二项式系数.ppt

我們注意到T有

n
k
1個包含k個元素的不同子集合。
這類的子集合能分成兩類：一種是包含元素a與k1個S中
的元素；另一種是不包含a，而包含k個S中的元素。
由而所於包以包含，含我k個們kS中有1個的nS元k中1素的之元k n子素1集之 合kn子個集數合為個數kn。為
解：解決這個問題的一個方法是，列出所有的可能性如下：
4個蘋果
4個橘子
3個蘋果；個橘子
3個蘋果；1個梨
3個橘子；1個梨
3個梨；1個蘋果
2個蘋果；2個橘子 2個蘋果；2個梨
2個蘋果；1個橘子；1個梨
2個橘子；1個蘋果；1個梨
2個梨；1個蘋果；1個橘子
4個梨 3個橘子；1個蘋果 3個梨；1個橘子 2個橘子；2個梨
k
n 0
(1) k

n k


0
證明:利用二項式定理當x = 1，y = 1時，
0 0n

(1 (1)) n

n k 0

n k
1nk
(1)
k

n k 0

n k
(1)
k
注意:此系理可推導出

n 0



17
例： 假設某餅乾店中有四種不同口味的餅乾。若 不計挑選時的順序，選取六個餅乾有幾種方法？
解：此問題等同於求出在4個元素所成集合中，允 許重複的6-組合方式之個數。根據前定理，共有
C(4 6 1, 6) C(9, 6) C(9, 3) 9 8 7 84 1 23
21
將物件分配至箱子中
可區分物件與可區分的箱子
例：將一副標準的52張撲克牌，分給四個人，一人五張， 會有多少種不同的情形？
解：我們將使用乘法法則來解決這個問題。首先，將5張 牌分給第一個人的方法有C(52, 5)種方法；將5張牌分給第 二個人的方法有C(525, 5) = C(47, 5)種方法；5張牌分給 第三個人的方法有C(42, 5)種方法；分給第四個人的方法
20
定理：若n個物件中，第１種相同的物件有n1個；第2種相 同的物件有n2個；…；第k種相同的物件有nk個。則此n個 物件的排列方式共有n!/n1!n2!…nk!!。
證明：將此n個物件排成一列（共有n個位置）。首先挑選 出n1個位置來放第1種物件，其方法數為C(n, n1)。這個時 候，只剩下n n1個位置可以放置新的物件。接下來，選 出n2個位置來放第2種物件，有C(n n1, n2)種方法。這個 時候，只剩下n n1 n2個位置可以放置新的物件。繼續這 樣的步驟，再根據乘法法則，再經過約分，總排列方法數 有 C(n, n1)C(nn1, n2)…C(nn1…nk1, nk) = n!/n1!n2!…nk!!
有C(37, 5)。因此，總共的方法有
C(52, 5)C(47, 5)C(42, 5)C(37, 5) 52! 47! 42! 37! 47!5! 42!5! 37!5! 32!5!
52!
5!5!5!5!32!
22
定理：將n個不同物件分配到k個不同的箱子，使
得第i個箱子中有ni個物件，其中i = 1,2,…,k，的方
二項式係數(§5.4)

在n個元素的集合中選出r-組合的方法數為

n r
。
這個數也稱作二項式係數(binomial coefficient)，
因為這些數將出現在二項展開式，如(a + b)n的係
數中。
1
二項式定理(The Binomial Theorem)
令x和y為變數，而n為非負整數，則
複使用，所以長度為r的字串共有26r。
允許重複使用之n個元素的r-排列可能方法數如下面定理所 示。
定理：有n個元素之集合中，允許重複的r-排列共有nr種。 證明：在r-排列中，每個位置都有n個選擇，根據乘法法則
允許重複的r-排列共有nr種。
15
重複組合
例： 從一個包含蘋果、橘子和梨的碗中，挑選四個水果有 幾種可能性？若不計挑選時的順序，而且每種水果在碗中 的數目皆大於四。
一共有15中可能性。
16
定理：包含n個元素的集合中允許重複之r-組合的個數為 C(n + r 1, r) = C(n + r 1, n 1)。
證明：每個在包含n個元素的集合中允許重複之r-組合，都 能以n 1個隔板和r個記號的排列來表示。第i個隔板和第 i + 1個隔板間的記號個數，代表某元素選取的個數。譬如， 在4個元素的集合中，挑選6個。當隔板與記號的排列方式 為 │││ 表示第一個元素取兩個；第二個元素取一個；第三個元素 不取，而第四個元素取三個。 如此一來，要解決的問題變為在(n 1) + r個物件的排列 中，只有兩種不同物件，一種有n 1個，一種有r個。故， 一共有C(n + r 1, r)種方式。由於，(n + r 1) r = n 1， 根據5.3節系理，C(n + r 1, r) = C(n + r 1, n 1)。
4 2

x
2
y2


4 3

xy
3


4 4

y
4
x 4 4x3 y 6x 2 y 2 4xy 3 y 4
3
例:求出(x + y)25展開式中x12y13的係數。 解:根據二項式定理，係數為
1235

25! 13!12!

5,200,300
視為在n元素集合中(nj)-組合的個數，即 ，得證。
n
n
j



n j

2
例:求出(x + y)4的展開式。
解:根據二項式定理
x
y 4

4 j0

4 j
x
4
j
y
j


4 0

x
4


4 1

x
3
y


4
例:求出(2x 3y)25展開式中x12y13的係數。
解:由於(2x 3y)25相當於(2x + (3y))25，根據二項
式定理
2x (3y)25

25 j0
2j5(2x)n j (3y) j
所以，x12y13的係數是當j = 13時，
1235212 (3)13
4 4 4 4 4 0 1 2 3 4
5 5 5 5 5 5

0 1 2 3 4 5
10
二項式係數的等式
凡德蒙德等式(Vandermonde’s Identity) 令m、n和 r為非負整數，而且r不能大於m與n。則
法數為
n!
n1!n2! nk !
m n r m n
r k0 r k k
證明:假定在一個集合中有m個元素，而第二個集
合中有n個元素。從這兩個集合中取出r個元素的
方法有

m
r
n
個。另外一種算法，假設這r個元素中，
有k個取自第一個集合，而r k個來自第二個集合，

n k
1nk
2k

n k 0

n k
2
k
8
帕斯卡等式與三角形
帕斯卡等式(Pascal’s Identity) 令n k為正整數，則

n
k
1


k
n 1


n k

證明:假設T為包含n +1個元素的集合，而a T，S = T{a}。

25! 212313 13!12!
5
系理:令n為非負整數。則
n
k 0

n k


2n
證明:利用二項式定理當x = 1，y = 1時，
2n
(1 1)n
n

k 0

n k
1nk1k

n k 0

n k

，得證。
6
系理:令n為正整數。則
種不同的方式來挑選餅乾。
18
例：方程式x1 + x2 + x3 = 11有多少組解？其中x1， x2和x3為非負整數。
解：此問題等同於由3個元素{x1, x2, x3}的集合中， 允許重複的選出11個元素出來組合。根據定理，
共有
C(3 111, 11) C(13, 11) C(13, 2) 1312 78
其中0 k r。則利用乘法法則這樣選取的方法
有
mk r
n
k
。所以從兩集合中取出r個元素的方
法有 。
m
r
n

r k 0

r
m k

n k

11

系理:若n為非負整數。則

2n n

13
較複雜的排列與組合(§5.5)
重複排列 重複組合 不可區分物件的排列 將物件分配至箱子中
可區分物件與可區分的箱子 不可區分物件與可區分之箱子 不同的物件和相同的箱子 相同的物件和相同的箱子
14
重複排列
例：利用英文字母能形成多少長度為r的字串？ 解：根據乘法法則，因為英文字母有26個，又因為可以重
x
yn

n j0

n j
x
n
j
y
j


n 0

xnΒιβλιοθήκη n 1
x
n1
y


n 2

x
n2
y2



n
n
1
xy
n1


n n

yn
證明：將使用組合證明方式。當j = 0, 1, 2, …, n， xnjyj項的係數可以由相乘的n項(x + y)中，選取 (nj)項的x和j項的y來相乘而得，所以其係數應可
n 2



n 4





n 1



n 3



n 5




2n1
7
系理:令n為非負整數。則
n
k 0
2
k

n k


3n
證明:利用二項式定理當x = 1，y = 2時，
3n
(1 2)n
n

k 0
k
n
1，
9
帕斯卡三角形(Pascal’s triangle)
0
此三角形之第n列包含
二項式係數 C(n, k)。
0
1 1 0 1
帕斯卡等式
4 4 5 2 3 3
2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 0 1 2 3
n
n
k

12
定理:令n和r為非負整數，而且r n。則
n 1 n j
r 1 jr r
證明:根據前面章節中的範例，我們知道左式等於 長度為n + 1位元字串恰巧包含r + 1個1的字串數目。 在長度為n + 1恰巧包含r + 1個1的位元字串中，最 後一個1一定落在第r + 1、r + 2、…或n + 1的位置 上。若最後一個1在第j + 1個位置時，這樣的字串 數其等中r於長j 度n為。j所，以恰，巧等有式r個成1的立位。元字串數k r1，

n k 0

n k

2
證明:令m = r = n，代入凡德蒙德等式，得到
2n n n n n n2
n k0 n k k k0 k
最後的等式來自

n k



組解。
1 2
19
不可區分物件的排列
例７ 將單字SUCCESS之字母重新排列，將形成多 少不同的字串？
解：由於字串中有相同的字母，所以排列方式不 會等於將七個元素排列。字串中有3個S，2個C， 1個U和1個E。在考慮重排後的字串時，首先將三 個位置分配給S共有C(7, 3)種方法；從剩下的五個 位置中，分配2個給C，有C(5, 2)中方法；剩下兩 個位置一個給U，有C(2, 1)種方式；最後的位置留 給E，有C(1, 1)種方式。利用乘法法則，共有 C(7, 3)C(4, 2)C(2, 1)C(1, 1) 420 種。