贵州省遵义市南白镇南锋中学高三数学理期末试卷含解析

贵州省遵义市南白镇南锋中学高三数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个体积为的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧(左)视图的面积为
A．B． C． D．
参考答案：
D
2. 一个棱锥的三视图如右图所示，则它的体积为（）
A． B．
C．1 D．
参考答案：
【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2
【答案解析】A 由已知三视图我们可得：棱锥以俯视图为底面，以主视图高为高，故h=1，S底面= ×（1+2）×1= ，故V= S底面h=，故答案为：A
【思路点拨】根据已知三视图，我们结合棱锥的结构特征易判断出几何体为四锥锥，结合三视图中标识的数据,我们易求出棱锥的底面面积及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案．
3. 若曲线与曲线在交点处有公切线，则
（A）（B）（C）
（D）
参考答案：
C
略
4.
设集合A =, B=,则A∩B＝
A． B． C． D．
参考答案：
答案:D
5. 已知Ｐ是抛物线上的一个动点，则点Ｐ到直线和的距离之和的最小值是（）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
参考答案：
C
6. 设函数且方程的根都在区间上，那么使方程有正整数解的实数a的取值个数为 ( )
A.2
B.3
C.4
D.无穷个
参考答案：
B
略
7. 已知向量=（1，﹣2），=（1，1），=+， =﹣λ，如果⊥，那么实数λ=（）A．4 B．3 C．2 D．1
参考答案：
A
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【分析】由平面向量坐标运算法则先分别求出，再由⊥，能求出实数λ．
【解答】解：∵量=（1，﹣2），=（1，1），
∴=+=（2，﹣1），
=﹣λ=（1﹣λ，﹣2﹣λ），
∵⊥，∴ =2（1﹣λ）+（﹣1）（﹣2﹣λ）=0，
解得实数λ=4．
故选：A．
8. 命题“，”的否定是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
参考答案：
B
【分析】
根据特称量词的否定得到结果.
【详解】根据命题否定的定义可得结果为：，
本题正确选项：B
【点睛】本题考查含量词的命题的否定问题，属于基础题.
9. 已知复数z= （其中i为虚数单位），则z的虚部为（）
A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i
参考答案：
A
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】化简已知复数，由复数的基本概念可得虚部．【解答】解：z===﹣1﹣i，
则z的虚部为﹣1，
故选：A
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题．
10. 已知，则是的（）。

A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为M，现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的重量为a i（i=1，2，…，10），且a1＜a2＜…＜a10，若48a i=5M，则i= ．
参考答案：
6
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为{a n}且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值．
【解答】解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，
记为{a n}，设公差为d，
则，解得a1=，d=，
所以该金杖的总重量M==15，
因为48a i=5M，所以48[+（i﹣1）×]=25，
即39+6i=75，解得i=6， 故答案为：6．
12. 执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于
．
参考答案：
13. 如图所示，在一个(
且
)的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格
涂黑色，其余网格涂白色
.若用表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则
的
最小值为 .
参考答案：
14. 对于函数, 给出下列四个命题:
① 存在
, 使; ② 存在, 使恒成立; ③ 存在, 使函数
的图象关于y 轴对称; ④ 函数f (x )的图象关于点
对称; ⑤ 若
, 则.
其中正确命题的序号是 . 参考答案： ①②③④
15. 若圆锥的侧面展开图是半径为1cm 、圆心角为
的半圆，则这个圆锥的轴截面面积等
于 .
参考答案：
因为半圆的周长为
，所以圆锥的母线为1。

设圆锥的底面半径为，则
，所以。

圆锥
的高为
，所以圆锥的轴截面面积为。

16. 正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两
点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦
的长度最大时，
的取值范围是 ． 参考答案：
因为是它的内切球的一条弦，所以当弦经过球心时，弦的长度最大，此时
.以
为原点建立空间直角坐标系如图.
根据直径的任意性，不妨设
分别是上下底面的中心，则两点的空间坐标为
，设坐标为
，则,
,所以
，即
.因为点
为正方
体表面上的动点，，所以根据的对称性可知，的取值范围与点
在哪个面上无
关，不妨设，点
在底面
内，此时有
，所以此时
，,所以当
时，
，
此时
最小，当但
位于正方形的四个顶点时，最大，此时有
，所以
的最大值为2. ，所以
，即
的取值范围是
17. 设向量，，，若，则实数
．
参考答案：
3
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用20年，每厘米厚的隔热层建造成本是6万元，天宫一号每年的能源消耗费用C （万元）与隔热层厚度（厘米）满足关系式：，若无隔热层，则每年能源消耗费用为8
万元.设
为隔热层建造费用与使用20年的能源消耗费用之和.
(I ）求C （）和
的表达式；
(II ）当陋热层修建多少厘米厚时，总费用最小，并求出最小值.
参考答案：
（I ）当
时，C=8，所以=40，故C
(II ）
当且仅当时取得最小值.
即隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为70万元.
19. (本题满分12分)下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择11月10日至11月21日中
的某一天到达该市，并停留3天（包括到达的当天）. (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(Ⅱ)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求X 的分布列与数学期望;
参考答案：
设表示事件“此人于11月日到达该市”( =10,11,…,21).
根据题意, ,且…………………2分
(I)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则, 所以
…………………5分
(II)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,3且
…………………9分
所以X的分布列为:
3
故X的期望…………………12分
20. 已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C： +y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH 为直径的圆内，求实数m的取值范围．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用；直线与圆锥曲线的关系．
【分析】（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据， =2，可知G（，），h（，
），表示出|GH|2，设M是GH的中点，则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH|整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围，最后综合可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），
所以=，得m2=2，
又因为m＞1，所以m=，
故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．
（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，消去x得
2y2+my+﹣1=0
则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，
且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．
由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，
由， =2，可知G（，），H（，）
|GH|2=+
设M是GH的中点，则M（，），
由题意可知2|MO|＜|GH|
即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0
而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）
所以（）＜0，即m2＜4
又因为m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范围是（1，2）．
21. （本小题满分12分）
已知函数
（I）当函数在点处的切线与直线4y-x+1=0垂直时，求实数m的值；（Ⅱ）若时，恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：
参考答案：
（I）5；（Ⅱ）[2，+∞）；（Ⅲ）见解析
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数证明不等式
（Ⅰ）∵，
∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率k=f′（0）=1-m，
∵函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线4y﹣x+1=0垂直，
∴1-m=-4，
∴m=5；（Ⅱ）依题意不等式在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx在x≥0时恒成
立．令g（x）=x+2﹣（x+2）lnx（x≥0），则g′（x）=，
∴x≥0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在[0，+∞）时为减函数，∴g（x）≤g（0）=2，∴m≥2
即实数m的取值范围是[2，+∞）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x≥0时，成立，即有，令,
则有，即，
所以
【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得到
所求m的值；（Ⅱ）不等式在x≥0时恒成立，即m≥x+2﹣（x+2）lnx在x≥0时恒成立．令g（x）=x+2﹣（x+2）lnx（x≥0），求出导数，求得单调区间，即可得到最大值，令m不
小于最大值即可．（Ⅲ）把不等式转化为，再结合裂项求和法即可。

22. 某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y=mf（x），其中f
（x）=，当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中的浓度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化．
（Ⅰ）如果投放的药剂质量为m=5，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（Ⅱ）如果投放的药剂质量为m，为了使在9天（从投放药剂算起包括9天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值．
参考答案：
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（Ⅰ）确定m=5，利用分段函数，解不等式，即可求得结论；
（Ⅱ）由题意，?x∈（0，9]，结合函数解析式，确定函数单调性，求出其服务，即可求出投放的药剂质量m的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）当m=5时，，…
当0＜x≤5时，显然符合题意；…
当x＞5时，由可得5＜x≤21；…
综上0＜x≤21，所以自来水达到有效净化一共可持续21天…
（Ⅱ）由…
当0＜x≤5时，+2m在区间（0，5]上单调递增，所以2m＜y≤3m；…
当x＞5时，，所以函数在（5，9]上单调递减，从而得到，
综上可知：，…
为使5≤y≤10恒成立，只要即可，
所以，…
所以应该投放的药剂质量m的最小值为．…。