薛文叙-必修2立体几何初步单元教学设计

3. 尽量做到返璞归真，揭示立体几何的概念、性质、定 理的发展过程和本质，通过观察、分析、类比、归纳、概 括的方法，经直观感知、操作确认之后，获得立体几何中 最具基础性和实用性的四条公理，一个等角定理以及直线 与平面、平面与平面平行和垂直的四个判定定理及四个性 质定理. 在概念、公理、定理的形成过程，先得出猜想，后 或归纳或证明，都是一种合情推理的过程. 对合情推理以及
义．
符合学生的认知规律，易于帮助学生学习和理解是我
们教学的立足点． 立体几何的教学任务，是帮助学生形成空间观念．包
括整体把握几何体的结构、属性，再进入局部把握几何元
素点、线、面之间的位置关系和简单的度量关系；在真实 几何体与抽象图形之间转化，能自如的运用三种语言描述 立体几何对象及其关系；能适度的进行逻辑推理，论证相 关的命题．
系.
中学的几何科与作为一门科学的欧氏几何有所不同，不 应该也不可能按照严格的公理体系来讲授.但是，为了使学生
更好地掌握系统的几何知识，并且便于培养他们推理论证的
能力，也应该在学生能够接受的条件下，力求逻辑的严谨性. 因此，中学的几何科应该以一些公理作为出发点，推导其他
的定理.
立体几何课时的演变
年代 1956年 内容 高中二年级 直线和平面 高中三年级 1.直线和平面 2.多面体 3.旋转体 1.直线和平面 2.多面体的性质 3.旋转体的性质 4.多面体和旋转体的表面积和体积 复习 1.直线和平面 2.多面体和旋转体 3*. 多面角和正多面体 1.直线和平面 2.多面体和旋转体 直线、平面、简单几何体 必修2立体几何初步 空间向量与立体几何 课时 43 6 30 20 40 15 20 24 6 28 29 7 28 29 36 18 12
贯穿全章的基本模型是长方体，除了对长方体自身， 包括整体的本质属性、细致的线面关系分析透彻外；还要 熟练地把长方体图形展开成平面图形，把平面图形还原成
长方体；把长方体切割，把切割后的几何体还原；把需要
论证或度量的几何体镶嵌到长方体中等等．事实上，多数 人学数学、用数学是在直角坐标系中，主要研究的关系是
1963年
1982年 重点中学 1986年 1996年
2004年
吴文俊先生为《〈九章算术〉及刘徽注研究》一书作序 时说的一段话： “中国的古代数学基本上遵循了一条从生产 实践中提炼出数学问题，经过分析综合，形成概念与方法， 并上升到理论阶段，精练成极少数一般性原理，进一步应用 于多种多样的问题。从问题而不是从公理出发，以解决问题 而不是以推理论证为主旨，这与西方之以欧几里得几何为代
应用定义、公理或定理时，可以在教学中多关注以下 两点：一是，在几何体特别是长方体中，运用它们分析几 何体内各种线面的位置关系(包括对角面、对角线、截面
等)；二是用变图式进一步理解相关内容．“非标准”图
形，图形位置的变化和衬托背景的变换， 变更概念的非
本质属性，让学生识别．排除由标准图所带来的错误信息
三．学习的困难
① 立体几何的概念具有层次性 ②在二维平面上画三维的直观图，需要在逻辑推理的 基础上进行空间想象. 识图障碍
画图障碍
数学语言障碍 表达障碍
③立体几何的条件判断有若干个，结论判断也有若干
个，有时条件用不上，不知该由哪儿入手，有时由条件推 出别的结论而不是你需要的结论．
四．教学建议
1. 由学生自己动手作出各种几何体(如长方体、棱柱、 棱锥、圆柱、圆锥)的模型，在制作模型的过程中，会对 几何体的整体结构有新的认识．
我们应从教材的宏观把握上进行分析，把握改革后立体
教学的大方向.
一．单元教材分析
一．单元教材分析：以图形结构特征为主线，按照从
“整体---局部---整体”的方式展开几何内容.
点 位、 置线 关、 系面 的 面简 积单 和几 体何 积体 的
简 单 几 何 体
直 观 图
三 视 图
1. 通过空间几何体的结构特征和三视图、直观图的学 习，帮助学生初步形成空间观念. 立体几何开篇即从学生视角出发，观察分析身边的几何 体，得出简单多面体和旋转体的概念，分析其整体结构， 提炼基本属性，并用数学语言表示，其中长方体是最基本
究(平行和垂直)上，定量研究(角和距离)在必修中不作过
多、过难的要求． • 这是立体几何学习的第二层次，对构成空间图形的基
本元素：点、线、面及其相互的位置关系细致分析，获得 立体几何中最基本的概念、公理、定理，即得到处理立体 几何问题的理论．
•
这个层次，对于表示各种位置关系的图形的画法及符
号表示教材中都作了详细说明与示范，分别文字语言、图 形语言、符号语言表述，期望培养学生用符号语言和图形
的方式完成，如何想，从哪儿入手，看视图的关键等等问
题都可由学生边看边总结，老师起到引导、点播、解疑、 把关的作用． 每位学生明白，画或看三视图，关键点有三：一是确 定正视的方向；二是不可见边界轮廓线，用虚线画出；三 是理解主视图、俯视图、左视图之间“长对正、高平齐、 宽相等”的含义.
用斜二测画法画直观图，关键是让学生掌握水平放置 的平面图形直观图的画法．画图原理一般地应由教师讲
出图形．相互交流过程，教师点评．开始应从最简单的几
何体，如正方体，正四棱锥等等开始，要求学生把几何体 与投影面的位置不同，画出不同的视图．如：
再画含有不可见边界轮廓线的几何体的三视图．师生共
同画图，分析画图的方法、规矩、尺寸的表明等．有了这 些基础，简单组合体的三视图，要学生首先仔细观察分析 其结构特征，找好投影方向，由他们自己动手完成图形． 由三视图想象几何体的教学任务，不妨采用小组讨论
的图形，是后续学习的基本模型．
当对几何体有初步的整体认识后，自然要提出问题：怎 样用图形表示．教材给了两种最常用的方法：三视图和直
观图，它们是定性认识、把握图形的的载体． “图”可以
帮助思考，把抽象地东西变得直观，把难的变得容易．丰 富学生头脑的空间图形表象，有利于学生空间想象能力的 发展．
2. 再对几何体的“细部特征”，即构成几何体的几何 元素:点、线、面等的关系进行研究，把重点放在定性研
2. 第一单元：简单几何体，其实学生有生活基础，还
有初中的学习基础．这个单元可以采用自主学习、师生 研讨、小论文发布等方式进行教学．围绕的问题：学什 么；简单几何体怎样分类；结合模型和实物分析这些几 何体自身的结构特征及其相互的差异；会画图表示吗；
怎样用符号表示等等.
这里注意的是：一定由学生观察自己做的模型、身边 的实物及图片，感受空间几何体的结构，抽象出它们的
2. 重视几何直观，认为“几何是可视逻辑”，几何的 逻辑关系很多就在它的图形中反映出来，几何直观正是这
种逻辑关系的表现．
本章，几何直观主要体现在以下两个方面：首先，安排
大量丰富的图形，多面体、旋转体、直线、平面，这些图
形在我们的生活中随处可见，反映了学生学习的数学内容 是现实的，有意义的．其次，十分重视模型的作用，特别 是长方体模型，引导学生通过对实际模型的认识、观察， 归纳空间线面、面面的位置关系．便于学生对于立体几何 基本元素及其关系以具体、生动的表象而深刻地保持在记 忆中，在形成几何直观能力中起到了非常重要的作用.
六个字．要学生依托长方体、周边的实物及自制的模型，
手、脑并用，亲手操作，眼看、手摸、脑想，直观地看清 各种线线、线面、面面的关系．沿着点、线、面之间的平 行与垂直关系，发现、探索、研究、讨论，分析有哪些组 合形式，研究的内容和研究的方法．相关定义、定理的得 出，一定让学生经历发现、认识、三种语言的表达的全过 程．
逻辑推理与合情推理的有机结合在几何学习中是十分重要
的．
4. 依据学生实际，多角度、多方式的处理教材． 例如可以依托相交直线过渡到异面直线，也可以直接
分析异面直线；又如直线和平面垂直：“如果直线与平面
内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线与平面互相垂 直”；“如果直线与平面交于一点，并且它和平面内过交 点的每一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直”；“ 如果直线与平面内的两条相交直线都垂直， 我们就说直 线与平面互相垂直”……．每一个反映直线与平面垂直本 质属性的命题都可以作为直线与平面垂直的定义，但是符 合学生认识规律的应是自然的，容易理解的，把它作为定
表的所谓演绎体系旨趣迥异，途径亦殊。中国传统数学在从
问题出发以解决问题为主旨的发展过程中建立了以构造性与 机械化为其特色的算法体系，这与西方数学以欧几里得《几
何原本》为代表的所谓公理化演绎体系正好遥遥相对。……
肇始于中国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的 相对消沉后，由于计算机的出现，已越来越为数学家所认识
平行与垂直，这都与长方体息息相关．
二．教育分析
1. 立体几何初步的安排，符合学生的认知规律．
学生们容易接受整体、实物、具体的现实的点线面之间 的位置关系．因此教材的顺序：简单几何体(整体结构)----点 线面的位置关系(局部细致的分析几何元素间的关系)----几何 体及其面积体积(深层次的整体)．在讨论点线面的位置关系 时，平行与学生的认知水平更贴近，基本属于共面问题，安 排在前．垂直关系与学生的基础有跳跃，安排在后，作为全 章高层次知识、能力水平处理．面积、体积可以看作对几何 概念、公理、定理的回顾反思，对几何体的度量的一种再认 识．
的干扰，认清概念、公理和定理的内涵特征，帮助学生形 成正确的理解．
语言进行数学表达与交流的能力.
3. 利用已经掌握的立体几何知识对空间几何体再认识，
即重新审视，观察棱柱、棱锥的属性，再确认柱、锥、台、 球的表面积和体积的计算公式.这可以看作立体几何学习的 第三层次．
三个层次实现了“从整体到局部、从局部到整体，从
具体到抽象，从抽象到具体”的有机结合，既突出了几何
直观能力的要求，又显现了理论的指导作用．
两个阶段：第一阶段是以直观图为背景的综合几何系统，教
学目标只要达到启蒙水平，第二阶段以空间向量为背景的解 析几何系统，教学目标要达到掌握与应用水平. 针对两个阶段提出教学策略：第一阶段为充分利用学生 现实生活的现实空间与直观感知，展开知识体系．第二阶段 在理解空间向量的基础上，将空间直线、平面转化到空间向 量上来.
必修二立体几何 单元教学设计
传统大纲对立体几何的要求 立体几何应该先讲授空间的直线和平面，然后讲授多面 体、旋转体的性质和画法以及表面积和体积的计算.为了便于 学生掌握立体几何的基础知识，在讲授直线和平面时，应该 以位置关系为主要线索，先讲授直线和直线的位置关系，再 讲授直线和平面的位置关系，然后讲授平面和平面的位置关
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三视图和直观图是空间几何体的平面的图形表达方
式，教学中要注意它们之间的联系，让学生能由三视
图画出直观图，反之，由直观图画三视图．使学生的 空间观念在不知不觉中得到了发展．
4. 第三单元：点、线、面之间的位置关系
学生初步建立空间观念后，再从局部即构成几何体的
基本元素点、线、面及其关系进行研究．这部分教学，要 贯穿“直观感知，操作确认，思辨论证，度量计算”这十
结构特征；要从不同角度观察、分析，能对基本几何体
切割、组合，认识其结构；认识柱锥台各自的特征及其 之间的联系．
3. 第二单元：三视图和直观图．三视图和直观图是空 间几何体的平面的图形表达方式，这部分的学习对空间想
象能力的培养有很高的价值．
在初中学习的基础上，首先要求学生从三个不同方向 观察实体模型，想象它在三个面的投影形象，自己动手画
解，程度好的学生也可以自学．明白原理后，应在教师
引领下，由学生自己借助直角坐标系，画水平放置的多 边形，确定特殊点(如顶点)位置，画出多边形，完成直观 图．继续，要学生能从给定的直观图想象出实体形状以 及几何元素在空间的实际位置关系． 学生对图形的认识，从作图、识图、用图三个环节展 开，画图在先，是对图形的把握和理解到位的基础．一定 要严格训练，注重作图规范；明白作法，明确作图原理．
与重视，势将重新登上历史舞台。”
以“从生产实践中提炼出数学问题，经过分析综合， 形成概念与方法，并上升到理论阶段，精练成极少数一般
性原理，进一步应用于多种多样的问题”为基本线索，这
样就既反映了数学的逻辑严谨精神，又反映了数学“一般 原理”的概括和应用过程，从而也就符合了学生的数学认
知规律。
空间向量融入，改变了立体几何的系统，立体几何分为