2012中考数学压轴题相似三角形

2012中考数学压轴题:函数相似三角形问题
例1直线113
y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向
旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．
(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；
(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；
(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
例2 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k
y k x
=≠在
第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．
（1）求m 与n 的数量关系； （2）当tan ∠A ＝
1
2
时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．
图1
例3
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM 运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q 两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
例4 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22
=++上．
y mx mx n （1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．
例5 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．
,
例6 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝3
．D为射线BA上的点（点
10
D不与点B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．
(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；
(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；
(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．
图1 备用图备用图
例 7 如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移
二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．
（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2
？请你作出判断，并说明
理由；
（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝
2
3
，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．
图1
例1满分解答
（1）A (3，0)，B (0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．
（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以
930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)． （3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．
因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．
因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，
那么BQ =． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：
①当
3BQ BA =
3=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当
13BQ BA =
13=．解得
13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．
图2 图3
例2满分解答
（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k
y x
=的图像上，所以4,
2.
m k n k =⎧⎨
=⎩ 整理，得n ＝2m ．
（2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A
＝
1
2
，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以
11
(1)2222
BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)．
因为点D （4，1）在反比例函数k
y x
=的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x
=
． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，代入B (4，3)、E (2，2)，得34,
22.k b k b =+⎧⎨
=+⎩
解得
1
2
k =
，1b =． 因此直线AB 的函数解析式为1
12
y x =+．
图2 图3 图4
（3）如图3，因为直线1
12
y x =
+与y 轴交于点F （0，1），点D 的坐标为（4，1），所以FD // x 轴，∠EFP ＝∠EAO ．因此△AEO 与△EFP 相似存在两种情况：
①如图3，当
EA EF AO FP =
时，2FP
=．解得FP ＝1．此时点P 的坐标为（1，1）． ②如图4，当
EA FP AO EF =
时，2=．解得FP ＝5．此时点P 的坐标为（5，1）． 例3满分解答
（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =
-，顶点为M （1，1
8
-）．
（2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62
x x S x x -+-⨯3
=
=+-，由此得到
1223s x x +=+．由于213y y -=，所以222122111111
38484
y y x x x x -=--+=．整理，得
21211
1()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦
．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得12
6,
8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）．
（3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．
在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．
在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ．
由于3tan 4GAF ∠=
，tan 5DQ t
PQD QP t
∠==-，所以345t t =-．解得207t =．
图3 图4
例4满分解答
(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.
m m n m m n -+=⎧⎨
++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--
=x x y ()2
416133
x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．
因此平移后的抛物线的解析式为()3
16434
2,
+--
=x y ．
图2
(3) 由点A (-2，4) 和点B ′ (6，0)，可得A B ′＝
如图2，由AM //CN ，可得
''''B N B C B M B A =
，即28=
．解得'B C =
AC =ABC 与△B ′CD 中，∠BAC ＝∠CB ′D ．
①如图3，当
''AB B C AC B D =
=，解得'3B D =．此时OD ＝3，点D 的坐标为（3，0）．
②如图4，当
''AB B D AC B C =
=，解得5'3B D =．此时OD ＝133，点D 的坐标为（
13
3
，0）．
图3 图4
例5满分解答
（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为
)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2
1
-=a ．所以抛物线的解析
式为22
5
21)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．
（2）设点P 的坐标为))4)(1(2
1
,(---x x x ．
①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2
1
---=x x PM ，x AM -=4．
如果2==CO AO
PM AM ，那么24)
4)(1(21
=----x
x x ．解得5=x 不合题意．
如果21==CO AO PM AM ，那么2
1
4)
4)(1(21
=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．
②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2
1
--=
x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)
4)(1(21
=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得2=x 不合题意．
③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(2
1
--=
x x PM ，x AM -=4． 解方程24)
4)(1(21
=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．
解方程2
14)
4)(1(21
=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．
综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．
图2 图3 图4 （3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为22
1
-=
x y ．
设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22
5
21,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 22
1
2+-=．
因此4)22
1(212
⨯+-=
∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ． 当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．
图5 图6
例6满分解答
（1）如图2，作BH ⊥AC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，AB ＝5，cosA ＝3
10
AH AB =，所以AH ＝
32
＝1
2AC ．所以BH 垂直平分AC ，△ABC 为等腰三角形，AB ＝CB ＝5． 因为DE //BC ，所以
AB AC DB EC =，即53y x
=．于是得到5
3y x =，（0x >）． （2）如图3，图4，因为DE //BC ，所以
DE AE BC AC =，MN AN
BC AC =，即|3|53
DE x -=，1
|3|253
x MN -=
．因此5|3|3x DE -=，圆心距5|6|6x MN -=．
图2 图3 图4
在⊙M 中，115226M r BD y x =
==，在⊙N 中，11
22
N r CE x ==． ①当两圆外切时，
5162x x +5|6|6
x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为30
13x =
，此时5(3)15313
x DE -==． ②当两圆内切时，
51
62x x -5|6|6
x -=． 当x ＜6时，解得30
7x =
，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537
x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)353
3
x DE -==．
图5 图6 图7
（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．
如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．
如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时
125
34
BF =
．
图8 图9 图10 图11
例 7满分解答
（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线
F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．
因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．
令0=y ，得-
=t OB t b
，+=t OC t
b ． 所以-
=⋅t OC OB (|||||t
b
)( +t t b
)|-=2|t 22|OA t t
b ==．即22b
t t t
-
=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得
1,121+=-=t x t x ．
①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．
如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=|||
|OB OA =1
-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．
如图3，当01<-t 时，由=
∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 5
3
．此时二次函数的解析式为-
=y 532x ＋2518x ＋
125
48．
图2 图3
②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 5
3
-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=
y 532x ＋2518x －125
48或241832++=x x y ．
图4 图5。