南昌大学高等代数(下)A

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②在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵；
③保持任两个向量的夹角不变； ④标准正交基在下的像仍是标准正交基。
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二、 计算 (每小题 10 分，共 20 分)
得分 评阅人
13 16 16 1．在复数域上求矩阵 A 5 7 6 的若尔当标准形及初等因子和不变因子。 6 8 7
2． A P 设
(1)证明： 全体与 A 可交换的矩阵组成 P nn 的一个子空间， 记作 C ( A) ； 1 0 0 0 2 0 (2)对于对角矩阵 A ，求 C ( A) 的维数和一组基。 0 0 n
nn
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一、 填空题(每题 4 分，共 20 分)
得分 评阅人
2 1. 若矩阵 A= 1 0
1 1 t
0 t 是正定的，则 t 的取值范围是 1
。
2. 设 V 和 W 分别是 n 元线性方程组 AX=0 和 n 元线性方程组 BX=0 的解空间，且方程 组 AX=0 与 BX=0 无非零公共解，若矩阵 A、B 的秩分别是 r 和 s，则线性空间 V+W 的 维数是 。
-1
1

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5．证明：如果是正交变换，则的不变子空间的正交补也是的不变子空间。
6．设 A 是正定实矩阵。证明：(1) A 的特征值全大于 0；(2)若两个实对称矩阵 B 和 C 有完全一致的特征向量和特征值，则 B=C；(3)对任一正整数 m，存在唯一的正定实 矩阵 B，使 B m A 。
填空题每题4分共20得分评阅人是正定的则t的取值范围是和w分别是n元线性方程组ax0元线性方程组bx0的解空间且方程组ax0与bx0无非零公共解若矩阵ab的秩分别是r和s则线性空间vw的上次数小于n的一元多项式构成中用表示线性变
南昌大学 2009～2010 学年第一学期期末考试试卷
试卷编号： 6012 ( A )卷 课程编号： Z5501B001 课程名称： 姓名： 专业：
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2 2 2． 用正交线性变换化下列二次型为标准形：f 2x12 5x2 5x3 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 。
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三、证明题(每小题 10 分，共 60 分)
得分 评阅人
1．设 A 是实对称矩阵，证明：当实数 t 充分大时，tE+A 是正定矩阵。
三 60 四 五 六 七 八 九
高等代数 学号：
考试形式： 班级： 考试日、信计 学院：
题号 题分 得分
理学院
一 20 二 20
累分人 签名
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3. 在线性空间 P[x]n（由数域 P 上次数小于 n 的一元多项式构成）中，用表示线性变 换——求微商，若 n 2 ，则其平方2 的秩为 ，零度为 。
4 ． 若 二 级 矩 阵 A 的 迹 为 -2 ， A 的 行 列 式 为 3 ， 则 A 的 特 征 多 项 式 为 。 。
5．欧氏空间 V 的线性变换，以下命题中与是正交变换等价的有 ①保持向量的长度不变；
3．在 n 维线性空间中，设有线性变换与向量 ，使得 0 0 0 0 1 0 0 0 在某组基下的矩阵是 0 1 0 0 。 0 0 1 0
n-1
0 ，但 0 。求证
n
4．设是线性空间 V 上的可逆线性变换。证明：若 是的特征值，则 0 ，并且 是 的特征值。