
个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量
的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的
→
(1)|OA|＝3，点 A 在点 O 正西方向；
→
(2)|OB|＝3 2，点 B 在点 O 北偏西 45°方向．
解：(1)(2)如图，
变式训练2
在如图的方格纸上，已知向量a，每个小
正方形的边长为1.
(1)试以B为起点画一个向量b，使b＝a；
(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终
→ ，FA
→ ；与 c 相等的向量有
与 b 相等的向量有DC
→
→
→
FO，ED，AB.
变式训练3
七巧板，也称“七巧图”、“智慧板”，是汉
族民间流传的智力玩具．原为文人的一种室内游戏，后
在民间演变为拼图板玩具．现在的七巧板是将一块正方
形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行
四边形，如图所示．试写出图中与、 模长相等的
即 a 和 b 相等，记作 a＝b.
思考感悟
→
2．把有向线段AB向右平移 1 个单位，向上平移 2 个单位，
→
→ →
得到有向线段A′B′，则AB与A′B′表示的向量一样吗？
提示：平移前的有向线段与平移后的有向线段在长度
和方向上都没发生改变，也就是说它们的大小和方向
相同，所以它们表示的向量一样．
→
起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不
正确．
【答案】
C
变式训练1
给出下列几种说法：
①若非零向量a与b共线，则a＝b；
②若向量a与b同向，且|a|>|b|，则a>b；
③若两向量有相同基线，则两向量相等．
其中错误的序号是______．
【解析】①错误．共线向量指向量的基线互相平行或重
合，其方向相同或相反，所以共线向量未必相等．
HG
方法感悟
1．向量既有大小又有方向，但不能比较大小，向量的模
是数量，可以比较大小．对于一个向量，只要不改变它
的大小和方向，是可以任意平行移动的．
2．平行(共线)概念不是平面几何中平行线概念的简单移
植，这里的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长
度无关，它与是否在一条直线上无关．
3．规定零向量与任何向量平行，由于零向量的方向不确
→
3．向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D 必
在同一条直线上，正确吗？
提示：不正确．共线向量还可以指表示向量的有向
线段所在的直线平行，故A、B、C、D不一定共线．
5．位置向量
任给一定点O和向量a，过点O作有向线段＝a，则
唯一确定
点A相对于点O的位置被向量a所_______________，
2.1.1 向量的概念
学习目标
1.了解向量的实际背景．
2.理解向量的相关概念和向量的几何表示．
3.理解相等向量、共线(平行)向量的含义，并会判断
向量间平行(共线)、相等的关系．
温故夯基
方向
作用点
1．力的三要素：_______、_______、____________.
大小
无
2．位移、速度_____大小和方向，_____特定位置．
定，因而在解题时，要特别注意向量为零的情况．

判断两向量的关系时一要看向量的长度，二要看向量的
方向．
例 3 如图所示，O 是正六边形 ABCDEF 的中心，
→
→
→
且OA＝a，OB＝b，OC＝c.
(1)与 a 的模相等的向量有多少个？
(2)与 a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？
(3)与 a 共线的向量有哪些？
(4)请一一列出与 a，b，c 相等的向量．
解：(1)与 a 的模相等的向量有 23 个．
→ ，BC
→，
(2)与 a 的长度相等且方向相反的向量有OD
→ ，FE
→.
AO→ ，Biblioteka C→ ，OD→ ，FE
→ ，CB
→ ，DO
→，
(3)与 a 共线的向量有EF
→
→
→
AO，DA，AD.
→ ，DO
→ ，CB
→；
(4)与 a 相等的向量有EF
→ ，EO
②错误．向量是既有大小，又有方向的量，不能只比较
大小．
③错误．两向量有相同基线表示两向量的有向线段在同
一条直线上，但两向量的大小和方向不一定都相同．
【答案】①②③
考点二 向量的表示
向量的表示方法有几何表示法和字母表示法，几何表示
法的优点是便于用向量处理几何问题，字母表示法的优
点是便于向量的运算．
例 2 在如图所示的坐标纸中，画出下列向量．
这时向量叫做点A相对于点O的位置向量．
课堂互动讲练
考点突破
考点一 向量的概念
数学中研究的向量是自由向量，即向量的长度与方向与
起点的位置无关，所以要严格区分平行向量与平行线，
共线向量与多点共线，两者不能混为一谈．
例1 下列关于向量的说法正确的个数是 (
)
①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起
向量．
→
→ → → →
解：与DG模长相等的向量有：GD、GO、OG、OH、
→ 、HB
→ 、BH
→ 、FI
→、IF
→、IE
→、EI
→、FG
→ 、GF
→ 、IO
→ 、OI
→共
HO
→ 模长相等的向量有：EF
→ 、DO
→ 、OD
→ 、GH
→、
15 个；与FE
→ 、OB
→ 、BO
→ 、AO
→ 、OA
→ 共 9 个．
点的轨迹是什么？并作出轨迹．
解：(1)根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，
且长度相等，如图．
(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这
样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，
如图．
考点三 相等向量与共线向量
共线向量的方向相同或相反．相等向量一定是共线向量，
共线向量不一定是相等向量．
有向线段AB
→
叫做向量AB的基线．如果向量的基线
______________，则称这些向量共线或平行，共线向
互相平行或重合
量的方向________________向量
a 平行于 b，记作
相同或相反
a∥b
_________.
同向且等长
(3)相等向量：两个向量 a 和 b_______________，
即使大小、方向相同，也是不同的有向线段．
3．向量的长度(模)
→
→
长度
如果AB＝a，那么AB的___________表示向量
a 的大小，
也叫做 a 的长(或模)，记作|a|.
4．与向量有关的概念
长度等于0
(1)零向量：_________________的向量，记作
0.
(2)向量共线或平行
→ 的直线
基线：通过__________________，
有
新知探究
1．向量的定义
具有_______和_________的量称为向量.
大小
方向
2．向量的表示方法
方向
始点
终点
同向且等长
→
向量AB
→
→
→
a、b、c
思考感悟
1.向量与有向线段有什么区别？
提示：(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，
只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，