上海市黄浦区2011届高三数学上学期期终基础学业测评 理【会员独享】

A
B
C C 1
A 1
B 1
图1
黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评
高三数学试卷(理)
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚； 3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．
一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．函数lg(1)
x y x
+=
的定义域是 ． 2．已知函数1()()y f x y f x -==与函数互为反函数，若函数1
()x a
f x x a
--=
+ ()x a x R ≠-∈，的图像过点(23)，，则(4)f ＝ ． 3．已知命题A ：若43
1
586212x x x x x
>+≥--≤-，则且成立．命题A 的逆否命题是 ；该逆否命题是 ．(填“真命题”或“假命题”)4．已知全集
{}21012U =--，，，，，集合2
2
1|log ()12A x x x R ⎧⎫=-=-∈⎨⎬⎩⎭，， {}|43220x x B x x R =-⋅+=∈，，则()U A C B ⋂＝ ．
5．不等式
||5
2||1
x x ->-+的解集是 ．
6．方程sin cos 1x x +=-的解集是 ．
7．已知角α的顶点在原点，始边与平面直角坐标系x 轴的正半轴重合，
点(2P -在角α的终边上，则sin()3
π
α+
＝ ．
8．如图1所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱的长度都为4，则异面直线11
AB BC 与所成的角是 (结果用反三角函数值表示)．
9．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后可得到圆心角为23
π
的扇形，则该圆锥体的体积是 ．
10．已知12e e 、是两个不共线的平面向量，向量12122()a e e b e e R λλ=-=+∈，
，若//a b ，则λ＝ ．
11．一副扑克牌(有四色，同一色有13张不同牌)共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答)．
12．下面是用区间二分法求方程2sin 10x x +-=在[01]，
内的一个近似解(误差不超过0.001)的算法框图，如图2所示，则判断框内空白处应填入 ，才能得到需要的解．
13．在数列{}*
21
1n n n n n
a a a n N p a a +++-∈=-中，如果对任意都有
(p 为常数)，则称数列
{}n a 为“等差比”数列，p 叫数列{}n a 的“公差比”．现给出如下命题： (1) 等差比数列{}n a 的公差比p 一定不为零；
(2) 若数列{}n a *()n N ∈是等比数列，则数列{}n a 一定是等差比数列； (3) 若等比数列{}n a 是等差比数列，则等比数列{}n a 的公比与公差比相等． 则正确命题的序号是 ． 14．若关于x 的方程
2||
3
x kx x =-有四个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ． 二．选择题(本大题满分16分) 本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分．
15．函数22()cos sin f x x x =-(x R ∈)的最小正周期T= [答]( )
A ．2π．
B ．π．
C ．
4π． D ．2
π． 16．已知关于x 、y 的二元一次线性方程组的增广矩阵是13122λλλ
λ-+⎛⎫
⎪⎝⎭，则该线性
方程组有无穷多组解的充要条件是λ＝ [答]( ) A ．2． B ．1或2． C ．1． D ．0． 17．给出下列命题：
(1)
函数sin sin y x x y x ==的图像可由的图像平移得到；
(2) ||
b
a b a b a b ⋅已知非零向量、，则向量在向量的方向上的投影可以是； (3)在空间中，若角α的两边分别与角β的两边平行，则αβ=；
(4)从总体中通过科学抽样得到样本数据123n x x x x 、、、、(*
2n n N ≥∈，)，则数值
(n x x S ++-=
(x 为样本平均值)可作为总体标准差的点估计
值．
则上述命题正确的序号是 [答]( ) A ．(1)、(2)、(4)． B ．(4)． C ．(2)、(3)． D ．(2)、(4)． 18．若{}*1112()1n
n n n
a a a a n N a ++==
∈-数列满足，，则该数列的前2011项的乘积
12320102011a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅= [答]( )
A ．3．
B ．-6．
C ．1-．
D ．
23
． 三．解答题(本大题满分78分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
如图3所示，已知三棱锥A
BCD 中，AD BCD 平面，点M N G H 、、、分别是
AB AD DC CB 棱、、、的中点．
(1)求证M N G H 、、、四点共面； (2)已知126DC CB AD AB M ，，，是球的大圆直径，点C 在球面上，
求球M 的体积V ．
20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
定义：如果函数00()[]y f x a b x a x <b =<在定义域内给定区间，上存在()，满足
0()()
()f b f a f x b a
-=
-，则称函数()y f x =是[]a b ，上的“平均值函数”，0x 是它的一个均
值点．如4
[11]y x =-是，上的平均值函数，0就是它的均值点．
(1)判断函数2
()4f x x x =-+在区间[09]，
上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；
(2)若函数2
()1[11]f x x mx =-++-是区间，上的平均值函数，试确定实数m 的取值范围． 21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．
D
A
C
B
·
· · · M N G
H
图3
已知12
((1)a b R e x e b x 、，向量，1)，，，121()||
f x a
e e 函数是偶函
数．
(1) 求b 的值；
(2) 若在函数定义域内总存在区间[]m n ，(m <n )，使得()y
f x 在区间[]m n ，上的函
数值组成的集合也是[]m n ，，求实数a 的取值范围．
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
如图4,某市拟在长为16km 的道路OP 的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为
曲线OSM ，该曲线段为函数sin (00[08])y A x A x ωω=>>∈，，，
的图像，且图像的最高点为(643)S ，.赛道的后一段为折线段MNP ，
为保证参赛队员的安全，限定120MNP ∠=.
(1)求实数A ω和的值以及M 、P 两点之间的距离；
(2)联结MP ，设NPM y MN NP θ∠==+，，试求出用y θ表示的解析式； (3)应如何设计，才能使折线段MNP 最长？
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．
已知各项都为正数的数列{}*111
1
()2
n n n n a a S a a n N +==∈满足，，其中{}n n S a 是数列的前n 项的和．
(1){}n n a a 求数列的通项公式；
(2)已知p (≥2)是给定的某个正整数，数列{}111
1k k k k b
k p
b b b a ++-==
满足，
(1231k p =-，，，，)，求k b ； (3)化简123p b b b b +++
+．
黄浦区2010学年度第一学期期终基础学业测评
数学试卷(文理合卷) (2011年1月12日) 参考答案和评分标准
一、填空题 1、(10)(0)，，；2、
5
3
；3、43586211
2x x
x
x x
若或，则成立；真命题 (每空2
分) ； 4、
1；5、(
1)(1)，，
； 6、|(21)22
x x n x n
n Z 或，；
7、
21
14
；8、(理科)1arccos 4，(文科)arccos 4；92；10、12 ；
11、(理科)
234425
，(文科)169
425；12、0()()
0f a f x ；
13、(理科)(1)、(3) ，(文科)
1
6
； 14、(理科)4
9
k ，(文科) 3．
二、选择题： 15、B 16、C 17、D 18、(理科)A(文科)D
三、解答题
19、(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． 解(1)
M N G H 点、、、是三棱锥所在棱的中点，
//////MN BD GH BD MN GH ∴，，进一步有． M N G H MN GH ∴、、、在直线和所确定的平面内． 于是，M N G H 、、、四点共面． (2)
AB M C 是球的大圆直径，点在球面上，
A B C ∴⊥、、是大圆上的三点，且有BC AC ．
AD ⊥⊥由平面BCD ，可得BC 平面ADC ． BC DC ∴⊥．
13DC CB AD AB ====由，． 3439
()322
V ππ∴=
=球． 20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
解(1)由定义可知，关于x 的方程2
(9)(0)
490
f f x x --+=
-在(09)，
内有实数根时， 函数2()4[09]f x x x =-+是，上的平均值函数． 解2
2(9)(0)
445090
f f x x x x --+=
--=-，即，可得1251x x ==-或．
又125(09)(1(09))x x =∈=-∉，，，故舍去，
所以，2()4[09]f x x x =-+是，上的平均值函数，5是它的均值点． (2)
2()1-11f x x mx =-++是[，]上的平均值函数，
2
(1)(1)
11(1)
f f x x mx --∴++=
--关于的方程-在(11)
-，内有实数根．
22(1)(1)
110
1(1)
f f x mx x mx m --++=
-+-=--由-，得，
解
得
1211x m x =-=或．
又21(1)x =∉-，1，
11x m ∴=-必为均值点，即111m -<-<． ∴所求实数02m m <<的取值范围是．
21．(本题满分16分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分9分．
解(1)由已知可得，1
()|2|
f x a x b =-
-，且函数的定义域为D =()()22b b -∞⋃+∞，，
． 又()y f x =是偶函数，故定义域D 关于原点对称． 于是，b =0(22
b b
b D D D ≠∈∉否则，当0时，有-
且，即必不关于原点对称)．
又对任意()()0.x D f x f x b ∈=-=，有，可得 因此所求实数b =0． (2) 由(1)可知，1
()((0)(0))2||
f x a D x =-
=-∞⋃+∞，，． 考察函数1
()2||
f x a x =-
的图像，可知：()(0)f x +∞在区间，上是增函数， ()()f x -∞在区间，0上是减函数． 因()y
f x 在区间[]m n ，上的函数值组成的集合也是[]m n ，，故必有m n 、同号．
①当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是增函数，
有1212a m m
a n n ⎧
-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即方程12x a x =-，也就是2
2210x ax -+=有两个不相等的正实数根，因此2
20480
a a >⎧⎨∆=->⎩，
解得2()2210)a m n m n x ax ><-+=此时，、取方程的两根即可．
②当0m n <<时，()[]f x m n 在区间，上是减函数，
有1212a n m
a m n ⎧
+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，化简得()0m n a -=，解得1
0(()0)2
a m n m n mn m n =<=<<此时，、的取值满足，且即可．
综上所述，所求实数0a a a =>的取值范围是或．
22．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分5分．
解(1)
结合题意和图像，可知264sin 6A πωω⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，
解此方程组，得12A πω⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
，于是([08])12y x x =∈π，．
进一步可得点M
的坐标为88612
x y π
=⎧⎪
⎨==⎪⎩．
所以，10MP =
=(km )．
(2)在120MNP MNP NPM θ∆∠=∠=中，，，故sin sin(60)sin120
MN NP MP
θθ==
-． 又10
MP =，
因此，)y θθ=
-(060θ<
<)． (3)
把)y θθ=
+-
进一步化为： )y θ=
+(060θ<
<)．
所以，当max 303y θ==
=时，(km )． 可以这样设计：联结MP ，分别过点M 、P 在MP 的同一侧作与MP 成30角的射线，记两射线的交点为N ，再修建线段NM 和NP ，就可得到满足要求的最长折线段MNP 赛道．
23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分7分，第3小题满分5分．
(理科)解(1)
11
2
n n n S a a +=
，0n a >*()n N ∈， 111
2
n n n S a a --∴=． 11111
()2(2)2
n n n n n n a a a a a a n +-+-∴=--=≥，即．
24682n a a a a a ∴、、、、、是首项为2a ，公差为2的等差数列；
135721n a a a a a -、、、、、是首项为1a ，公差为2的等差数列．又11121
1
2
a a a ==，S ，可得22a =．
∴*
221221()n n a n a n n N -==-∈，．
所以，所求数列的通项公式为*
()n a n n N =∈．
(2)
p 是给定的正整数(2p ≥)，
11
(1231)k k k b k p
k p b a ++-==-，，，，， ∴数列{}k b 是项数为p 项的有穷数列．又111(1231)1
k k
b
k p
b k p b k +-==
=-+，，，，，．
23234(1)(1)(2)(1)(2)(3)
(1)
(1)(1)232432
p p p p p p b b b ------∴=-=-=-⋅⋅⋅，，,… 归纳可得1(1)(2)(3)(1)(1)
(123)!
k k p p p p k b k p k -----+=-=，，，，． (3)由(2)可知，1(1)(2)(3)(1)(1)
(123)!
k k p p p p k b k p k -----+=-=，，，，进一步可化为：1(1)(123)k k k p b C k p p
=-
-=，，，，． 所以，12233
12311[(1)(1)(1)(1)]p p
p p p p p p b b b b b C C C C p
-+++
++=--+-+-+
+-
012233
1[(1)(1)(1)(1)1]p p
p p p p p C C C C C p
=-+-+-+-+
+--
1
[(11)1]p p
=-
-- 1p
=
． (文科)
*21*
2111(1)
325()32322()3232n
n n
n n n n n n
n n
a a n N a a n
N a a 解数列满足，．
∴数列{}n a 是等差比数列，且公差比p =2．
(2)∵数列{}n b 是等差比数列，且公差比p =2，
11
2(2)
n n
n n b b n b b +--∴
=≥-，即数列
1
21)2n n b b b b 是以(为首项，公比为的等比数列． 2
11
2
1()22(2)n
n n
n
b b b b n
．于是，
用心 爱心 专心 11 1
12n n n b b ，
2
122n n n b b ，
…
212b b ．
将上述1n 个等式相加，得
211222n n b b . ∴数列{}n b 的通项公式为*2()n n b n N =∈．
(3)由(2)可知，123n n S b b b b
2122222n n ．
于是，32
*21211222()2
2n n n n n n n n S S n N S S +++++++--==∈--．
所以，数列{}n S 是等差比数列，且公差比为2p =．。